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内容介绍
　　本书共十四章，前三章介绍本书的基础知识，包括距离正则图及其表示的基本理论和方法、格、一致偏序集、有限辛几何。后十一章是作者及其合作者近年来的研究成果。在距离正则图的结构方面，涉及强闭包子图及其应用，基于几乎二部图的一致偏序集，Johnson图、Grassmann图、二部图的Terwilliger代数；在Terwilliger代数表示方面，涉及带尖的三对角对的迹和仿射变换、经典和正规化的Leonard对、Leonard对的构作、Leonard三元组的分类、Leonard三元组的构作和几种型的代数模的分类。
目录
目录
前言
一些符号的说明
第1章 距离正则图 1
1.1 图的基本知识 1
1.1.1 图的定义 1
1.1.2 完全图、二部图、补图 1
1.1.3 图的同构、子图 2
1.1.4 途径、路、距离 3
1.1.5 图的谱 3
1.1.6 正则图 5
1.2 强正则图 6
1.3 距离正则图的定义和基本性质 10
1.3.1 距离传递和距离正则图 10
1.3.2 基本性质 13
1.4 交叉表 16
1.4.1 交叉表的定义及其性质 16
1.4.2 A.A.Ivanov 界 19
1.5 Bose-Mesner 代数 20
1.5.1 距离正则图的邻接矩阵 20
1.5.2 本原幂等元 23
1.6 Terwilliger 代数 29
1.6.1 Terwilliger 代数 29
1.6.2 T-模的若干性质 39
1.7 结合方案 45
1.7.1 结合方案的定义 45
1.7.2 结合方案的特征值 48
1.7.3 Krein 参数 52
1.7.4 P(Q) 结合方案 55
1.8 本原与非本原性质 58
1.9 注记 59
第2章 三对角对、Leonard 对、Leonard 三元组 60
2.1 三对角对 60
2.1.1 三对角对和三对角系 60
2.1.2 三对角系的参数阵列 63
2.1.3 三对角对和三对角系的同构 66
2.2 Leonard 对和 Leonard 系 67
2.2.1 Leonard 对和 Leonard 系的定义和相关知识 67
2.2.2 13 类 Leonard 系的参数阵列 74
2.2.3 Askey-Wilson 关系式 78
2.3 Leonard 三元组和 Leonard 三元系 79
2.4 注记 82
第3章 格、一致偏序集、有限辛几何 83
3.1 偏序集和格 83
3.1.1 偏序集 83
3.1.2 格、半模格与几何格 86
3.2 一致偏序集 90
3.3 有限辛几何 94
3.4 注记 98
第4章 强闭包子图及其应用 99
4.1 子空间的定义及其性质 99
4.2 子空间的计数定理 100
4.3 由子空间生成的格 106
4.4 认证码 110
4.5 池设计 112
4.6 注记 114
第5章 基于几乎二部图的一致偏序集 115
5.1 几乎二部图的定义及其性质 115
5.2 几乎二部图的提升矩阵、平坦矩阵和下降矩阵 118
5.3 R=L 线性结构 119
5.4 几乎二部距离正则图的一致结构 121
5.4.1 2D + 1 边形的情形 122
5.4.2 折叠超方体 H(2D + 1；2) 的情形 124
5.4.3 奇图的情形 133
5.5 注记 139
第6章 Johnson 图的 Terwilliger 代数 140
6.1 对偶 Hahn 型 Leonard 系的等价定义 140
6.2 泛包络代数 U(sl2) 141
6.3 与给定的对偶 Hahn 型 Leonard 系相关的 U(sl2)-模结构 143
6.4 Johnson 图的若干性质 147
6.5 标准模的位移分解 149
6.6 标准模 V 上的 U(sl2)-模结构 150
6.7 Johnson 图的 Terwilliger 代数 152
6.8 注记 152
第7章 Grassmann 图的 Terwilliger 代数 153
