数学分析精读讲义（套装上下册）/普通高等教育“十二五”规划教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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杜其奎，陈金如，谢四清，徐晓立 著

图书标签:

• 数学分析
• 高等教育
• 教材
• 微积分
• 实分析
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 规划教材

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030348814

版次：1

商品编码：12100377

包装：平装

丛书名： 普通高等教育“十二五”规划教材

开本：16开

出版时间：2012-06-01

用纸：胶版纸

页数：798

套装数量：2

字数：1028000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学分析精读讲义（套装上下册）/普通高等教育“十二五”规划教材》是以华东师范大学数学系所编的《数学分析（第三版）》内容为主线而编写的教学辅导书，主要是为课程精读教师的教学及学生学习本课程的课后复习与提高之用，是在作者二十多年来讲授数学分析课程内容的基础上发展起来的。
　　《数学分析精读讲义（套装上下册）/普通高等教育“十二五”规划教材》按章节编写，每节内容主要包括：内容精读、疑难解答、典型例题、巩固提高。
　　《数学分析精读讲义（套装上下册）/普通高等教育“十二五”规划教材》切合实际，十分注意提高学生对数学分析的基本概念、基本定理、基本计算技巧的理解和应用，通过对一些典型例题的讲解与分析，由浅入深、分层次、分类型地介绍微积分学的解题思路，特别注重一法多用、一题多解，同时关注形象思维的培养。期望为读者更有效地掌握微积分学的基本功、打下数学分析坚实的基础，提供适当的帮助。
　　《数学分析精读讲义（套装上下册）/普通高等教育“十二五”规划教材》适合于正在学习微积分学的大学生和需要提高自己数学水平与能力的各类自学者，对于讲授数学分析或高等数学的教师及准备考研的广大学生也有极高的参考价值。

内页插图

目录

前言
符号说明

第1章 实数集与函数
1．1 实数
1．2 数集．确界原理
1．3 函数概念
1．4 具有某些特性的函数

第2章 数列极限
2．1 数列极限概念
2．2 收敛数列的性质
2．3 数列极限存在的条件

第3章 函数极限
3．1 函数极限概念
3．2 函数极限的性质
3．3 函数极限存在的条件
3．4 两个重要的极限
3．5 无穷小量与无穷大量

第4章 函数的连续性
4．1 连续性概念
4．2 连续函数的性质
4．3 初等函数的连续性

第5章 导数和微分
5．1 导数的概念
5．2 求导法则
5．3 参变量函数的导数
5．4 高阶导数
5．5 微分

第6章 微分中值定理及其应用
6．1 Lagrange中值定理及函数的单调性
6．2 CaluChy中值定理与不定式极限
6．3 Taylor公式
6．4 函数的极值与最大（小）值
6．5 函数的凸性与拐点
6．6 函数图像的讨论与方程的近似解

第7章 实数的完备性
7．1 关于实数集完备性的基本定理
7．2 闭区间上连续函数性质的证明
7．3 上极限和下极限

第8章 不定积分
8．1 不定积分概念与基本积分公式
8．2 换元积分法与分部积分法
8．3 有理函数与可化为有理函数的不定积分

第9章 定积分
9．1 定积分概念
9．2 Newton-Leibniz公式
9．3 可积条件
9．4 定积分的性质
9．5 微积分学基本定理．定积分计算f续
9．6 可积性理论补叙

第10章 定积分的应用
10．1 平面图形的面积
10．2 由平行截面面积求体积
10．3 平面曲线的弧长与曲率
10．4 旋转曲面的面积
10．5 定积分在物理中的某些应用

