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内容简介

　　抽象代数I是南开大学数学专业的必修课，抽象代数Ⅱ是该专业本科生的选修课和研究生的必修课，结合代数是应用非常广泛的一种代数结构，将这些内容作为该课程的内容是非常合适的。《抽象代数II：结合代数》是作者在长期教授该课程的基础上编写而成，内容包括结合代数，张量积、张量代数，二次型、Clifford代数，群代数及其表示，某些非结合代数。
　　《抽象代数II：结合代数》力求深入浅出，循序渐进，特别注意与其他课程的联系，以使读者体会到“抽象代数是制造机器的机器”这一著名论述，更能体会到“玄之又玄，众妙之门”这样的哲理。
　　《抽象代数II：结合代数》可作为高等院校数学专业本科及理工科非代数方向研究生“抽象代数”课程的教材，也可供相关科技人员及大专院校师生自学参考。

内页插图

目录

前言
第1章 结合代数
1．1 结合代数的定义
1．2 同态与同构
1．3 结合代数的表示
1．4 幂零结合代数
1．5 幂等元与Peirce分解
1．6 半单结合代数
1．7 单结合代数
1．8 体上的线性空间
1．9 半单结合代数的模

第2章 张量积张量代数
2．1 线性空间的张量积
2．2 线性变换的张量积
2．3 张量与张量代数
2．4 对称张量与交错张量
2．5 对称代数与外代数
2．6 结合代数的张量积

第3章 二次型Clifford代数
3．1 二次型
3．2 正交群
3．3 四元数代数
3．4 Clifford代数
3．5 Clifford群与旋量群

第4章 群代数及其表示
4．1 群代数的定义与基本性质
4．2 群表示的特征标
4．3 群代数CG的中心
4．4 对称群的表示
4．5 群表示的张量积
4．6 paqb阶群的可解性

第5章 某些非结合代数
5．1 代数与导子
5．2 Lie代数的包络代数
5．3 交错代数
5．4 Jordan代数
5．5 左对称代数与Novikov代数
参考文献
索引

前言/序言

　　在初等数学中，几何学比较直观，而代数学比较抽象，高度的抽象性是现代数学的一个重要特点，在抽象代数中，这个特点尤为突出，因而代数成了数学的第一个抽象分支。这是因为从一开始，代数就是用符号（当然包括字母）代表数或其他更复杂的“量”，抽象代数就更为抽象，只有符号之间的运算法则和相互关系是有意义的，符号代表什么并不重要，或者符号不代表任何东西，虽然从逻辑上可以用公理化的手段构造许许多多的代数体系，但如此构造代数体系并不总是有意义、有价值的。其实，有意义、有价值的代数体系很多是从解决某些问题抽象出来的，因而有人说“代数是解决某类问题的机器，而抽象代数是制造机器的机器。”
　　《抽象代数I——代数学基础》所讲述的只能是抽象代数中最基本的内容：群、环、域、模和Galois理论等。这些内容无论是对代数学，还是数学乃至许多其他学科都越来越不够了，抽象代数继续下去可以选择的内容是多种多样的。结合代数、线性空间及其线性变换的张量积、二次型及其产生的结合代数等不仅是代数学本身的基本、重要的内容，而且和许多学科都有紧密的联系，也有广泛的应用。除结合代数外，还有许多非结合代数，无论从理论角度，还是应用角度都是很有价值的。
　　《抽象代数II——结合代数》以结合代数为主兼及部分非结合代数内容。本书分为5章。第1章介绍结合代数，其中包括结合代数的定义、同态与同构、结合代数的表示（或结合代数的模）、幂零结合代数、幂等元与Peirce分解、半单结合代数、单结合代数、体上的线性空间、半单结合代数的模等基本内容。第2章介绍张量积与张量代数，其中包括线性空间的张量积、线性变换的张量积、张量与张量代数、对称张量与交错张量、对称代数和外代数等有广泛应用的内容。此外还有结合代数的张量积，特别是中心单结合代数的张量积的性质，第3章介绍二次型与Clifford代数，其中包括二次型、正交群、四元数代数、Clifford代数、Clifford群与旋量群等内容，第4章介绍群代数及其表示，其中包括群代数的定义与基本性质、群表示的特征标、复数域上群代数的中心、对称群的表示、群表示的张量积、paqb阶群的可解性等内容。由于这4部分领域的重要性，它们在很长时期内都是研究的热门话题，因此，内容非常丰富，不是本书能够包含得了的。非结合代数不仅在数学、物理中有重要作用，而且与结合代数也有密切的关系。本书最后一章简单地介绍了几类非结合代数，这里有一般代数及其导子的定义、Lie代数的包络代数、交错代数、Jordan代数、左对称代数与Novikov代数。这些只是我们在学习和研究过程中接触到的非结合代数的大冰山的一个小角而已。
　　通过对本课程的学习，学生首先要掌握基本内容，也就是认识“机器”；其次是为应用这些内容解决可能遇到的问题奠定基础，也就是学会使用“机器”：也许更为重要的是通过学习提高抽象的能力，也就是提高制造“机器”的能力。
　　《道德经》中有句话：“玄之又玄，众妙之门。”也许抽象代数本身就是此话的一种诠释，希望本课程也能为诠释此话提供一个例证。
　　我们衷心地感谢白承铭、许斌老师和袁腊梅博士给予的帮助，当然帮助过我们的老师和同学还有很多，不能全部列出，在此一并致谢。同时要感谢中国科学技术大学数学系、南开大学数学学院和白城师范学院数学系对我们工作的大力支持，没有这些支持要写出本书是不可能的。
　　我们在本课程的教学以及本书的编写过程中尽了很大努力，但一则由于我们的水平所限，二则由于数学和数学的教学总是在不断的发展之中，因此，不足和纰漏之处在所难免，诚恳地希望大家不吝指正。
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