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内容简介

　　《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》是中国科学技术大学代数系列教材三部曲的**部，是“代数学基础”课程参考教材。《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》对群、环、域的定义和基本性质，循环群和对称群（置换群），整数理论，域和整数上的多项式理论等进行介绍，目的是为后续的线性代数、近世代数和数论（包括数论的应用）等众多课程提供基础。《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》在保留中国科学技术大学初等数论课程传统内容的基础上，增加了复数、韦达定理等高中忽视的内容，强调了等价关系这个大学数学教学难点，增加了群、环、域的基础知识特别是循环群的知识，对线性代数教学急需的置换的概念进行讨论。这样编写的目的，首先是让学生较早接触到群、环、域等抽象概念，尽早锻炼学生的抽象思维能力，为后续的近世代数课程降低难度。其次《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》统一使用代数的思想介绍整数和多项式的理论，希望同学们能够了解初等数论不是数学竞赛中高不可攀的一道道难题，而是在统一逻辑框架下的优美理论，它不仅在今后数学各方面学习中有很多用处，而且是数学在实际生活中应用的重要理论基石。
　　《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》可以作为“初等数论”和“近世代数”（或“抽象代数”）课程的参考书籍。《中国科学技术大学数学丛书 代数学1：代数学基础》适用于高等院校数学和信息安全专业学生，以及其他对代数思想和方法感兴趣的学生和学者。

内页插图

目录

第一章 预备知识
1.1 集合与映射
1.1.1 集合的定义
1.1.2 集合的基本运算
1.1.3 一些常用的集合记号
1.1.4 映射，合成律和结合律
1.1.5 等价关系，等价类与分拆
1.2 求和与求积符号
1.3 复数
1.3.1 复数域的定义
1.3.2 复数的几何意义与复平面
习题
第二章 初识群、环、域
2.1 群
2.1.1 群的定义和例子
2.1.2 子群与直积
2.2 环与域
2.2.1.定义和例子
2.2.2 环的简单性质
2.2.3 多项式环
2.3 同态与同构
2.3.1 群的同态与同构
2.3.2 环的同态与同构
习题
第三章 整数理论
3.1 整除
3.1.1 带余除法
3.1.2 最大公因子
3.1.3 欧几里得算法
3.1.4 最小公倍数
3.2 素数与算术基本定理
习题
第四章 整数的同余理论
4.1 同余式
4.2 中国剩余定理
4.3 欧拉定理和费马小定理
4.4 模算术和应用
4.4.1 模算术
4.4.2 应用举例
习题
第五章 域上的多项式环
5.1 整除性理论
5.1.1 最大公因子
5.1.2 不可约多项式和因式分解
5.2 多项式零点和韦达定理
5.3 多项式同余理论
5.3.1 多项式的同余
5.3.2 中国剩余定理
5.3.3 低次多项式的不可约性
习题
第六章 群论基础
6.1 元素的阶和循环群
6.2 拉格朗日定理
6.2.1 陪集表示
6.2.2 陪集与正规子群
习题
第七章 对称群
7.1 置换及其表示
7.2 置换的奇偶性和交错群
7.2.1 奇置换与偶置换
7.2.2 交错群
习题
第八章 域Fp上的算术
8.1 乘法群(Z／mZ)x与Fx p的结构
8.1.1 乘法群的结构
8.1.2 原根的计算
8.1.3 高次同余方程求解
8.2 Fx p的平方元与二次剩余
8.3 二次互反律的证明和变例
习题
第九章 多项式(II)
9.1 整系数多项式环Z|x|
9.2 多元多项式
习题
参考文献
索引

