　　自18世纪欧拉最早提出二阶弦振动偏微分方程以后至今的200多年间，对偏微分方程的研究有了迅速的发展。特别在19世纪，随着数学物理问题研究的繁荣，使偏微分方程的研究更是进入了一个快速发展的时期。它由最初只研究几种典型的线性偏微分方程典型定解问题，发展成现在一个研究包含非线性偏微分方程的不适定问题和反问题的庞大而重要的数学分支；它的研究成果不仅推动了数学科学的发展，而且在物理、力学、化学、生物、医学、经济、金融和社会科学等领域中都有重要应用。
　　《偏微分方程》主要介绍波动方程、热传导方程和位势方程定解问题的推导及其求解方法，还对两个自变量的一阶偏微分方程组作了简单介绍。全书共分6章，其基本内容包括：从实际问题出发导出3类方程及其定解条件、二阶线性偏微分方程的分类、线性偏微分方程的叠加原理和定解问题的适定性概念、行波法、分离变量法、微分方程的特征值问题、Fourier变换、Laplace变换、Green函数方法以及两个自变量的一阶线性和拟线性偏微分方程组及它们的Cauchy问题的解法。
　　本书内容编排与其他偏微分方程教材不同，不按方程的类型编排，而按求解的方法编排，因为一种求解方法往往可以用于求解多种不同类型的方程。为了便于有关学科应用偏微分方程的基础知识，在数学推导力求严格和详细的基础上，本书略去了较深或需要冗长和复杂数学推导的内容，只列出结论和相关参考文献。为了让读者了解用本书介绍的方法解决实际问题的能力，本书部分章节中还给出了在实际问题中使用这些方法所受的限制以及相应的变化；同时，书中还配置了一定数量的例题和习题。
　　本书可作为应用数学和计算数学专业以及物理、化学、生物、金融和经济等学科本科生的基础课教材或教学参考书，也可作为自学读物。

内容简介

　　《偏微分方程》主要介绍波动方程、热传导方程和位势方程定解问题的推导及其求解方法，还对两个自变量的一阶偏微分方程组作了简单介绍，《偏微分方程》共分6章，其基本内容包括：从实际问题出发导出3类方程及其定解条件、二阶线性偏微分方程的分类、线性偏微分方程的叠加原理和定解问题的适定性概念、行波法、分离变量法、微分方程的特征值问题、Fourier变换、Laplace变换、Green函数方法以及两个自变量的一阶线性和拟线性偏微分方程组及它们的Cauchy问题的解法，《偏微分方程》的内容按求解方法进行安排，为了便于读者理解，《偏微分方程》配置了一定数量的例题和习题。
　　《偏微分方程》可作为应用数学和计算数学专业以及物理、化学、生物、金融和经济等学科本科生的基础课教材或教学参考书，也可作为自学读物。

