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內容簡介

　　《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》是中國科學技術大學代數係列教材三部麯的**部，是“代數學基礎”課程參考教材。《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》對群、環、域的定義和基本性質，循環群和對稱群（置換群），整數理論，域和整數上的多項式理論等進行介紹，目的是為後續的綫性代數、近世代數和數論（包括數論的應用）等眾多課程提供基礎。《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》在保留中國科學技術大學初等數論課程傳統內容的基礎上，增加瞭復數、韋達定理等高中忽視的內容，強調瞭等價關係這個大學數學教學難點，增加瞭群、環、域的基礎知識特彆是循環群的知識，對綫性代數教學急需的置換的概念進行討論。這樣編寫的目的，首先是讓學生較早接觸到群、環、域等抽象概念，盡早鍛煉學生的抽象思維能力，為後續的近世代數課程降低難度。其次《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》統一使用代數的思想介紹整數和多項式的理論，希望同學們能夠瞭解初等數論不是數學競賽中高不可攀的一道道難題，而是在統一邏輯框架下的優美理論，它不僅在今後數學各方麵學習中有很多用處，而且是數學在實際生活中應用的重要理論基石。
　　《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》可以作為“初等數論”和“近世代數”（或“抽象代數”）課程的參考書籍。《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》適用於高等院校數學和信息安全專業學生，以及其他對代數思想和方法感興趣的學生和學者。

內頁插圖

目錄

第一章 預備知識
1.1 集閤與映射
1.1.1 集閤的定義
1.1.2 集閤的基本運算
1.1.3 一些常用的集閤記號
1.1.4 映射，閤成律和結閤律
1.1.5 等價關係，等價類與分拆
1.2 求和與求積符號
1.3 復數
1.3.1 復數域的定義
1.3.2 復數的幾何意義與復平麵
習題
第二章 初識群、環、域
2.1 群
2.1.1 群的定義和例子
2.1.2 子群與直積
2.2 環與域
2.2.1.定義和例子
2.2.2 環的簡單性質
2.2.3 多項式環
2.3 同態與同構
2.3.1 群的同態與同構
2.3.2 環的同態與同構
習題
第三章 整數理論
3.1 整除
3.1.1 帶餘除法
3.1.2 最大公因子
3.1.3 歐幾裏得算法
3.1.4 最小公倍數
3.2 素數與算術基本定理
習題
第四章 整數的同餘理論
4.1 同餘式
4.2 中國剩餘定理
4.3 歐拉定理和費馬小定理
4.4 模算術和應用
4.4.1 模算術
4.4.2 應用舉例
習題
第五章 域上的多項式環
5.1 整除性理論
5.1.1 最大公因子
5.1.2 不可約多項式和因式分解
5.2 多項式零點和韋達定理
5.3 多項式同餘理論
5.3.1 多項式的同餘
5.3.2 中國剩餘定理
5.3.3 低次多項式的不可約性
習題
第六章 群論基礎
6.1 元素的階和循環群
6.2 拉格朗日定理
6.2.1 陪集錶示
6.2.2 陪集與正規子群
習題
第七章 對稱群
7.1 置換及其錶示
7.2 置換的奇偶性和交錯群
7.2.1 奇置換與偶置換
7.2.2 交錯群
習題
第八章 域Fp上的算術
8.1 乘法群(Z／mZ)x與Fx p的結構
8.1.1 乘法群的結構
8.1.2 原根的計算
8.1.3 高次同餘方程求解
8.2 Fx p的平方元與二次剩餘
8.3 二次互反律的證明和變例
習題
第九章 多項式(II)
9.1 整係數多項式環Z|x|
9.2 多元多項式
習題
參考文獻
索引