前言/序言

　　代数方法和分析方法是数学研究中两种最基本的方法，也是大学数学专业学生数学教育的重点。中国科学技术大学创校伊始就受到华罗庚、王元、万哲先、曾肯成等前辈数论和代数大家的谆谆教导，代数和数论方面人才辈出。20世纪80年代以来，在冯克勤教授和李尚志教授等领导下，中国科学技术大学的代数教学水平一直维持在较高水平，培养的代数和数论人才受到国内外同行高度称许。科大之所以能够在代数教学方面取得较好成果，一方面原因是学生们受到严格的“线性代数”基础训练；另一方面科大一直坚持为数学系学生开设“初等数论”和“近世代数”基础课程，并在高年级和研究生阶段开设“群表示论”“交换代数”等课程，并配备有《整数与多项式》（冯克勤、余红兵编著），《近世代数引论》（冯克勤、李尚志、查建国、章璞编著），《群与代数表示论》（冯克勤、章璞、李尚志编著）等著名教材。
　　进入新世纪以来，新一代科大学生入学时的数学基础和20世纪八十、九十年代学生有较大区别。这里面一部分原因是高中新课标和高考指挥棒的影响，大部分学生在高中时代受到题海战术的锤炼，但独立探索和抽象思维能力受到压制。他们更早接触到微积分的思想，对于高考中出现的各种题型十分熟练.但在平面几何、因式分解和三角函数等方面的基本训练远不如以前，在数学证明和逻辑严格性方面的训练也不如以前。另一方面，这一代学生或多或少参加过数学竞赛，而其中最体现抽象思维能力的初等数论问题常常是他们最头疼的问题之一。当同学们在大一开始接触“初等数论”课程时，上述两方面的原因就让同学们对于课程学习产生畏难情绪。到大二开始学习“近世代数”课程时，扑面而来的抽象代数思想，特别是群论思想和方法更让不少学生感到无所适从。因此科大的代数教学在前些年受到比较严重的挑战。另一方面，我们的教材没有及时体现新时期学生的最新情况，需要得到及时更新。从教学本身来看，通过多年教学和科研实践，我们发现各代数课程之间的衔接以及对应教材之间衔接不是特别流畅（各数学核心课程的衔接亦是如此），在统一的框架下对代数课程教学和教材建设进行规划成为必要。
　　2011年，在编者的组织下，数学科学学院全体教授对于代数系列课程的教学大纲和教学内容进行了热烈讨论，《代数系列课程纲要》数易其稿，最终得到通过。我们对代数方面涉及的6门课程进行全面改革和优化。原来的“初等数论”课程由“代数学基础”课程替代，与“近世代数”“代数学”一起构成代数教学三门核心课程。它们由浅入深，目标是为数学学院学生奠定扎实的代数基础。基于课程改革的需要，我们当即着手对应的教材建设，计划在原来教材的基础上编写代数学三部系列教材：《代数学I代数学基础》，《代数学II近世代数》和《代数学III代数学进阶》。
　　本书即是代数学系列教材三部曲的第一部。我们在冯克勤教授和余红兵教授编著的教材《整数与多项式》基础上，参照Artin，Lang，Hungerford，Dummit-Foote等著名英文教材，对群、环、域的定义和基本性质，循环群和对称群，整数理论，多项式理论等进行介绍，目的是为后续的线性代数，近世代数和数论（包括数论的应用）等众多课程提供基础。我们在保留原来初等数论课程整数理论和多项式理论的基础上，增加了复数、韦达定理等高中忽视的内容，强调了等价关系这个大学数学教学难点，增加了群.环、域的基础知识特别是循环群的知识，对线性代数教学急需的置换的概念进行讨论。这样编写的目的，首先是让学生较早接触到群、环、域等抽象概念，尽早锻炼学生的抽象思维能力，为后续的近世代数课程降低难度。其次我们统一使用代数的思想介绍整数和多项式的理论，希望同学们能够了解初等数论不是数学竞赛中高不可攀的一道道难题，而是在统一逻辑框架下的优美理论，它不仅在今后数学各方面学习中有很多用处，而且是数学在实际生活中应用的重要理论基石。这也是我们将《初等数论》改名为《代数学基础》的原因。
　　本书分为九章。第一章为预备知识，总结了集合和映射等概念，特别对等价关系进行详细阐述，介绍了复数的基本性质，以及求和与求积符号等内容。此章内容实为数学各学科之基础，在此一并给出，应属必要。第二章引入了群、环、域的概念，包括同态、同构、正规子群和理想等概念，给出例子和简单性质。第三章和第四章是整数整除和同余理论的学习，包括算术基本定理和欧几里得算法，剩余类环的构造以及欧拉定理、费马小定理和中国剩余定理等著名定理。第五章则是域上多项式环的介绍，这里大部分结果是整数环理论的平行结果，另外则是多项式零点研究，并给出了根与系数关系的韦达定理。第六章是群论基础，介绍了元素的阶，循环群的基本性质，陪集和群论拉格朗日定理。第七章是对置换和对称群的介绍，包括置换奇偶性和交错群。第八章则是对元有限域乘法群的学习，包括原根和二次剩余的概念，以及二次互反律的证明。最后一章我们回到对多项式的学习，介绍了整系数多项式和对称多项式的性质。
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代数学检察院，新版的，中国科学技术大学编的，很好用

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非常好的教材，适合数学系的学生读一下。

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