基本信息

書名：全新正版 浴缸裏的驚嘆:256道讓你恍然大悟的趣題

定價：49.00元

作者：顧森

齣版社：人民郵電齣版社

齣版日期：2014-07-01

ISBN：9787115355744

字數：

頁碼：220

版次：1

裝幀：平裝

開本：16開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

　　暢銷著作《思考的樂趣》作者顧森新力作 數學之趣與文字之美的融閤 256道精選趣題帶你暢遊數學的海洋 讓你在苦思冥想後産生恍然大悟的驚嘆
　　《浴缸裏的驚嘆：256道讓你恍然大悟的趣題》源自阿基米德的那句“Eureka”，是那種苦思冥想後恍然大悟的奇妙感覺。本書精選自作者顧森十餘年來精心收集的數學趣題，廣泛包含瞭幾何、組閤、行程、數字、概率、邏輯、博弈、策略等諸多類彆。其中既有小學奧數當中的經典題目，又有的難題。多數題目都很簡單，基本不需要繁復的計算或者艱深的專業知識，隻需動腦或動手就可以想齣答案，但想齣所有答案也不是那麼容易，有利於激發讀者進一步探索數學問題的興趣。
　　作者顧森中文專業的背景在這本書中體現得淋灕盡緻，本書地融閤瞭數學之趣與文字之美，不僅能讓數學愛好者耳目一新，也能讓文科生們大開眼界。

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內容提要

《浴缸裏的驚嘆：256道讓你恍然大悟的趣題》是一本趣題集，裏麵的題目來自於作者顧森十餘年來的精心收集，包括幾何、組閤、行程、數字、概率、邏輯、博弈、策略等諸多類彆，其中既有小學奧數當中的經典題目，又有很多數學愛好者關注的數學難題，但它們無一例外都是作者心目中的“好題”：題目本身簡單而不容易，答案齣人意料卻又在情理之中，解法優雅精巧令人拍案叫絕。作者還有意設置瞭語言和情境兩個類彆的問題，希望讓完全沒有數學背景的讀者也能體會到解題的樂趣。

目錄

1 　幾何問題 8個兩兩接觸的四麵體以及其他26個與幾何有關的問題
2 　組閤問題　哪種顔色的小方塊更多以及其他22個與組閤有關的問題
3 　行程問題　在哪裏係鞋帶以及其他13個與行程有關的問題
4 　時鍾問題　有歧義的錶盤以及其他7個與時鍾有關的問題
5 　數字問題　1+2+3=1×2×3以及其他19個與數字有關的問題
6 　序列問題　2554563768以及其他13個與序列有關的問題
7 　算賬問題　誰支付瞭啤酒錢以及其他7個與算賬有關的問題
8 　概率問題 另類的俄羅斯輪盤賭以及其他14個與概率有關的問題
9 　邏輯問題　藍眼睛島上的故事以及其他5個與邏輯有關的問題
10 博弈問題　違反直覺的旅客睏境以及其他14個與博弈有關的問題
11 策略問題　少需要多少通電話以及其他31個與策略有關的問題
12 語言問題　哪句話的結構不一樣以及其他17個與語言有關的問題
13 情境問題　怎樣安全到達地麵以及其他25個與情境有關的問題
14 以及其他30個問題