7.1 对偶 q-Hahn 型 Leonard 系的若干性质 153
7.2 量子代数 Uq(sl2) 155
7.3 q-四面体代数 *q 156
7.4 相关的 Uq(sl2)-模结构和 *q-模结构 157
7.5 Grassmann 图的若干性质 159
7.6 标准模 V 上的 Uq(sl2)-模结构和 *q-模结构 162
7.7 Grassmann 图的 Terwilliger 代数 166
7.8 注记 166
第8章 二部图的 Terwilliger 代数 167
8.1 二部距离正则图的偏序集 167
8.2 H(2D；2) 的情形 168
8.3 一类 D = 3 且 b2 = 1 的二部距离正则图 175
8.4 一类 D = 3 且 b2 > 1 的二部距离正则图 176
8.5 H(D；2) 图的情形 177
8.6 一类含有参数 q；s* 的二部距离正则图 177
8.7 注记 180
第9章 与带尖三对角系相关的迹及带尖三对角对的仿射变换 181
9.1 与带尖三对角系相关的迹 181
9.2 带尖三对角对的仿射变换 185
9.2.1 一些基本事实 185
9.2.2 三对角系的仿射变换和仿射同构 188
9.2.3 带尖的三对角系在仿射同构下的分类 194
9.2.4 三对角对的仿射同构 195
9.3 注记 198
第10章 经典和正规化 Leonard 对 199
10.1 量子参数不是单位根的 Leonard 对 199
10.2 经典 Leonard 对和经典 Leonard 系 201
10.3 正规化 Racah 型 Leonard 对及其分类 207
10.4 正规化 Bannai/Ito 型 Leonard 对 212
10.4.1 直径是奇数的情形 212
10.4.2 直径是偶数的情形 214
10.5 注记 215
第11章 Leonard 对的构作 216
11.1 有限辛几何上的 Leonard 对 216
11.1.1 分次偏序集 LO(m；s；2o) 及其性质 216
11.1.2 子偏序集 L0
O(m；s；2o) 218
11.1.3 L0
O(m；s；2o) 的强一致性 224
11.1.4 利用 L0
O(m；s；2o) 构作 Leonard 对 227
11.2 利用量子代数 Uq(sl2) 构作 Leonard 对 230
11.2.1 LB-TD 型 Leonard 对 230
11.2.2 利用量子代数 Uq(sl2) 构作 Leonard 对 232
11.3 注记 238
第12章 Leonard 三元组的分类 239
12.1 带有非单位根量子参数 Leonard 三元组的类型 239
12.2 经典 Leonard 三元组 243
12.3 经典 Racah 型 Leonard 三元组与 Z3-对称 Askey-Wilson 关系式 247
12.4 经典 Krawtchouk 型 Leonard 三元组与 Z3-对称 Askey-Wilson
关系式 252
12.5 经典 Racah 型 Leonard 三元组的分类 254
12.6 正规化 Bannai/Ito 型 Leonard 三元组 261
12.6.1 直径是奇数的情形 262
12.6.2 直径是偶数的情形 263
12.7 注记 263
第13章 Leonard 三元组的构作 264
13.1 q-Racah 型 Leonard 三元组的构作 264
13.2 经典 Racah 型 Leonard 三元组的构作 267
13.3 经典 Krawtchouk 型 Leonard 三元组的构作 271
13.4 Bannai/Ito 型 Leonard 三元组的构作 274
13.4.1 Bannai/Ito 型 Leonard 对 (A；A*) 及其正规化 274
13.4.2 正规化的 Leonard 三元组 (B；B*；B") 276
13.4.3 由 (A；A*) 构作 Leonard 三元组 279
13.5 注记 284