第11章 反常积分
11．1 反常积分概念
11．2 无穷积分的性质与收敛判别
11．3 瑕积分的性质与收敛判别
参考文献
名词索引

前言/序言

　　数学分析是数学专业最重要的基础课程之一，对数学专业后续课程的学习和研究影响甚大。它不但是众多学科分支的重要基础和有力工具，而且对培养学生的思维能力、夯实学生的数学基础、加强学生的基本功训练都具有十分重要的功效。毫不夸张地说，学生学好这门课程，就奠定了大学阶段学好数学的坚实基础，也是开创数学学习良好局面的关键。
　　当然，数学分析对于初学者而言，难以学深学透、融会贯通、真正掌握这门课程的精髓。因此，有必要对其内容进行细嚼慢咽，不断强化，一方面要充分发挥教师课堂教学的主导作用，另一方面也要充分调动每位学生学习的积极性与主动性，促使他们自觉地接受持之以恒、充分而严格的数学训练，能真正地走近数学，从而加深对数学内容的理解。
　　基于上述考虑，南京师范大学数学科学学院对数学分析课程的教学进行了重大改革，从2006年起，将这门课程分为两门子课程，即“数学分析原理”和“数学分析精读”，“数学分析原理”由数学专业学术带头人担任主讲，主要向学生传授该课程的知识与科学思想；“数学分析精读”由具有该课程丰富教学经验的教授或副教授担任主讲，带领学生学会如何预习、如何听课、如何做笔记、如何提问、如何做题、如何归纳、如何提高，等等。为了配合数学分析精读课的教学，我们在多年教学实践的基础上，编写了《数学分析精读讲义》，旨在使学生进一步巩固知识、加强训练，掌握方法、开阔思路，夯实基础、提高能力。
　　本书是以华东师范大学数学系编写的《数学分析（第三版）》的内容为主要依据而编写的，参照其章节，每节主要包含四部分的内容。
　　一、内容精读：简要概述每节中的基本概念，重要定理和公式，并对要点与难点作适当分析。
　　二、疑难解答：解答在数学分析学习过程中可能遇到的一些疑难问题，主要涉及某些概念的理解，重要定理的使用，解题技巧的总结及某些模糊问题的辨析。
　　三、典型例题：选取若干个紧扣内容的典型题目，通过分析和求解，使读者从中得到启发，有助于提高分析问题和解决问题的能力。
　　四、巩固提高：配套一定量的题目，使学生所学的方法和技巧得以应用，进而达到巩固知识，提高能力之目的。
　　本书的编写，受到国家精品课程主持人、江苏省教学名师及南京师范大学“数学类基础课程教学团队”带头人周兴和教授的鼓励和支持，在此谨向他表示由衷的感谢！编写中，参考了国内外一些专家学者编著的数学分析方面的书籍，在此一并表示由衷的感谢！
　　由于编者受水平所限，书中难免存在疏漏和不妥之处，恳请同行和广大读者不吝赐教，以利于今后对本书的修订。