作者介紹

顧森，網名Matrix67，數學愛好者。長期為各類科普雜誌供稿，從事中小學數學教育多年。著有《思考的樂趣：Matrix67數學筆記》。

文摘

　　誰支付瞭啤酒錢
　　據說，曾經在某一段時間裏，美國和加拿大的貨幣匯率齣瞭問題：把9美元帶到加拿大去，可以換成10個加元；把9加元帶到美國去，可以換成10個美元。於是，就齣現瞭這麼一個往返於美加邊境的酒鬼：他用10美元在美國買瞭杯1美元的啤酒，把找迴來的9個美元帶到加拿大去，換成10加元；然後在加拿大又買瞭1加元的啤酒，把找迴來的9個加元帶到美國，再換成10美元……如此反復，他就可以不花一分錢，免費喝到無窮多的啤酒！問題齣現瞭：究竟是誰支付瞭啤酒錢？
　　答案：他用自己的勞動支付瞭啤酒。他以一個貿易商的角色往返於兩地之間，並把賺到的錢花在瞭啤酒上。不要老想著貨幣匯率的問題瞭，其實整個過程的實質很簡單，就相當於他從美國買瞭很多特産帶到加拿大去賣，再在加拿大買瞭很多特産帶到美國去賣，如此反復並不斷獲利，再用賺來的錢買啤酒罷瞭。
　　另類的俄羅斯輪盤賭
　　俄羅斯輪盤賭是史上酷的決鬥方式之一。左輪手槍的轉輪中有六個彈槽。在其中一個彈槽中放入一顆子彈，然後快速鏇轉轉輪，再把它閤上。參與決鬥的兩個人輪流對準自己的頭部扣動扳機，直到其中一方死亡。這是一場真男人遊戲，雙方勝負的概率各占50%，遊戲沒有任何技巧可言，命運決定瞭一切。
　　為瞭讓遊戲更加刺激，這一迴我們稍微改變一下遊戲規則。在轉輪的連續三個彈槽中放入子彈，然後鏇轉並閤上轉輪。這一次，你是打算先開槍還是後開槍呢？
　　你應該選擇後開槍，因為後開槍的人幸存的概率更高。為瞭算齣雙方存活的概率，我們隻需要考慮所有6種可能的子彈位置即可。不妨用字母B來錶示有子彈的彈槽，用字母E來錶示空的彈槽。我們便能列齣下麵這張錶：
　　B B B E E E → 先開槍者死B B E E E B → 先開槍者死B E E E B B → 先開槍者死E E E B B B → 後開槍者死E E B B B E → 先開槍者死E B B B E E → 後開槍者死可見，先開槍者死亡的概率高達2/3，是後開槍者死亡概率的兩倍。
　　可以算齣，當轉輪裏位置相連的子彈數分彆為1、2、3、4、5、6時，先開槍者死亡的概率分彆為1/2、2/3、2/3、5/6、5/6、1。看來，並不是所有遊戲都是先下手為強啊。
　　藍眼睛島上的故事
　　某座島上有200個人，其中100個人的眼睛是藍色的，另外100個人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的顔色，也沒法看到自己眼睛的顔色。他們可以通過觀察彆人的眼睛顔色，來推斷自己的眼睛顔色；除此之外，他們之間不能有任何形式的交流。每天午夜都會有一艘渡船停在島邊，所有推齣自己眼睛顔色的人都必須離開這座島。所有人都是無限聰明的，隻要他們能推齣來的東西，他們能推齣來。島上的所有人都非常清楚地知道上麵這些條件和規則。
　　有一天，一位大法師來到瞭島上。他把島上所有人都叫來，然後嚮所有人宣布瞭一個消息：島上至少有一個人是藍色的眼睛。
　　接下來的每一個午夜裏，都會有哪些人離開這座島？
　　答案：從個午夜到第99個午夜，沒有任何人離開這座島；到00個午夜，所有100個藍眼睛將會同時離開。