第一章偏微分方程的定解问题
§1.1 引言
1.1.1 本书主要研究内容
1.1.2 偏微分方程的一些基本概念
习题1.1
§1.2 弦的微小横振动
1.2.1 弦的微小横振动的定义
1.2.2 弦的微小横振动方程的导出
1.2.3 弦振动方程的定解条件
1.2.4 混合问题和Cauchy问题
1.2.5 高维波动方程
1.2.6 边值问题
习题1.2
§1.3 热传导方程及其定解条件
1.3.1 有关场论的一些知识（复习）
1.3.2 热传导方程
1.3.3 热传导问题的定解条件
1.3.4 Cauchy问题
1.3.5 稳定温度场问题
1.3.6 低维热传导问题
1.3.7 非线性偏微分方程和非线性偏微分方程组
习题1.3
§1.4 二阶线性偏微分方程的分类和化简
1.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
1.4.2 两个自变量二阶线性偏微分方程的分类
1.4.3 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类
1.4.4 多个自变量二阶线性偏微分方程的化简
习题1.4
§1.5 线性偏微分方程的叠加原理定解问题的适定性
1.5.1叠加原理
1.5.2定解问题的适定性
第二章行波法波动方程Cauchy问题的解
§2.1 一维波动方程的Cauchy问题
2.1.1 一维无界弦的自由振动问题D-Alembert公式和D-Alembert解法
2.1.2 无界弦的强迫振动齐次化原理
习题2.1
§2.2 高维波动方程Cauchy问题的解
2.2.1 三维波动方程Cauchy问题的解
2.2.2 二维波动方程Cauchy问题的解
习题2.2
第三章分离变量法微分方程的特征值和特征函数
§3.1 齐次线性方程的齐次边界条件混合问题的分离变量解法
3.1.1 有界弦的自由振动分离变量法
3.1.2 其他定解问题的分离变量法
习题3.1
§3.2 非齐次方程问题的解法
3.2.1 有界弦的强迫振动特征函数展开法
3.2.2 一维非齐次热传导方程混合问题的解法
3.2.3 Poisson方程边值问题的解法
习题3.2
§3.3 非齐次边界条件问题的解法
3.3.1 边界条件的齐次化
3.3.2 方程和边界条件同时齐次化的方法
习题3.3
§3.4 直角坐标系下高维问题的分离变量解法
3.4.1 齐次方程齐次边界条件问题
3.4.2 非齐次方程齐次边界条件问题的解法
3.4.3 非齐次边界条件问题的解
习题3.4
§3.5 极坐标系下的分离变量法
3.5.1 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法
3.5.2 周期边界条件问题的解法
习题3.5
§3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法球函数和柱函数
3.6.1 Bessel方程和Legendre方程的导出
3.6.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解法
3.6.3 Legendre方程的级数解Legendre多项式
3.6.4 Bessel方程的级数解Bessel函数
3.6.5 圆盘中热传导方程的解
习题3.6
§3.7 常微分方程的特征值问题分离变量法的理论基础
3.7.1Sturm�睱iouville问题
3.7.2Sturm�睱iouville问题解的性质
第四章积分变换法
§4.1 Fourier变换法
4.1.1 Fourier变换的定义
4.1.2 Fourier变换的性质
4.1.3 多元函数的Fourier变换
4.1.4 函数Fourier变换的例子
4.1.5 用Fourier变换法求解偏微分方程的定解问题
习题4.1
§4.2 Laplace变换法
4.2.1 Laplace变换和逆变换的定义
4.2.2 Laplace变换的性质
4.2.3 函数Laplace变换的例子
4.2.4 Laplace逆变换的求法
4.2.5 用Laplace变换法求解偏微分方程的定解问题
习题4.2
第五章位势方程的基本解和Green函数解法3类方程的总结
§5.1 δ函数简介
5.1.1 δ函数的定义
5.1.2 δ函数的性质
5.1.3 多元δ函数
§5.2位势方程的Green公式和Green函数
5.2.1 Green公式及其推论
5.2.2 位势方程的基本解
5.2.3 位势方程的基本公式
5.2.4 Poisson方程的Green函数
5.2.5 解在无穷远处取零值的无界区域上的Green函数
5.2.6 一般情况下无界区域上的Green函数
习题5.2
§5.3 利用Green函数求解Poisson方程边值问题的例子
5.3.1 上半空间中Poisson方程的Dirichlet问题
5.3.2 上半空间中Poisson方程的Neumann问题
5.3.3 球中Poisson方程的Dirichlet问题
习题5.3
§5.4 二维Poisson方程的Green函数解法
5.4.1 求解区域为有界区域时的一些结果
5.4.2 求解区域为无界区域时的一些结果
5.4.3 用对称点方法求Green函数
5.4.4 用共形映照方法求Green函数
习题5.4
§5.5 位势方程边值问题解的唯一性和对边界条件的稳定性
5.5.1 调和函数的平均值公式和极值原理
5.5.2 有界区域上Poisson方程边值问题解的唯一性和解关于边值的稳定性
5.5.3 无界区域上Poisson方程边值问题解的唯一性和解关于边值的稳定性
§5.6 3类方程的总结
5.6.1 定解问题提法的差异
5.6.2 极值原理
5.6.3 解的光滑性
5.6.4 解对定解条件的依赖范围和解的扰动的传播速度
5.6.5 关于时间的反演
第六章两个自变量的一阶偏微分方程组
§6.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程组
6.1.1 特征理论和方程的分类
6.1.2 线性双曲型方程组的化简
6.1.3 用特征线法求解一阶线性偏微分方程Cauchy问题的例子
6.1.4 一阶线性双曲型方程组的Cauchy问题
习题6.1
§6.2 两个自变量的一阶拟线性偏微分方程组
6.2.1 特征理论和方程组的分类
6.2.2 拟线性双曲型偏微分方程组的化简
6.2.3 拟线性双曲型方程组的Cauchy问题
习题6.2
部分习题参考答案或提示
参考书目