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商品參數

非綫性微分方程
	曾用價	158.00
	齣版社	科學齣版社
	版次	1
	齣版時間	2011年06月
	開本	16
	作者	傅希林//範進軍
	裝幀	平裝
	頁數	367
	字數	462000
	ISBN編碼	9787030313119

內容介紹
本書旨在介紹非綫性微分方程研究的主要內容、典型方法和*新成果，其中包括作者近年的一些研究工作。本書係統地闡述瞭非綫性常微分方程的基本理論、幾何理論、穩定性理論、振動理論與分支理論等，還分彆介紹廠非綫性泛函微分方程及非綫性脈衝微分方程的相應理論。本書緻力於核心概念的引入、基小定理的闡述、思想方法的揭示，以及非綫性微分方程在現代科技領域中的應用。
目錄
目錄
第1章 非綫性微分方程基本理論 1
1.1 解的局部存在性與*一性 1
1.2 解的延展性 15
1.3 解的連續性、可微性 25
1.4 解的整體存在性 31
1.5 非綫性泛函微分方程基本理論 38
1.6 非綫性脈衝微分方程基本理論 52
附注 62
第2章 非綫性微分方程幾何理論 63
2.1 自治係統、動力係統、極限集 63
2.2 奇點吸引子 81
2.3 極限環吸引子 109
2.4 混沌吸引子 122
2.5 泛函微分自治係統的周期軌 140
2.6 脈衝微分自治係統的閉軌與混沌 145
附注 156
第3章 非綫性微分方程穩定性理論 157
3.1 自治係統的穩定性 157
3.2 非自治係統的穩定性 166
3.3 穩定性比較定理 179
3.4 非自治係統的有界性 186
3.5 關於兩個測度的穩定性 192
3.6 泛函微分方程的穩定性 211
3.7 脈衝微分方程的穩定性 223
附注 242
第4章 非綫性微分方程振動理論 244
4.1 Sturm比較定理 244
4.2 一階時滯微分方程的振動性 249
4.3 二階時滯微分方程的振動性 259
4.4 高階脈衝微分方程的振動性 264
4.5 拋物型脈衝偏微分係統的振動性 274
4.6 雙麯型脈衝偏微分係統的振動性 287
附注 304
第5章 非綫性微分方程分支理論 305
5.1 分支的概念 305
5.2 Hopf分支 308
5.3 從閉軌分支齣極限環 316
5.4 同宿分支與異宿分支 326
5.5 泛函微分自治係統的分支 338
5.6 具實參數的脈衝微分自治係統的奇點與分支 349
附注 354
參考文獻 355
在綫試讀
第1章 非綫性微分方程基本理論
　　微分方程的基本問題在於求解和研究解的各種屬性，眾所周知，早在1841年，法國數學傢Liouville(1809～1882)證明瞭Riccati方程
　　除瞭某些特殊類型外，一般不能用初等積分法求解，例如，形式上很簡單的Riccati方程
　　就不能用初等積分法求解，在19世紀後半葉，天體力學及其他技術科學提齣的一些問題中，需要研究較復雜的微分方程解的局部和全局的性質，但大量的微分方程不能用初等積分法求齣其通解，因而提齣瞭直接根據微分方程本身的結構和特點來探討解的性質。
　　本章研究非綫性微分方程的基本理論．1.1研究微分方程解的局部存在性與*一性．1.2研究解的延展性．1.3研究解對初值與參數的連續性、可微性．1.4研究解的整體存在性．1.5介紹非綫性泛函微分方程的基本理論．1.6闡述非綫性脈衝微分方程的基本理論.
　　1.1 解的局部存在性與*一性
　　考慮如下一階非綫性微分方程
　　其中
　　規定x∈Rn的範數或，對於一般的高階方程，在一定條件下可化成形如方程(1.1.1)的等價方程.
　　設函數x=(t)在區間上的導數存在，如果把代入方程(1.1.1)，得到在區間上關於t的恒等式
　　則稱z=妒(t)為方程(1.1.1)在區間I上的一個解，求方程(1.1.1)滿足某種指定條件f通常稱為定解條件）的解的問題稱為定解問題，*重要的定解條件就是初值條件，即x(t0)=x0，其中￡o∈R，x0∈R”，求微分方程(1.1.1)滿足初值條件的解的問題稱為初值問題或Cauchy問題，記為
　　本節主要研究Cauchy問題(1.1.2)的解的局部存在性與*一性．
　　證明微分方程初值問題的解的存在性以及*一性主要基於Ascoli-Arzela定理、Schauder不動點定理和Banach壓縮映像不動點原理，為此，我們先給齣兩個概念，設F是定義在區間[a，例上的一個m維實列嚮量函數族．
　　一緻有界 若2M>O，使得llf(￡)』≤M(Vf∈F，≠∈[a，例)，則稱函數族F是一孜有界的.
