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内容简介

　　中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。
　　《数学所讲座2014》根据2014年7个报告的讲稿整理而成，内容涉及数学控制论、非负曲率流形与Tits几何、素数分布与Mobius正交性猜想、度量黎曼几何之旅、局部指标理论、二维拓扑场理论与镜对称、拓扑量子态与拓扑电子材料等。
　　《数学所讲座2014》可供数学专业的高年级本科生、研究生、教师和科研人员阅读参考，也可作为数学爱好者提高数学修养的学习读物。

内页插图

目录

序
前言

1 数学控制论浅谈
1．1 引言
1．1．1 概述
1．1．2 控制科学发展简史
1．1．3 控制科学中的基本问题
1．1．4 数学控制论
1．2 有限维系统控制理论
1．2．1 有限维系统的能控性
1．2．2 有限维系统的最优控制
1．3 分布参数系统控制理论
1．3．1 分布参数系统的能控性
1．3．2 分布参数系统的最优控制
1．4 随机有限维系统控制理论
1．4．1 随机有限维系统的能控性
1．4．2 随机有限维系统的最优控制
1．5 随机分布参数系统控制理论
1．5．1 随机分布参数系统的能控性
1．5．2 随机分布参数系统的最优控制
参考文献

2 非负曲率流形与Tits几何
2．1 非负曲率黎曼流形的主要结构定理
2．2 非负曲率流形上的反射群
2．3 极作用
2．4 极作用和房系统
2．5 正曲率流形上的极作用
参考文献

3 素数分布与M6bius正交性猜想
3．1 轨道上的素数分布
3．2 二次型与高次型
3．3 MSbius正交性猜想
3．4 远端流
3．5 α非丢番图
参考文献

4 度量黎曼几何之旅
4．1 引言
4．2 低维Riemann几何
4．3 经典比较Riemann几何
4．3．1 截面曲率与距离比较
4．3．2 Ricci曲率与体积比较
4．4 Gromov-Hausdorff拓扑
4．5 度量Riemann几何的进展
4．5．1 截面曲率两边有界与收敛塌缩理论
4．5．2 截面曲率有下界与Alexandrov几何
4．5．3 Ricci曲率有下界与Cheeger。．Colding理论
参考文献

5 局部指标理论简介
5．1 指标定理简介
5．1．1 从三角形到流形
5．1．2 Gauss-Bonnet-Chern定理与Chern-Weil理论
5．1．3 Hirzebruch符号差定理与Hirzebruch-Riemann-Roch定理
5．1．4 Atiyah-Singer指标定理
5．1．5 McKean-Singer公式
5．2 局部指标理论
5．2．1 局部Gauss-Bonnet-Chern定理
5．2．2 关于Dirac算子的Atiyah-Singer指标定理
5．2．3 关于Dirac算子的局部指标定理与n不变量