　　為什麼？大傢不妨先這樣想：什麼情況下天就會有人離開這座島？很簡單。假如島上隻有一個藍眼睛，那麼當他聽說島上至少有一個藍眼睛之後，他就知道瞭自己就是那個藍眼睛，因為他看到的其他所有人都是棕色的眼睛。因而，當天夜裏他就會離開這座島。好瞭，如果島上隻有兩個藍眼睛呢？他們在天都無法立即推齣自己是藍眼睛，但在第二天，每個人都發現對方還在，就知道自己是藍眼睛瞭。這是因為，每個人都會這麼想：如果我不是藍眼睛，那麼對方昨天就會意識到他是藍眼睛，對方昨天夜裏就應該消失，然而今天竟然還在這兒，說明我也是藍眼睛。後，這兩個人將會在第二天夜裏一並消失。
　　類似地，如果島上有三個藍眼睛，那麼每個人到瞭第三天都發現另外兩個人還沒走，便能很快推齣，這是因為自己是藍眼睛。所以，這三個藍眼睛將會在第三個午夜集體離開。不斷地這樣推下去，終便會得齣，如果島上有100個藍眼睛，那麼每個人都會在00天意識到自己是藍色的眼睛，於是他們將會在00個午夜集體離開。
　　很多人都會對這段解釋非常滿意，然而細心的朋友卻會發現一個問題：在大法師齣現之前，每個人都能看見99個藍眼睛，因此每個人都知道“島上至少有一個人是藍色的眼睛”這件事情。那麼，大法師的齣現究竟有什麼用呢？這是一個很好的問題。它的答案是：大法師的行為，讓“島上至少有一個人是藍色的眼睛”的消息成為瞭共識。
　　在生活當中，我們經常會遇到與共識有關的問題。讓我們來看這麼一段故事。A、B兩人有事需要麵談，他們要用短信的方式約定明天的見麵時間和地點。不過，兩人的時間都非常寶貴，隻有確信對方能夠齣席時，自己纔會到場。A給B發短信說，“我們明天10:00在西直門地鐵站見吧”。不過，短信發丟瞭是常有的事情。為瞭確信B得知瞭此消息，A補充瞭一句，“收到請迴復”。B收到瞭之後，立即迴復：“已收到，明天10:00不見不散”。不過，B也有他自己的擔憂：A不是隻在確認我要去瞭之後纔會去嗎？萬一對方沒有收到我的確認短信，屆時沒有到場讓我白等一中午怎麼辦？因此B也附瞭一句：“收到此確認信請迴復”。A收到確認信之後，自然會迴復“收到確認信”。但A又産生瞭新的顧慮：如果B沒收到我的迴復，會擔心我因為沒收到他的迴復而不去瞭，那他會不會也就因此不去瞭呢？為瞭確保B收到瞭迴復，A也在短信末尾加上瞭“收到請迴復”。這個過程繼續下去，顯然是沒完沒瞭。其結果是，A、B兩人一直在確認對方的信息，但卻始終無法達成這麼一個共識：“我們都將在明天10:00到達西直門地鐵站”。
　　有的人或許會說，那還不簡單，A給B打個電話不就行瞭嗎？在生活當中，這的確是上述睏境的一個佳解決辦法。有意思的問題齣來瞭：打電話和發短信有什麼區彆，使得兩人一下就把問題給解決瞭？主要原因可能是，打電話是“在綫”的，而發短信是“離綫”的。在打電話時，每個人都能確定對方在聽著，也能確定對方確定自己在聽著，等等，因此兩人說的任何一句話，都將會立即成為共識：不但我知道瞭，而且我知道你知道瞭，而且我知道你知道我知道瞭……
　　大法師當眾宣布“島上至少有一個藍眼睛”，就是讓所有人都知道這一點，並且讓所有人都知道所有人都知道這一點，並且像這樣無限嵌套下去。這就叫做某條消息成為大傢的共識。讓我們來看一下，如果這個消息並沒有成為共識，事情又會怎樣。
　　為瞭簡單起見，我們還是假定島上隻有兩個藍眼睛。這兩個人都能看見對方是藍眼睛，因而他們都知道“島上至少有一個藍眼睛”。但是，由於法師沒有齣現，因此他倆都不知道，對方是否知道“島上有藍眼睛”這件事。所以，到瞭第二天的時候，之前的推理就無法進行下去瞭——每個人心裏都會想，對方沒有離開完全有可能是因為對方不知道“島上有藍眼睛”這件事。
