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内容简介

　　本书系统地介绍了信息安全理论与技术所涉及的数论、代数、椭圆曲线等数学理论基础。全书共分为9章：第1章是预备知识，介绍了现代密码学涉及的数学基础；第2章至第5章是数论基础，包括整除、同余、次数与原根、二次剩余和素数检验以及整数分解等内容；第6章至第8章是代数基础，包括群、环、域的概念及其应用等内容；第9章是椭圆曲线，包括仿射空间和射影空间、椭圆曲线的基本性质、椭圆曲线上的离散对数等内容。书中每章末都配有适量习题，以供学生学习和复习巩固书中所学内容。

目录

?前言
教学建议
第1章　预备知识 1
1.1　集合 1
1.2　关系 8
1.3　函数 17
1.4　映射和势 22
1.5　拓扑空间 25
第2章　整除 31
2.1　整除与带余除法 31
2.2　最大公因子与辗转相除法 35
2.3　算术基本定理 43
*2.4　完全数、梅森素数和费马素数 47
第3章　同余 51
3.1　同余的概念和性质 51
3.2　剩余类和剩余系 55
3.3　欧拉定理和费马小定理 59
3.4　扩展欧几里得算法和威尔逊定理 64
3.5　线性同余方程 68
3.6　中国剩余定理与同余方程组 71
*3.7　高次同余方程 81
第4章　原根与指数 88
4.1　次数 88
4.2　原根 94
4.3　指数与高次剩余 103
第5章 二次剩余 109
5.1　二次剩余的概念和性质 109
5.2　勒让德符号与二次互反律 113
5.3　雅可比符号 124
第6章 群 129
6.1　群 129
6.2　子群 133
6.3　循环群 136
6.4　置换群 140
6.5　陪集与商群 145
6.6　同态和同构 150
第7章　环 156
7.1　环 156
7.2　理想和商环 162
7.3　几类重要的环 168
7.4　素理想和极大理想 174
第8章　域 178
8.1　域上的多项式 178
8.2　域的代数扩张 183
8.3　分裂域与自同构 188
8.4　伽罗瓦理论初步 194
8.5　有限域 198
第9章　椭圆曲线 203
9.1　仿射空间与射影空间 203
*9.2　代数曲线 210
9.3　Weierstrass方程与椭圆曲线 214
9.4　椭圆曲线上的群结构 221
9.5　有限域上的椭圆曲线 227
9.6　椭圆曲线上的离散对数 232
索引 234
参考文献 239

前言/序言

　　计算机和网络技术的飞速发展和广泛应用，极大地促进了社会的发展，也彻底改变了人们的生活和工作方式．与此同时，网络与信息安全问题也更多地受到关注，网络空间安全理论与技术已经成为当前最为重要的研究领域之一，网络空间安全专门人才的培养受到了社会空前的重视．“信息安全数学基础”是信息安全本科专业的基础课之一，对网络空间安全理论与技术（特别是网络空间安全的核心技术——密码技术）的深入学习具有重要的意义．本书是在南开大学信息安全专业“信息安全数学基础”课程授课讲义的基础上整理而成的．全书分为4部分，共包括9章内容：
　　第一部分：预备知识（第1章），介绍书中后续章节所涉及的基本概念和基础知识，包括集合、关系、函数、映射与势以及拓扑空间等．第二部分：数论基础（第2至5章），介绍数论的基本内容，包括整除（整数的因子分解）、同余、原根与指数、二次剩余以及数论的应用等内容．第三部分：抽象代数基础（第6至8章），分别介绍群、环、域的概念和知识，以及初等伽罗瓦理论和有限域理论．第四部分：椭圆曲线（第9章），介绍椭圆曲线的算术理论，包括仿射空间和射影空间、Weierstrass方程与椭圆曲线、椭圆曲线上的群结构、有限域上的椭圆曲线和椭圆曲线上的离散对数等内容．书中每节末都配有适量的习题，供学生在复习和巩固书中所学内容时使用．习题包括A、B两组：A组主要用于巩固学生在课堂上所学的内容和知识，B组主要用于拓展学生的知识和技能．本书依据《高等学校信息安全专业指导性专业规范》（清华大学出版社，2014）中关于“信息安全数学基础”的相关教学要求选取内容，并将编者多年积累的实际教学经验融入其中，力求知识系统化，能较好地覆盖网络空间安全领域所涉及的数学基础知识．书中所涉及的基础知识都进行了介绍，其中的数学结论都给出了详细的证明；书中所配的习题着力于帮助学生巩固所学的内容和拓展能力．本书适合高等学校信息安全、计算机科学技术和通信工程等专业本科生和研究生使用，也可供相关领域的科研人员和技术人员参考．本书由贾春福、钟安鸣和杨骏编写．高敏芬老师、李瑞琪、梁爽、吕童童、田美琦、程晓阳和郑万通等参与了书稿的阅读和校对．由于时间仓促，书中难免有疏漏和不当之处，敬请读者批评指正．编者2016年10月于南开园

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