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内容简介

　　线性代数群表示论是近代数学中极为活跃、发展十分迅速的数学分支，新的思想、方法和成果不断出现，并对其他数学领域产生了深刻的影响。
　　《现代数学基础丛书·典藏版21：线性代数群表示导论（上册）》阐述线性代数群的表示理论，包括由Chevalley，Borel，Steinberg等人在50-60年代建立起来的经典理论，以及70年代以后这一理论的新发展，并提出一些未解决的问题和一些猜想。全书的重点在代数群表示理论的新发展上，特别着重于上同调方法的应用以及由此得出的一系列深刻的结果。
　　《现代数学基础丛书·典藏版21：线性代数群表示导论（上册）》共分六章，上册包括三章，分别是：经典表示理论，仿射群概形与超代数，上同调方法。
　　《现代数学基础丛书·典藏版21：线性代数群表示导论（上册）》可供有关专业的数学工作者、大学教师和高年级学生、研究生阅读。

内页插图

目录

前言/序言

　　线性代数群的表示理论是近年来十分活跃、发展非常迅速的一个数学领域，新的思想、新的方法和新的结果不断出现，面貌日新月异。但是，无论国内国外，至今尚未出现一本比较系统的入门书。要想掌握这一学科的基本思想和方法，了解迄今为止的主要成果和尚待解决的问题，只能从浩如烟海的原始论文中去寻径问踪，这给初学者和希望了解代数群表示的其他领域的数学工作者造成很大的困难。在学习、教学和科研实践中，我们也深切地体会到这个困难，因此，我们决定尝试着写一部线性代数群表示理论的入门书。现在奉献给读者的就是这部书的上册。
　　本书的上册共分三章。第一章是代数群表示的经典理论，介绍基本概念和初步结果。我们着重建立了不可约模与支配权之间的一一对应，讨论了表示的微分与著名的Steinberg张量积定理。我们的表述并不完全按照经典的方式进行，例如在定义表示的微分时，以余代数的余模作为中间媒介，在证明张量积定理时，也采用了最新的处理方法，第二章介绍仿射群概形与超代数。仿射群概形是线性代数群的推广，就像仿射概形是仿射代数簇的推广一样，不过我们采用更为形式的函子的语言。代数群表示理论的许多结果，可以推广到仿射群概形的表示；反过来，仿射群概形的表示（特别是代数群的Frobenius核的表示）又是研究代数群表示的一个有效的工具，然而，仿射群概形的表示只能表述为函子的自然变换或余模，既不直观也不方便，因此，我们又引进超代数的概念，把函子的自然变换或余模变成一个代数的模。第三章是上同调方法，代数学的最新发展似乎与同调或上同调理论结下了不解之缘，代数群表示也是如此。本章介绍代数群表示理论中最常用的一些上同调方法——诱导函子及其导函子、有理（Hochschild）上同调、有理扩张函子以及诱导层的上同调，给出了它们的定义并讨论了它们的基本性质和相互关系。在新概念或新理论出现的时候，我们往往举出具体的例子，以帮助读者领会和掌握这些新概念和新理论。
　　在下册中，我们将用上册所介绍的各种方法和工具，比较深入地讨论代数群表示理论中的一些重要问题，主要有分块理论（包括连接原理）、Weyl模的一般分解模式（包括平移原理）以及Lusztig猜想等，最后，我们还将简介代数群的表示与有限Chevalley群表示的关系。
　　本书可供有关专业的数学工作者和研究生阅读。我们假定读者熟悉线性代数群结构与分类的基本理论，熟悉范畴与函子的语言，并有一定的代数几何学基础。当然，同调代数的一般理论是阅读第三章所必备的预备知识，但我们以一节篇幅（§11）阐述了有关的理论，希望没有系统学过同调代数的读者读了这一节以后，能够毫无困难地理解后面的内容，为了同样的目的，我们还用一小节（§14.1）篇幅介绍所牵涉到的代数几何学的概念与结论，但与§11不同的是，我们没有给出所引结论的证明，这是因为代数几何学本身是非常庞大的理论体系，不可能用较小的篇幅来证明所需的结论。
　　写一本代数群表示理论的著作是十分困难的，因为这个理论还处于发展之中，许多重要的问题还未完全解决，许多新的思想、方法的生命力还有待于时间的考验，整个理论还没有完善；更何况我们在这方面的研究工作还刚刚起步，水平有限。总之，这是一本勉为其难之作，因此，一定有不少错误和不足之处，此外，本书初稿是结合教学过程断断续续地写成的，内容前后不呼应，符号术语前后不统一之处还不少，在修改定稿的时候虽然努力弥补这方面的缺陷，但不尽如意之处仍在所难免，所有这些，希望数学界同行批评指正。
　　作者非常感谢国内外的许多同行。我们首先向J。E。Humpbreys教授表示诚挚的谢意，他于1980年春在华东师范大学所作的精采的讲演使我们受益匪浅，本书（特别是第一章）的形成是深受他的讲演的影响的。同样，A。Borcl教授、黎景辉教授、黄和伦（W.J.Wong）教授、J.C.Jantzen教授等学者在国内的讲学都给我们以深刻的启示，特别是J.C.Jantzen教授，虽然他的讲演是在本书初稿形成之后，但由于他的讲演，使我们有可能在定稿时作了若干处较为满意的修改。在此谨向这些学者表示我们的谢意，此外，许多尚未见面的国外同行及时地给我们寄来他们已经发表和尚未发表的论文，使我们能比较迅速地了解国外的科研动态，作者也向他们表示感谢。他们中间主要有：H.H.Andersen教授、E.Cline教授、S.Donkin教授、B.Parshall教授、G.Lusztig教授与R.Steinberg教授等。
　　在国内同行中，作者非常感谢万哲先研究员和武小龙博士，他们仔细阅读了本书的初稿，提出了宝贵的意见。作者还感谢华东师范大学数学系（特别是代数教研室）的同事们在作者写作此书时所给予的支持和帮助。博士研究生杜杰和温克辛仔细校读了手稿，并协助编写书末的符号表和索引，我们也在此表示感谢。
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