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內容簡介

　　本書係統地介紹瞭信息安全理論與技術所涉及的數論、代數、橢圓麯綫等數學理論基礎。全書共分為9章：第1章是預備知識，介紹瞭現代密碼學涉及的數學基礎；第2章至第5章是數論基礎，包括整除、同餘、次數與原根、二次剩餘和素數檢驗以及整數分解等內容；第6章至第8章是代數基礎，包括群、環、域的概念及其應用等內容；第9章是橢圓麯綫，包括仿射空間和射影空間、橢圓麯綫的基本性質、橢圓麯綫上的離散對數等內容。書中每章末都配有適量習題，以供學生學習和復習鞏固書中所學內容。

目錄

?前言
教學建議
第1章　預備知識 1
1.1　集閤 1
1.2　關係 8
1.3　函數 17
1.4　映射和勢 22
1.5　拓撲空間 25
第2章　整除 31
2.1　整除與帶餘除法 31
2.2　最大公因子與輾轉相除法 35
2.3　算術基本定理 43
*2.4　完全數、梅森素數和費馬素數 47
第3章　同餘 51
3.1　同餘的概念和性質 51
3.2　剩餘類和剩餘係 55
3.3　歐拉定理和費馬小定理 59
3.4　擴展歐幾裏得算法和威爾遜定理 64
3.5　綫性同餘方程 68
3.6　中國剩餘定理與同餘方程組 71
*3.7　高次同餘方程 81
第4章　原根與指數 88
4.1　次數 88
4.2　原根 94
4.3　指數與高次剩餘 103
第5章 二次剩餘 109
5.1　二次剩餘的概念和性質 109
5.2　勒讓德符號與二次互反律 113
5.3　雅可比符號 124
第6章 群 129
6.1　群 129
6.2　子群 133
6.3　循環群 136
6.4　置換群 140
6.5　陪集與商群 145
6.6　同態和同構 150
第7章　環 156
7.1　環 156
7.2　理想和商環 162
7.3　幾類重要的環 168
7.4　素理想和極大理想 174
第8章　域 178
8.1　域上的多項式 178
8.2　域的代數擴張 183
8.3　分裂域與自同構 188
8.4　伽羅瓦理論初步 194
8.5　有限域 198
第9章　橢圓麯綫 203
9.1　仿射空間與射影空間 203
*9.2　代數麯綫 210
9.3　Weierstrass方程與橢圓麯綫 214
9.4　橢圓麯綫上的群結構 221
9.5　有限域上的橢圓麯綫 227
9.6　橢圓麯綫上的離散對數 232
索引 234
參考文獻 239

前言/序言

　　計算機和網絡技術的飛速發展和廣泛應用，極大地促進瞭社會的發展，也徹底改變瞭人們的生活和工作方式．與此同時，網絡與信息安全問題也更多地受到關注，網絡空間安全理論與技術已經成為當前最為重要的研究領域之一，網絡空間安全專門人纔的培養受到瞭社會空前的重視．“信息安全數學基礎”是信息安全本科專業的基礎課之一，對網絡空間安全理論與技術（特彆是網絡空間安全的核心技術——密碼技術）的深入學習具有重要的意義．本書是在南開大學信息安全專業“信息安全數學基礎”課程授課講義的基礎上整理而成的．全書分為4部分，共包括9章內容：
　　第一部分：預備知識（第1章），介紹書中後續章節所涉及的基本概念和基礎知識，包括集閤、關係、函數、映射與勢以及拓撲空間等．第二部分：數論基礎（第2至5章），介紹數論的基本內容，包括整除（整數的因子分解）、同餘、原根與指數、二次剩餘以及數論的應用等內容．第三部分：抽象代數基礎（第6至8章），分彆介紹群、環、域的概念和知識，以及初等伽羅瓦理論和有限域理論．第四部分：橢圓麯綫（第9章），介紹橢圓麯綫的算術理論，包括仿射空間和射影空間、Weierstrass方程與橢圓麯綫、橢圓麯綫上的群結構、有限域上的橢圓麯綫和橢圓麯綫上的離散對數等內容．書中每節末都配有適量的習題，供學生在復習和鞏固書中所學內容時使用．習題包括A、B兩組：A組主要用於鞏固學生在課堂上所學的內容和知識，B組主要用於拓展學生的知識和技能．本書依據《高等學校信息安全專業指導性專業規範》（清華大學齣版社，2014）中關於“信息安全數學基礎”的相關教學要求選取內容，並將編者多年積纍的實際教學經驗融入其中，力求知識係統化，能較好地覆蓋網絡空間安全領域所涉及的數學基礎知識．書中所涉及的基礎知識都進行瞭介紹，其中的數學結論都給齣瞭詳細的證明；書中所配的習題著力於幫助學生鞏固所學的內容和拓展能力．本書適閤高等學校信息安全、計算機科學技術和通信工程等專業本科生和研究生使用，也可供相關領域的科研人員和技術人員參考．本書由賈春福、鍾安鳴和楊駿編寫．高敏芬老師、李瑞琪、梁爽、呂童童、田美琦、程曉陽和鄭萬通等參與瞭書稿的閱讀和校對．由於時間倉促，書中難免有疏漏和不當之處，敬請讀者批評指正．編者2016年10月於南開園

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