第14章 几种型的代数模的分类 285
14.1 Bannai/Ito 代数的有限不可约模的分类 285
14.1.1 Bannai/Ito 代数 A(α，β，γ) 285
14.1.2 Bannai/Ito 代数不可约模的分类 288
14.2 Racah 代数不可约模的分类 298
14.2.1 Racah 代数 A(d0；e1；e2) 298
14.2.2 Racah 代数 A(d0；e1；e2) 的生成元在不可约模上的作用 300
14.2.3 Racah 代数不可约模的分类 301
14.3 注记 303
参考文献 304
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第1章 距离正则图
　　本章介绍距离正则图和结合方案的基本知识，包括交叉表、Bose-Mesner代数和Terwilliger代数等。
　　1.1 图的基本知识
　　1.1.1 图的定义
　　定义1.1 图是一个偶对，记作，其中X是顶点的集合，也称为点集，R是X中所有2-子集（无序对，元素可重复）所组成集合的一个子集，称为边集。顶点集和边集也可分别用和表示。
　　如果X和R都是有限集合，则。称为有限图；否则，称为无限图。没有任何边的图称为空图，记作.。只有一个顶点的图称为平凡图。图中顶点的个数叫做图的阶。连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
　　注记1 一个图可用一个几何图形来描述。在保持图的顶点和边的关系不变的情况下，图形的位置、大小、形状都是无关紧要的。
　　一条边的端点称为与这条边关联。反之，一条边也称为与它的端点关联。与同一条边关联的两个端点称为邻接，用或表示顶点x；y邻接，或它们之间有一条边；用x y表示顶点x；y不邻接。如果两条边有一个公共的顶点，则称这两条边邻接。两个端点重合的边叫做环。没有环以及没有重数大于1的边的图称为简单图。
　　本书中的图都是指简单有限图。
　　1.1.2 完全图、二部图、补图
　　定义1.2 每一对不同的顶点均有一条边相连的简单图称为完全图。n阶完全图记作Kn。
　　定义1.3 设X1和X2是图。的顶点子集，使，且。的每一条边的一个端点在X1中，另外一个端点在X2中，则称。为二部图，记作。
　　例1.1 图1.1是一个二部图，这里。
　　图1.1
　　在中，如果X1中的顶点与X2中的每个顶点都相连，则称。为完全二部图。若，则完全二部图记作。
　　图1.2即为K2；3。
　　图1.2 K2；3
　　定义1.4 设。是简单图，H是一个以为顶点集的图，且两个顶点在H中邻接当且仅当它们在。中不邻接，则称H为。的补图，记作。如图1.3所示。
　　图1.3
　　1.1.3 图的同构、子图
　　定义1.5 设和是两个图。
　　（i）双射叫做。与间的同构映射，如果当且仅当
　　（ii）若，则这个同构映射。叫做。的自同构映射，简称自同构。
　　易证。的全体自同构对映射的作成一个群，叫做。的自同构群，记作。
　　定义1.6 图叫做的子图，记作，如果。
　　定义1.7 设X0是图的顶点集合X的一个非空子集，以X0作为顶点集，如果对任意的，只要，就有，那么称（X0；R0）为由X0诱导出的。的子图，记为，也说是。的导出子图。
　　1.1.4 途径、路、距离
　　定义1.8 图的一个顶点和边的交替序列，使得对，边的端点是和，则称1是一条连接w0和wl的途径。w0和wl分别称为1的起点和终点。1中边的数目l称为它的长。
　　若w0=wl，则称此途径为闭的；否则，称为开的。边均不相同的途径称为链。
　　定义1.9 顶点均不同（从而所有边也均不同）的途径称为路。连接不同点w0，w1；；wl的路也可用w0sw1sw2sswl表示。
　　定义1.10 两点x；y间的*短路的长度叫做这两点间的距离，记作，其中为距离函数。
　　显然，如果点x；y间没有路，则称x；y的距离是1，记作。
　　定义1.11 图。的直径是。中所有两点距离的*大值，记作。
　　图叫做连通的，若直径是有限的，即对中任两点x；y，总存在由x到y的路。