前言/序言

　　代數方法和分析方法是數學研究中兩種最基本的方法，也是大學數學專業學生數學教育的重點。中國科學技術大學創校伊始就受到華羅庚、王元、萬哲先、曾肯成等前輩數論和代數大傢的諄諄教導，代數和數論方麵人纔輩齣。20世紀80年代以來，在馮剋勤教授和李尚誌教授等領導下，中國科學技術大學的代數教學水平一直維持在較高水平，培養的代數和數論人纔受到國內外同行高度稱許。科大之所以能夠在代數教學方麵取得較好成果，一方麵原因是學生們受到嚴格的“綫性代數”基礎訓練；另一方麵科大一直堅持為數學係學生開設“初等數論”和“近世代數”基礎課程，並在高年級和研究生階段開設“群錶示論”“交換代數”等課程，並配備有《整數與多項式》（馮剋勤、餘紅兵編著），《近世代數引論》（馮剋勤、李尚誌、查建國、章璞編著），《群與代數錶示論》（馮剋勤、章璞、李尚誌編著）等著名教材。
　　進入新世紀以來，新一代科大學生入學時的數學基礎和20世紀八十、九十年代學生有較大區彆。這裏麵一部分原因是高中新課標和高考指揮棒的影響，大部分學生在高中時代受到題海戰術的錘煉，但獨立探索和抽象思維能力受到壓製。他們更早接觸到微積分的思想，對於高考中齣現的各種題型十分熟練.但在平麵幾何、因式分解和三角函數等方麵的基本訓練遠不如以前，在數學證明和邏輯嚴格性方麵的訓練也不如以前。另一方麵，這一代學生或多或少參加過數學競賽，而其中最體現抽象思維能力的初等數論問題常常是他們最頭疼的問題之一。當同學們在大一開始接觸“初等數論”課程時，上述兩方麵的原因就讓同學們對於課程學習産生畏難情緒。到大二開始學習“近世代數”課程時，撲麵而來的抽象代數思想，特彆是群論思想和方法更讓不少學生感到無所適從。因此科大的代數教學在前些年受到比較嚴重的挑戰。另一方麵，我們的教材沒有及時體現新時期學生的最新情況，需要得到及時更新。從教學本身來看，通過多年教學和科研實踐，我們發現各代數課程之間的銜接以及對應教材之間銜接不是特彆流暢（各數學核心課程的銜接亦是如此），在統一的框架下對代數課程教學和教材建設進行規劃成為必要。
　　2011年，在編者的組織下，數學科學學院全體教授對於代數係列課程的教學大綱和教學內容進行瞭熱烈討論，《代數係列課程綱要》數易其稿，最終得到通過。我們對代數方麵涉及的6門課程進行全麵改革和優化。原來的“初等數論”課程由“代數學基礎”課程替代，與“近世代數”“代數學”一起構成代數教學三門核心課程。它們由淺入深，目標是為數學學院學生奠定紮實的代數基礎。基於課程改革的需要，我們當即著手對應的教材建設，計劃在原來教材的基礎上編寫代數學三部係列教材：《代數學I代數學基礎》，《代數學II近世代數》和《代數學III代數學進階》。
　　本書即是代數學係列教材三部麯的第一部。我們在馮剋勤教授和餘紅兵教授編著的教材《整數與多項式》基礎上，參照Artin，Lang，Hungerford，Dummit-Foote等著名英文教材，對群、環、域的定義和基本性質，循環群和對稱群，整數理論，多項式理論等進行介紹，目的是為後續的綫性代數，近世代數和數論（包括數論的應用）等眾多課程提供基礎。我們在保留原來初等數論課程整數理論和多項式理論的基礎上，增加瞭復數、韋達定理等高中忽視的內容，強調瞭等價關係這個大學數學教學難點，增加瞭群.環、域的基礎知識特彆是循環群的知識，對綫性代數教學急需的置換的概念進行討論。這樣編寫的目的，首先是讓學生較早接觸到群、環、域等抽象概念，盡早鍛煉學生的抽象思維能力，為後續的近世代數課程降低難度。其次我們統一使用代數的思想介紹整數和多項式的理論，希望同學們能夠瞭解初等數論不是數學競賽中高不可攀的一道道難題，而是在統一邏輯框架下的優美理論，它不僅在今後數學各方麵學習中有很多用處，而且是數學在實際生活中應用的重要理論基石。這也是我們將《初等數論》改名為《代數學基礎》的原因。
　　本書分為九章。第一章為預備知識，總結瞭集閤和映射等概念，特彆對等價關係進行詳細闡述，介紹瞭復數的基本性質，以及求和與求積符號等內容。此章內容實為數學各學科之基礎，在此一並給齣，應屬必要。第二章引入瞭群、環、域的概念，包括同態、同構、正規子群和理想等概念，給齣例子和簡單性質。第三章和第四章是整數整除和同餘理論的學習，包括算術基本定理和歐幾裏得算法，剩餘類環的構造以及歐拉定理、費馬小定理和中國剩餘定理等著名定理。第五章則是域上多項式環的介紹，這裏大部分結果是整數環理論的平行結果，另外則是多項式零點研究，並給齣瞭根與係數關係的韋達定理。第六章是群論基礎，介紹瞭元素的階，循環群的基本性質，陪集和群論拉格朗日定理。第七章是對置換和對稱群的介紹，包括置換奇偶性和交錯群。第八章則是對元有限域乘法群的學習，包括原根和二次剩餘的概念，以及二次互反律的證明。最後一章我們迴到對多項式的學習，介紹瞭整係數多項式和對稱多項式的性質。
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評分☆☆☆☆☆

代數學檢察院，新版的，中國科學技術大學編的，很好用

評分☆☆☆☆☆

說實話，內容的編寫有一些簡略，所以用其自學不是很好。

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

非常好的教材，適閤數學係的學生讀一下。

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