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內容介紹
本書介紹Banach空間幾何理論及其在不動點理論的應用。全書分為5章。存介紹一些Banach空間的基本知識、Banach空間的弱拓撲與白反性的基礎上，一方麵敘述Banach空間幾何理論的基本內容，特彆講述瞭與不動點有關的各種幾何性、Banach空間中的各種模和幾何常數，同時給齣瞭其存不動點理論、集值映射的不動點理論方麵的應用等；另一方麵研究瞭Banach空間幾何和逼近性質，包括逼近緊和度量投影的連續性、距離函數的可導性與逼近緊性以及Banach空間幾何性質與太陽集等。本書結閤國內外相關的研究成果，將Banach空間幾何理論與不動點理論有機結閤在一起，並給齣瞭其在逼近論方麵的部分應用。
目錄
目錄
前言
第1章 Banach空間的弱拓撲與自反性 1
1.1 預備知識 1
1.2 Bishop-Phelps定理 6
1.2.1 半序Banach空間 6
1.2.2 Bishop-Phelps定理 8
1.3 Krein-Milman定理 11
1.4 Choquet定理 14
1.5 James定理 17
1.6 超冪 25
第2章 與不動點有關的幾何性質 31
2.1 預備知識 31
2.2 嚴格凸性和光滑性 34
2.3 一緻凸性和一緻光滑性 35
2.4 對偶映射 50
2.5 K一緻凸 62
2.6 接近一緻凸和接近一緻光滑 64
2.7 β-性質 80
2.8 F-凸和P-凸 83
2.9 E-凸和O-凸 86
2.10 UNC 和NUNC 88
2.11 r一緻非摺 96
2.12 Opial性質 103
2.13 (M)性質 107
2.14 Banach-Saks性質 109
2.15 Dunford-Pettis性質 113
2.16 Pelczynski 性質(V*) 118
第3章 Banach空間中的模和常數 124
3.1 弱正交係數 124
3.2 弱收斂序列係數 128
3.3 與NUS有關的係數R(X) 134
3.4 U凸模 139
3.5 廣義弱*凸模 145
3.6 廣義Jordan-von Neumann常數 150
3.7 廣義James常數 158
3.8 新常數JX,p(t) 166
第4章 集值映射不動點理論 175
4.1 集值映射 175
4.2 (DL)-條件 178
4.3 (D)性質 181
4.4 蘊含集值不動點性質的幾何條件 183
第5章 Banach空間幾何和逼近性質 192
5.1 逼近緊和度量投影的連續性 192
5.2 距離函數的可導性與逼近緊性 206
5.3 Banach空間幾何性質和太陽集 212
參考文獻 224
在綫試讀
第1章 Banach空間的弱拓撲與自反性
　　1.1 預備知識
　　設是Banach空間，用和分彆錶示Banach空間X的單位球及單位球麵。用錶示X的對偶空間，即為X上的有界綫性泛函的全體。眾所周知，綫性空間X在賦予範數下為Banach空間。
　　稱分離X，是指對於，存在y2Y滿足；其中，n為自然數。若，則稱為X的弱拓撲。如果X是對偶空間，即存在Banach空間Y滿足，則稱為X的弱拓撲。
　　記滿足則JX為從X到JX(X)上的等距綫性映射。若，則稱X是自反的Banach空間。簡記為。
　　引理1.1.1 設滿足。則存在使得，其中稱為f的核空間。
　　證明 設f6=0，則滿足f(x0)6=0，於是，對於8x2X有x=y+ax0，其中。進而有；故，即當n=1時，結論成立。
　　假設時結論成立。當k=n時，考慮則有。由前麵假設，存在滿足若記，則對於有，即有。故又存在an2R滿足因此，
　　若X是有限維Banach空間，則強拓撲與弱拓撲是等價的；對於無窮維Banach空間來說，強拓撲強於弱拓撲。對於凸集有下麵結果。
　　引理1.1.2 (Mazur)設為有界凸集，則。
　　證明 若存在，則對應用分離定理，即存在，滿足從而存在，使得，則存在，使得則。於是由(1.1.1)式，有這與矛盾，故。
　　注1.1.3 設，記錶示的閉凸包，它是包含的*小閉凸集。若即，則存在滿足，其中。
　　注1.1.4 弱Banach-Saks性質：設，若，且存在子列，滿足則稱X具有弱Banach-Saks性質。
　　Banach-Saks性質：若對任意有界序列，都存在子列及滿足則稱X具有Banach-Saks性質。
　　定義1.1.1 設X0是X的子集，對任意x2X，定義稱為x到X0的距離。
　　引理1.1.5 (Riesz引理)設X0是X的真閉子空間，則
　　證明 由於對任意x2X，都有，故隻需證明，對任意的，都存在，滿足。
　　由於X0是X的真閉子空間，故存在，使得。由的定義知，對於，存在，滿足
　　令則對於任意，有即
　　定義1.1.2 設記若對任意x2X，有，則稱C是可逼近集；若對任意x2X，有PC(x)為單點集，則稱C是Chebeshev集。
　　注1.1.6 若X0是X的可逼近子空間，則存在，滿足；若對任意；都有；則X0是X的不可逼近子空間。
　　例1.1.1 在中，令則是X0的不可逼近子空間。
　　定義1.1.3 設為X中的一個序列，若對X中每個元x，存在*一數列，使得其中級數是按範數收斂的，則稱X具有可列Schauder基，而叫做X的一個Schauder基，an稱為x關於基fxng的第n個坐標。
　　引理1.1.7 (Helly定理)設X是賦範綫性空間，為X上某n個有界綫性泛函，為n個復數，是某一正數。則對於任意正數，存在，使其滿足條件：
　　(1)；
　　(2)的充要條件是對於任意n個復數均有
　　證明 必要性。由條件(1)，(2)知，對任意n個復數，及任意，存在使得：由的任意性，有：
　　充分性。不妨設是綫性無關的。考慮從X到n維復歐氏空間Cn的映射T，滿足則T是滿綫性算子，事實上，若T的值域是Cn的m維(m　　於是，取X的n個元，使得當復數滿錶示半徑為以原點為心的球)，則即包含著內以原點為心，以2為邊長的n維開方體，當然也必然包含Cn的一個原點為心的球。
　　*後，用歸謬法推齣結論。反之，假設原命題不成立，則必存在某正數使得X中不存在滿足定理的條件(1)，(2)的，即注意到與為兩個不交的凸集，且由上述論證知。於是，當把Cn看成n維實綫性空間時，由於由Eidelheit定理知，存在X上的實有界綫性泛函，使得令泛函顯然式變為由於必存在不均為0的n個復數，使得由(1.1.2)式中的元y以及元b的假設，可得注意到是球域，均為綫性泛函，故由復數的特點及以上證明得即可得到由於f綫性無關，故，從而有這與定理假設矛盾。
　　引理1.1.8 (Zorn)設X是半序集，若其每一個全序子集都有一個上界，則X有極大元。
　　1.2 Bishop-Phelps定理
　　1.2.1 半序Banach空間
　　定義1.2.1 稱為凸集是指，對有
　　定義1.2.2 設是半序Banach空間，K是X中的閉凸集。滿足
　　(1)若x2；則；
　　(2)若x2K；則x=μ；則稱K是X的閉凸錐。
　　設K是X的閉凸錐，規定
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