深入探索数学的基石：一套严谨与洞察并重的经典教材 本书系介绍 本套教材，《数学分析精读讲义（套装上下册）》，是为高等教育阶段，特别是数学、物理、工程及相关理工科专业学生精心打造的普通高等教育“十二五”规划教材。它并非仅仅停留在对传统微积分概念的简单罗列与演示，而是致力于构建一个深刻、严谨且富有洞察力的数学分析理论体系。本讲义的编纂宗旨是引导读者穿越繁复的公式和定义，直抵数学分析的核心思想与内在逻辑，培养学生扎实的理论基础和卓越的逻辑推理能力。 内容结构与深度解析 本套教材分为上下两册，结构严谨，层层递进，完美覆盖了现代数学分析的全部核心内容。 上册：极限、连续性与导数——奠定分析的基石 上册的重点在于建立微积分的严密基础。它摒弃了传统教材中过于依赖直觉的论述方式，从最基本的实数系统公理化定义出发，系统地阐述了分析学的基本概念。 1. 实数系的完备性与拓扑基础： 教材首先回顾了有理数系到实数系的构造过程，着重讲解了确界原理（上确界和下确界原理），这是后续所有收敛性论证的逻辑起点。随后引入了点集拓扑的基本概念，包括开集、闭集、邻域、聚点、极限点等。对这些基本概念的透彻讲解，使得读者能够从更抽象、更普适的视角理解函数极限的本质，为后续讨论函数空间和泛函分析打下坚实的集合论基础。 2. 序列与级数的收敛性： 详细讨论了有界序列、单调序列的收敛性（单调收敛定理）。重点分析了柯西序列的概念及其重要性——完备性的内在体现。在级数部分，教材系统梳理了正项级数的敛散性判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法），并对交错级数的处理进行了深入探讨，特别强调了绝对收敛与条件收敛的区别及意义。 3. 函数的极限与连续性： 在严密的 $varepsilon-delta$ 语言框架下，定义并分析了函数的极限。对函数连续性的讨论不仅停留在定义层面，更深入探讨了一致连续性这一关键概念。通过对闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理、介值定理）的严密证明，展示了这些看似简单的性质背后蕴含的深刻逻辑。 4. 微分学：导数的几何与代数意义： 导数的概念被置于局部线性近似的背景下进行阐述。教材详细分析了微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的证明及其在不等式证明和函数性质分析中的应用。对高阶导数的引入，为泰勒公式的精确表达奠定了基础。洛必达法则被置于中值定理的应用中进行论述，强调其严格性而非仅仅是计算技巧。 下册：积分、序列的极限与多变量分析——拓展分析的领域 下册将分析的工具延伸至积分学和多变量函数，同时深化了序列和级数的理论，特别是引入了函数列与函数级数的均匀收敛性。 1. 黎曼积分理论的构建： 本部分是下册的重中之重。教材采用达布（Darboux）和黎曼积分定义的结合，细致阐述了可积性的充要条件（连续点集测度为零）。对积分的性质进行了详尽的分析，特别是中值定理的应用。核心难点——微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的严格证明被置于精细分析之后，凸显其重要性。 2. 广义积分与积分的比较： 超越了有限区间和有界函数的限制，系统介绍了广义黎曼积分，讨论了瑕点处积分的收敛判据。这为物理学和工程学中常见的奇异积分问题提供了理论工具。 3. 函数列与函数级数：逐点收敛与一致收敛的辨析： 这是区分普通微积分教材与精读讲义的关键部分。教材着重对比了逐点收敛和一致收敛的区别。通过经典反例（如三角函数系在端点的收敛问题），深刻揭示了一致收敛对于保持极限运算（如求导、积分）与极限过程的顺序交换能力的关键性。魏尔斯特拉斯逼近定理的介绍，展示了连续函数在一致范数下的可微（多项式逼近）能力。 4. 多元微积分的初步探索： 在建立完一元分析的严密体系后，教材开始过渡到多变量函数。从空间 $mathbb{R}^n$ 的拓扑结构出发，定义了多元函数的极限和连续性。 偏导数与全微分： 明确区分了偏导数存在性与全微分的严格关系。引入方向导数，为后续的梯度向量奠定基础。 多元函数的微分中值定理： 介绍了多元函数的推广型中值定理，并推导了Taylor 公式在 $mathbb{R}^n$ 中的形式。 隐函数与反函数定理： 这部分是几何直观与代数严密推导的完美结合，对后续微分几何和变分法至关重要。定理的证明依托于压缩映射原理，体现了分析学的统一性。 教学特色与目标读者 本讲义的编写风格高度注重逻辑的严密性、定义的精确性和证明的完备性。它不是一本侧重于“计算技巧”的速成读物，而是旨在培养读者数学家思维的典范教材。每一个定理的提出都伴随着清晰的背景动机和详尽的逻辑推导链条。 适用对象： 数学专业本科生：作为主干课程的教材，能为其后续的实分析、泛函分析、拓扑学等高深课程打下无可动摇的基础。 物理、力学、信息科学等需要深厚理论基础的理工科学生：有助于他们理解物理定律背后的数学结构，而非仅仅停留在公式应用层面。 研究生：可作为复习和查阅经典定义的工具书。 通过研习本套教材，读者将不仅掌握数学分析的知识体系，更能领略到十九、二十世纪数学分析从直观走向严谨的伟大历程，从而真正理解“分析”二字的深刻内涵。