　　显然，距离函数满足三角不等式：
　　（1.1）
　　定理1.1 设，则。
　　证明 设，则存在u到v的*短路。于是是到的长为k的路。故。同理，可得。故
　　1.1.5 图的谱
　　一个图也可以用下面的邻接矩阵来刻画。设。定义。的邻接矩阵A是阶的0-1矩阵，它的行与列均用。的顶点标定，A的（x；y）位置的元素为
　　下面介绍图的谱。
　　记，这里，In是n阶单位矩阵，其中称为A的特征多项式。易知是关于A的n次特征多项式。
　　由高斯定理，特征方程有n个根。因为不一定互异，本书把重集称为方阵A的谱，记为或
　　这里，互异，是的重数（即是的mi重根），对于每一个特征值，mi称为的代数重数。而对应的所有特征向量加上零向量构成一个线性子空间，称为与相应的根子空间。它的维数是，这称为特征值的几何重数。
　　例如，完全图K4的邻接矩阵为
　　易得K4的谱为
　　A的特征值也叫做。的特征值，并且A的特征多项式也叫做。的特征多项式，用表示。
　　定义1.12 由邻接矩阵A生成的的子代数叫做图。的邻接代数或Bose-Mesner代数，记作M。
　　邻接代数M中的每一个元素都是关于邻接矩阵A的多项式。因此通过研究Al的性质可以得到关于M的一些性质。
　　引理1.2 图。中从顶点xi到xj长为l的路的条数等于矩阵Al中（xi；xj）位置的元素。
　　证明 显然，当l=0和l=1时，结论成立。假设结论对l=L也成立，那么由顶点xi到xj长为L+1的路对应由顶点xi到xh再到xj的路，其中由xi到xh的路长为L，且xh与xj邻接。因此
　　即从顶点xi到xj长为L+1的路的条数等于矩阵AL+1中（xi；xj）位置的元素。
　　定理1.3 设是一个直径为D的连通图，其邻接代数为M，则
　　证明 设的两个顶点x；y的距离为D，不妨设是一条长为D的路，所以对每一个，至少存在一条*短的长为i的路连接w0和wi，且没有比它更短的路。因此Ai的（w0，wi）位置的元素非零，并且的（w0，wi）位置的元素都为零。由此可知Ai不能用I，A，A2；；Ai.1线性表出。进一步AD在M中线性无关，故
　　图。的邻接代数和谱有十分密切的联系。如果其邻接矩阵A有s个不同的特征值，则因A是实对称矩阵，故A的*小多项式的次数为s。因此邻接代数的维数是s，所以关于A的不同特征值的个数有以下推论。
　　推论1.4 一个直径为D的连通图，至少有D+1个不同的特征值。
　　1.1.6 正则图
　　定义1.13设。中与顶点x关联的边的数目称为x的度或价。
　　如果一个图的每一个顶点都具有相同的度，则称这个图是正则的。每个顶点的度均为k的正则图，称为k-正则图。
　　下面给出正则图的等价定义和特征值的性质。我们令j表示一个每个元素都等于1的列向量，J表示一个每个元素都等于1的矩阵。
　　引理1.5 给定图，其邻接矩阵为A，那么下列条件等价：
　　（i）是正则的；
　　（ii）AJ=JA；
　　（iii）j是A的一个特征向量。
　　证明 由正则图的定义易知。
　　引理1.6 设。是价为k的正则图，那么
　　（i）k是的特征值；
　　（ii）如果是连通的，那么k的重数是1（即k是单根）；
　　（iii）对的任意特征值，有。
　　证明 （i）显然。
　　（ii）设。是连通图。要证k是单根，只需证，其中是A的属于k的特征子空间。设，且：令。考虑的第个分量：
　　其中左端P表示对所有与固定点邻接的点xi的求和，这样的xi共有k个。比如：其中。
　　由vj的值的*大性，可得对所有这k个点有。
　　如果k=n，则，即是由生成的一维子空间。
　　如果k　　如此下去，有v的所有分量相等，即存在实数1，使得。这说明。
　　其中。令，与（ii）一样考虑的第j个分量，则。其中右端表示对所有与固定点邻接的的求和。两端取值，有
　　1.2 强正则图
　　定义1.14 一个图。叫做强正则图，如果它是正则的，不是完全的或空的，并且对于。的任意两个不同的顶点u和v，同时与u和v邻接的顶点个数仅依赖于u和v是否邻接。
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