6 二维拓扑场理论与镜对称
6．1 前言
6．2 黎曼面，曲线模空间和witten猜想
6．2．1 黎曼面和曲线模空间
6．2．2 模空间的紧化以及同义映射
6．2．3 曲线模空间上的同义环和递归关系
6．2．4 Kdv可积系统
6．2．5 相交理论与Witten猜想
6．2．6 带边黎曼面的模空间与开的Kdv可积系统
6．2．7 评论
6．3 卡-丘（CY）流形之间的镜对称现象
6．3．1 Candelas，dela Ossa，Green和Parks的发现
6．3．2 镜像对称的几何构造
6．3．3 Strominger-Yau-Zaslow镜像对称猜想
6．3．4 非卡-丘模型的SYZ猜想
6．4 辛几何与伪全纯曲线模空间（A模型1）
6．4．1 稳定映射的模空间与Gromov-Witten不变量
6．4．2 Kontsevich-Manin公理化体系
6．4．3 WDVV方程和量子乘法
6．5 复结构形变理论（B模型1）
6．5．1 一般复流形的形变理论
6．5．2 卡一丘流形的形变
6．5．3 紧Kahler流形上Hodge结构的形变与周期域
6．5．4 三维卡-丘流形上的特殊几何和tt*方程
6．5．5 DGBV代数与Frobenius流形
6．5．6 复结构形变的量子化方法
6．6 朗道-金兹堡（LG）模型与更一般的镜对称现象
6．7 上同调场论
6．8 关于奇点的saito-Givental量子化理论fB模型2）
6．8．1 经典的奇点理论
6．8．2 Saito平坦结构理论
6．8．3 本原形式的扰动计算方法
6．8．4 Givental形式量子化
6．9 FJRW理论（量子奇点理论）（A模型2）
6．9．1 状态空间
6．9．2 虚拟基本圈的构造和穿墙现象
6．9．3 FJRW理论的公理体系
6．10 A13E情形广义Witten猜想的解决和整体的镜对称猜想
6．11 微分几何途径：schroedinger方程与LG模型的Hodge理论
6．11．1 截面一丛系统中的微分算子与超对称代数结构
6．11．2 谱理论，Hodge定理和Hard Lefschetz定理
6．11．3 L2f-上同调群的计算
6．11．4 超位势的形变理论与稳定性定理
6．11．5 tt*几何结构
6．11．6 tt*几何与Frobenius流形结构（当τ→0时）
6．11．7 进一步的发展
6．12 开弦理论简介
6．12．1 拉格朗日相交的Floer理论
6．12．2 Fukaya范畴
6．12．3 B理论的范畴化
6．12．4 同调镜像对称猜想
6．12．5 进一步的问题
6．13 统一理论：规范线性西格玛模型
参考文献

7 拓扑量子态与拓扑电子材料
7．1 简介
7．1．1 对称性与物态
7．1．2 准粒子与能带
7．1．3 拓扑量子态
7．2 拓扑不变量
7．2．1 动量空间
7．2．2 联络与曲率
7．2．3 陈数
7．2．4 Z2不变量
7．2．5 磁单极
7．3 拓扑量子态
7．3．1 整数量子霍尔效应（IQHE）量子反常霍尔效应（QAHE）
7．3．2 量子自旋霍尔效应（QSHE）
7．3．3 拓扑绝缘体
7．3．4 拓扑金属半金属
7．4 拓扑材料
7．4．1 反带机制
7．4．2 二维拓扑绝缘体：HgTe量子阱
7．4．3 三维拓扑绝缘体Bi2Se3、Bi2Te3、Sb2Te3家族
7．4．4 量子化反常霍尔效应
7．4．5 Wey！半金属
7．4．6 Dirac半金属
7．5 总结
参考文献

彩图

前言/序言

　　“数学所讲座”始于2010年，讲座的宗旨是介绍现代数学的重要内容及其思想、方法和影响，扩展科研人员和研究生的视野、提高数学修养和加强相互交流、增强学术气氛。那一年的8个报告整理成文后集成《数学所讲座2010》，杨乐先生作序，于2012年由科学出版社出版发行。2011年和2012年数学所讲座16个报告整理成文后集成《数学所讲座2011-2012》，于2014年由科学出版社出版发行。2013年数学所讲座的8个报告整理成文后集成《数学所讲座2013》于2015年由科学出版社出版发行，这三本文集均受到业内人士的欢迎，这对报告人和编者都是很大的鼓励。
　　本书的文章系根据2014年数学所讲座的8个报告中的7个整理而成，按报告的时间顺序编排，另有一个报告的文章将放在后面的文集出版。如同前面三本文集，在整理过程中力求文章容易读，平易近人，语言流畅，取舍得当，文章要求数学上准确，但对严格性的追求适度，不以牺牲易读性和流畅为代价。
　　文章的选题，也就是报告的选题，有数学控制论、非负曲率流形与Tits几何、素数分布与Mobius正交性猜想、度量黎曼几何之旅、局部指标理论、二维拓扑场理论与镜对称、拓扑量子态与拓扑电子材料等。从题目可以看出，数学所讲座的主题已经扩展了，包含与数学密切相关的物理，其实物理与数学的交融一直对数学和物理的发展有巨大的影响，过去几十年，很多非常有影响的数学工作都受到物理思想的影响，所以，对数学工作者，了解物理是很有益处的。报告内容的选取反映了作者对数学和物理的认识与偏好，但有一点是共同的，它们都是主流，有其深刻性。希望这些文章能对读者认识现代数学有益处。
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