　　類似地，如果島上有三個藍眼睛，那麼除非他們都知道，所有人都知道所有人都知道瞭“島上有藍眼睛”這件事，否則第三天的推理是不成立的——到瞭第三天，會有人覺得，那兩個人沒走僅僅是因為他們不知道對方也知道“島上有藍眼睛”這件事罷瞭。繼續擴展到100個藍眼睛的情形，你會發現，“互相知道”必須得嵌套100層，纔能讓所有推理能順利進行下去。
　　實際上，我們的題目條件也是不完整的。“島上的所有人都非常清楚地知道上麵這些條件和規則”這句話應該改為“上麵這些條件和規則是島上所有人的共識”，或者說“島上所有人都知道上麵這些條件和規則，並且所有人都知道所有人都知道，等等等等”。如果沒有這個條件，剛纔的推理也是不成立。比方說，雖然所有人都是無限聰明的，但是如果大傢不知道彆人也是無限聰明的，或者大傢不知道大傢知道彆人也是無限聰明的，推理也會因為“昨晚他沒走僅僅是因為他太笨瞭沒推齣來”之類的想法而被卡住。下一章的博弈問題當中，共識的概念也會起到很大的作用。
　　這是一道非常經典的問題，網絡漫畫網站XKCD把它稱作是“世界上難的邏輯謎題”。我至少見過這個問題的四種不同的版本。JohAllePaulos的Once UpoA Number裏寫過一個大女子主義村的故事：村子裏有50個已婚婦女，每個婦女都不知道自己的男人是否有外遇，但卻可以觀察到其他婦女的男人是否有外遇。規定，隻要哪個婦女推齣瞭自己的男人有外遇，當晚她就必須把自己的男人殺死。有一天，村子裏來瞭一位女族長。女族長宣布，島上至少有一個婦女，他的男人有外遇。實際上，每個婦女的男人都有外遇。那麼後究竟會發生什麼呢？村子裏的人將會度過49個平靜的晚上，到第50天則會齣現徹底的大屠殺。
　　另一個與瘋狗有關的版本也大緻如此：村子裏每個人都養瞭一條狗，每個人都不知道自己的狗是不是瘋瞭，但都可以觀察到彆人傢的狗是不是瘋狗。隻要推齣自己的狗是瘋的，當天晚上就必須用槍把它殺死。有一天，村裏來瞭一個人，宣布瞭至少有一條瘋狗的消息，然後前2天平安無事，第3天夜裏齣現瞭一陣槍響，問村子裏實際上有多少瘋狗？答案是，3條。
　　後還有一個戴帽子的版本。老師給5個小孩兒每個人頭上都戴瞭一頂黑帽子，然後告訴大傢，至少有一個人頭上戴著的是黑色的帽子。接下來，老師嚮大傢提問：“知道自己戴著黑帽子的請舉手”，連問四次沒有反應，到瞭第五次則齊刷刷地舉手。有的地方把“戴著黑帽子”換成“額頭上點瞭一個墨點”，然後老師讓大傢推測自己額頭上是否有墨點。這本質上也是一樣的。
　　……

序言

1 　幾何問題 8個兩兩接觸的四麵體以及其他26個與幾何有關的問題
2 　組閤問題　哪種顔色的小方塊更多以及其他22個與組閤有關的問題
3 　行程問題　在哪裏係鞋帶以及其他13個與行程有關的問題
4 　時鍾問題　有歧義的錶盤以及其他7個與時鍾有關的問題
5 　數字問題　1+2+3=1×2×3以及其他19個與數字有關的問題
6 　序列問題　2554563768以及其他13個與序列有關的問題
7 　算賬問題　誰支付瞭啤酒錢以及其他7個與算賬有關的問題
8 　概率問題 另類的俄羅斯輪盤賭以及其他14個與概率有關的問題
9 　邏輯問題　藍眼睛島上的故事以及其他5個與邏輯有關的問題
10 博弈問題　違反直覺的旅客睏境以及其他14個與博弈有關的問題
11 策略問題　少需要多少通電話以及其他31個與策略有關的問題
12 語言問題　哪句話的結構不一樣以及其他17個與語言有關的問題
13 情境問題　怎樣安全到達地麵以及其他25個與情境有關的問題
14 以及其他30個問題