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内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版117：非线性波动方程的现代方法（第二版）》的主旨是利用调和分析的现代理论（特别是Fourier限制型估计、可微函数空间的Littlewood-Paley刻画、Fourier局部化技术等）研究非线性波动方程的适定性与散射理论。除了第一版中涉及的在共形变换或其他变换群下的不变量、经典Morawetz估计、Strichartz估计、非线性波动方程弱解的正则性、光滑解与能量解的适定性、临界波方程的散射性理论之外，在第二版中增加了如下两个方面的内容：其一是采用时空乘子方法结合加权的Sobolev-Hardy型不等式，建立不依赖于非线性项及空间维数的Morawetz型估计，通过能量的局部化及线性波的分离、Bourgain的能量归纳技术，证明了临界及次临界Klein-Gordon方程的散射性理论；其二是对于具双Schrodinger结构的高阶Klein-Gordon方程（即Beam方程，它的特点是既没有有限传播速度，也没有独立的质量守恒），通过引入不同形式的容许关系，建立局部与整体的Strichartz估计。利用Tao的频率局部化方法建立广义的几乎有限传播速度，进而建立高阶Klein-Gordon方程能量散射理论。《现代数学基础丛书·典藏版117：非线性波动方程的现代方法（第二版）》的特点是将调和分析方法与现代数学物理方法有机结合，反映这一核心数学领域的新研究成果与研究进展，特别是利用Bourgain的能量归纳技术与Tao的频率局部化方法，给出了非线性波动方程、Klein-Klein型方程（含高阶情形）的经典研究的统一处理。
　　《现代数学基础丛书·典藏版117：非线性波动方程的现代方法（第二版）》可供理工科院校数学、应用数学专业的高年级大学生、研究生、教师以及相关的科技工作者阅读参考。

内页插图

目录

《现代数学基础丛书》序
第二版序言
第一版序言

第1章 乘子方法、不变量及守恒积分
1．1 Laplace方程与共形变换群
1．2 乘子方法与一般的变换群
1．3 非线性波方程以及Klein-Gordon方程的不变量
1．4 Lagrange方法及其在波(含色散波)方程中的应用

第2章 弱解的时空可积性、唯一性及正则性
2．1 预备知识、线性估计及应用
2．2 弱解的存在性
2．3 解的唯一性与正则性

第3章 半线性波动方程的光滑解
3．1 问题、结果及证明的归结
3．2 能量估计与次临界的情形
3．3 衰减估计与临界的情形
3．4 高维波动方程的Cauchy问题解的正则性

第4章 临界波方程能量解的整体适定性与散射性
4．1 能量解的Morawetz估计及整体适定性
4．2 能量解的整体时空估计及散射理论
4．3 波方程与Klein-Gordon型方程能量解及相关问题

第5章 非线性次临界Klein-Gordon方程与SchrSdinger方程的散射理论
5．1 引言
5．2 新型的Morawetz估计
5．3 整体时空估计Ⅰ
5．4 整体时空估计Ⅱ
5．5 散射性理论

第6章 非线性临界Klein-Gordon方程解的散射理论
6．1 引言
6．2 时空范数导致的能量聚积现象
6．3 局部时空估计
6．4 整体时空估计
6．5 散射性理论

第7章 非线性Klein-Gordon型方程解的局部衰减与低正则性
7．1 非线性Klein-Gordon方程解的局部衰减
7．2 高阶非线性Klein-Gordon方程解的局部衰减
7．3 非线性波动方程的低正则性

第8章 非线性高阶Klein-Gordon方程的散射性理论
8．1 引言
8．2 Strichartz估计与适定性理论
8．3 散射理论的机制
8．4 频率局部化技术
8．5 几乎有限传播速度
8．6 散射性理论

附录 函数空间嵌入定理及其记忆方法
A．1 函数空间中嵌入定理的基本内容与证明思路
A．2 Sobolev嵌入定理与尺度变换原理
A．3 用纯光滑尺度来理解插值、乘子、嵌入等关系
A．4 Morrey型空间与John-Nirenberg型位势估计
A．5 Sobolev嵌入定理在PDEs中的应用举例

参考文献
名词索引
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

　　本书是以作者2003年在北京大学所作的数学特别讲座为基础，经过增删整理而成。作者试图用不太长的篇幅，给出研究非线性波动方程的一些基本工具与方法，特别是与调和分析、变分原理及现代物理密切相关的方法与技术。鉴于上述理由，去掉了作者原来在特别数学讲座中有关Schrodinger方程、三代Calderon-Zygmund奇异积分算子与Lip边界上的椭圆边值问题等内容，增加了作者在香港中文大学数学研究所所作的共形变换、乘子方法、Lagrange方法及其在波动方程中的应用等内容。本书选材的思路是以研究工具、研究方法为主线，在内容安排上着力反映非线性波动方程特别是临界情形的新研究进展，在不同的层面阐述各种研究方法以及它们之间的相互联系，为了使本书具有自封闭性、可读性，避免与现有同类专著的重复，用通俗的语言，增加了附录：函数空间嵌入定理的记忆方法，以方便读者阅读与使用。
　　守恒律在数学物理的研究中起着重要的作用。对于每一个自然现象的正确描述，质量、动量、角动量是最基本的守恒量，除此之外，物理系统还常常具有其他守恒量，例如，电荷、同位旋等守恒积分。众所周知，对于任意一个保持物理状态（作用量）不变的连续整体变换T，一定存在一个守恒量或守恒积分。以共形变换（conformal transformations）群为例，在时空平移变换群及Lorentz变换群作用下的不变性就可分别得到能量、动量与角动量等基本的守恒量，在相位变换下保持不变性就蕴涵着电荷守恒。类似地，在更一般的变换（例如，其母元是一般的一阶微分算子）下的不变性可以获得更多的内蕴守恒积分与不变性，基于上述理由，我们在第1章中，首先用乘子方法详细讨论了Laplace方程、非线性波动方程在共形变换群及一般变换群作用下的不变性及守恒积分，特别，取经典的Morawetz型乘子，即径向导数的反称部分，就可以获得经典的Morawetz型守恒积分及Morawetz估计（n≥3）。另一方面，还重点介绍了Lagrange变分方法，通过对Lagrange密度泛函进行变分，可以统一地给出Laplace方程、非线性波方程及非线性Schrodinger方程在各种变换群作用下的守恒积分。特别需要指出的是，通过构造时空径向导数的反称部分（作为新的Morawetz型乘子），可以建立新型的Morawetz估计，这在临界非线性Klein-Gordon型方程、临界Schrodinger方程的散射性理论，特别是低维情形（n=1，2，此时经典的Morawetz估计不成立）的散射性理论研究中起着极其重要的作用。
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