　　等度連續 若對，使得時，
　　對一切，f∈F均有
　　則稱函數族F是等度連續的．
　　Ascoli-Arzela定理 設F={f(t))是定義在上的一緻有界、等度連續的函數族，其中，則從F中必可選取一個在[α,β]上一緻收斂的序列
　　證明 設是區間[α,β]上的全體有理點，
　　首先，構造函數序列
　　因為集閤有界，所以可選齣一個收斂的予序列，同理，集閤有界，從而可選齣一個收斂的子序列，這樣，繼續下去，便得可數個收斂的子序列：
　　其中是的子列．如命，則．
　　其次，利用Cauchv準則和有限覆蓋定理證明{^(t))器，在[d，例上是一緻收斂的.
　　根據的取法知，它在[α,β]的一切有理點上是收斂的，這樣，由數列收斂的Cauchy準則知，對，使得m，n > Ns(rk)時，有
　　根據的等度連續性知，對，使得時，對一切正整數p有
　　由於，其中，所以由有限覆蓋定理知，[α,β]存在有限覆蓋．不妨設為．令，則當時，對，必存在某一個，使得，這祥通過插項即得
　　由函數列收斂的Cauchv準則知，上是一緻收斂的，證畢．
　　Schauder不動點定理 設D是Banach空間E中有界閉凸集，全連續，則T在D上必有不動點.
　　所謂T:D→D全連續是指，T:D→D是連續的，而且又是緊的．
　　Banach壓縮映像原理 設(X，p)是一個完備的度量空間，是一個非空閉集，若a∈[0，1）使得
　　則存在*一的，使得．這樣的x*稱為T的不動點，滿足上述條件的算子T稱為壓縮映像(或壓縮算子)．
　　以上兩定理的證明參閱文獻[18，19]．
　　定理1.1.1（Peano，解的存在性定理） 若f(t，x)在空間Rn+1中某一區域
　　上連續，則初值問題(1.1.2)至少在區間上存在一解，其中.
　　 關於該定理的證明，這裏給齣Euler摺綫法、Tonelli逼近法及Schauder不動點法三種證明方法，
　　方法1 Euler摺綫法．
　　以平麵係統為例說明其證明思路，從(t0，x0)齣發，沿(1.1.2)的方程所確定的綫素場嚮右作直綫段，其斜率為f (to，x0)；在這直綫段上再取一點(t1，X1)，過此點沿綫素場嚮右再作直綫段，其斜率為，(t1，X1)；如此下去，即可得到一條右行摺綫，同理可得一條左行摺綫，這條摺綫稱為(1.1.2)的方程過點(to，x0)的Euler摺綫，當每次所做綫段非常小時，這條摺綫就近似於(1.1.2)的積分麯綫，
　　證明 構造Euler摺綫，然後使用Ascoli-Arzela定理證之.
　　首先，構造Euler摺綫族，即對Vg>0，存在(1.1.2)的一個ε逼近解滿足
　　(1)當t∈J時；
　　(2)在J上連續，並在J上除有限個點外，處處具有連續導數，而在這有限個點處，其左、右導數存在：
　　(3)但在導數不存在點處，應理解為右導數（在t=to+h處為左導數）．
　　以右半區間J+=[to，to+h]為例說明上述的存在性並證明定理的結論成立(對於左半區間類似可證)．
　　因為，所以，在上一緻連續，故對，使得時有
　　對區間J+進行分割，並使分割細度滿足
　　定義函數如下：
　　易證這樣定義的(t)即滿足上述條件(1)、(2)和(3)．
　　其次，設εm遞減趨於零(m→∞)．由剛證得的結論知，對每個，存在(1.1.2)的一個逼近解，它在J+上有定義，m(to)=x0，且
　　於是在上式中令t= t0得
　　故在J+上是一緻有界、等度連續的，由Ascoli-Arzela定理，存在一緻收斂子列，令其極限為c(t)，則．
　　*後，證是(1.1.2)在J+上的解，
　　事實上，由的逼近解知
　　從而
　　故
　　由f在R上一緻連續及在J+上一緻牧斂於(t)知，在J+上一緻收斂於．這樣，在上式中令k→∞得
　　由知，(t)是(1.1.2)在J+上的解，證畢，
　　方法2 7ronelli逼近法．
　　證明的基本思想是用逐次逼近法作近似解，再用Ascoli-Arzela定理證之．
　　證明 以右行解為例給齣證明，對左行解類似可證，
　　對（N+錶示正整數集閤），令
　　(1.1.3)
　　首先，說明定義(1.1.3)的閤理性，
　　事實上，當，從而(1.1.3)中第二式右端積分號下的函數有定義，故，且在此區間上有
　　所以(t，m (t)∈R．
　　類似地，可以確定上的值，以及
　　故上有定義，且在此區間上有．
　　上述過程繼續下去，經有限步之後便得m(t)在[to，to+h]上有定義，且在此區間上．
　　其次，證明有一緻收斂子列，且其極限函數為(1.1.2)的解.
　　事實上，由的定義知，糾且
　　又由(1.1.3)得
　　所以在醫間[to，to+h]上是一緻有界且等度連續的函數族，根據Ascoli-Arzela定理，在區間上存在一緻收斂於某一函數的子列．既然每一個都在上連續，因此，其中,根據(1.1.3)得
　　由於，在有界閉集瓦上連續，從而一緻連續，故一緻收斂於，這樣，在上式中令k→∞即得
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