评分☆☆☆☆☆

初次翻开这套《数学分析精读讲义》，我怀揣着对大学数学的敬畏与忐忑。然而，书中由浅入深的讲解方式，以及作者独具匠心的编排，很快就打消了我最初的疑虑。它并非是那种干巴巴地罗列定理和证明的教材，而是充满了对数学思想的深度挖掘和对逻辑链条的精巧构建。我特别欣赏书中对概念引入的节奏把握，它总能在恰当的时机抛出核心问题，然后层层递进，引导读者主动去探索答案。 例如，在处理无穷序列和级数的收敛问题时，书中不仅仅给出了各种判敛法，更重要的是，它花费了大量笔墨去解释这些判敛法背后的思想渊源，以及它们各自的适用范围和局限性。作者甚至会通过一些反例来警示我们，在应用这些工具时需要注意的陷阱。这让我觉得，学习数学分析不再是一件被动接受知识的事情，而更像是一场充满探索乐趣的智力游戏。那些看似晦涩的证明，在作者的条理清晰的引导下，也变得生动起来，仿佛是一幅幅精美的逻辑画卷在我眼前徐徐展开。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，拿起这套《数学分析精读讲义》时，我内心是有压力的。我清楚数学分析的难度，也知道“精读”两个字意味着什么。然而，当我真正沉下心来阅读时，我发现这份压力逐渐转化为一种奇妙的吸引力。这本书的编排极为巧妙，它不会一下子抛给你过于复杂的概念，而是通过一系列精心设计的铺垫，让你在不知不觉中建立起对复杂问题的直观感受。 我印象最深的是，在讲解黎曼积分时，书中不仅仅给出了积分的定义，还反复强调了“分割”、“上和”、“下和”这些元素的意义，以及它们与面积概念之间的联系。作者甚至会用一些具体的几何图形和例子来帮助读者建立起直观的理解。这种“直观先行”的策略，极大地降低了抽象概念的入门门槛，让我能够更好地理解那些严谨的数学证明。我感觉自己像是被带入了一个数学的实验室，每一个定理、每一个公式都是一个精密的实验，而作者则是我最得力的助手，帮我理解实验的每一步操作和结果。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学分析精读讲义》真的是一本令人头疼又欲罢不能的书。我本以为大学的数学分析就是一堆抽象符号和枯燥公式的堆砌，但这本书完全颠覆了我的认知。它不是那种“教你如何解题”的速成手册，而更像是一场思维的盛宴，带领你一步步深入数学分析的灵魂深处。开篇就对极限这一核心概念进行了极为细致的剖析，从ε-δ语言的严格定义到各种逼近方式的直观理解，作者似乎不厌其烦地在打磨着每一个概念的棱角。我感觉自己仿佛置身于一个巨大的迷宫，每一个定义、每一个定理都是一座精巧的建筑，而作者则是一位经验丰富的向导，用他独特的视角引导我穿梭其中。 最让我印象深刻的是，书中并没有回避那些看似“微不足道”的细节。例如，在讨论收敛性时，它会花大量篇幅去解释为什么某个看似自然的假设在这种情况下是至关重要的，或者某个看似无关紧要的条件如何能彻底改变整个推导的方向。这种“刨根问底”的精神，让我第一次体会到数学的严谨并非是冰冷的教条，而是一种对真理的极致追求。有时候，我会因为一个证明的繁复而感到挫败，但当我反复咀嚼书中的讲解，结合那些精妙的辅助引理，最终豁然开朗时，那种成就感是无与伦比的。这套书强迫你去思考“为什么”，而不是仅仅满足于“怎么做”，这对于建立扎实的数学基础至关重要。

评分☆☆☆☆☆

作为一名曾经被数学分析折磨过的学生，我深知一本好的教材能带来多大的改变。《数学分析精读讲义》给了我一种前所未有的学习体验。它不回避深度，但也不故弄玄虚。作者的语言精炼而富有逻辑性，字里行间都透着对数学的热爱和对教学的深刻理解。 我非常赞赏书中对一些“疑难杂症”的细致讲解。例如，在函数定义域和值域的讨论中，书中会特别强调区分“所有可能取的值”和“实际取到的值”的重要性，并举出大量具体的例子来帮助读者辨析。又比如，在导数和微分的介绍中，它会详细阐述两者之间的联系与区别，以及在不同场景下的适用性。这种“庖丁解牛”般的细致，让我第一次真正体会到数学的精妙之处，那些曾经让我头疼不已的概念，在本书的讲解下，似乎都变得清晰可见，甚至带有一种别样的美感。它让我不再仅仅是“背诵”公式，而是真正“理解”了公式背后的逻辑和意义。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学分析的学习，很大程度上取决于能否遇到一本能够点燃你对数学真正兴趣的书。《数学分析精读讲义》无疑就是这样的一本书。它不是那种一看就觉得“好难”而望而却步的书，而是充满了一种循循善诱的力量。作者的语言风格非常别致，他不会用过于华丽的辞藻，但每一句话都饱含深意，能够精准地触及问题的核心。 我尤其喜欢书中对一些经典数学问题的深入剖析，比如微积分基本定理的多种表述及其内在联系，或是傅里叶级数在函数逼近中的应用。这些内容在其他教材中可能只是寥寥数语带过，但在这套讲义中，作者会花费大量篇幅去梳理其发展脉络，介绍相关的历史背景，甚至探讨其在更广阔数学领域中的影响。这种“大历史观”式的讲解，让我体会到了数学知识的生命力，以及它如何一步步演进成为今天的模样。这本书不仅仅是在教我数学，更是在教我如何去“理解”数学。