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徐利治，周蕴时 著

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• 稀疏网格
• 积分技术
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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030464064

商品编码：26741617343

包装：平装

出版时间：1980-03-01

基本信息

书名：高维数值积分

定价：69.00元

作者：徐利治,周蕴时

出版社：科学出版社

出版日期：1980-03-01

ISBN：9787030464064

字数：

页码：309

版次：1

装帧：平装

开本：32开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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内容提要

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《高维数值积分》介绍了高维数值积分的基本方法，其中包括代数方法、数论方法及解析方法。此外，还介绍了高维边界型求积公式的构造方法以及含参变量积分的渐近展开方法，可供计算数学工作者参考。

目录

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序
第一章 关于高维求积公式的某些简单定理
1．变换定理
2．乘积定理
3．对称求积公式的构造原则
4．求积公式与插值多项式之间的关系

第二章 二次及三次的高维求积公式
1．对称区域上的“二次求积公式”
2．对称区域上的“三次求积公式”
3．一般区域上的“二次求积公式”
4．中心对称区域上的“三次求积公式”

第三章 构造数值积分公式的算子方法
1．几个常用的符号算子及其关系式
2．Euler求和公式的导出
3．利用符号算子表出的数值积分公式
4．Willis展开方法
5．腩耱屦龛 -滂蜿桧方法

第四章 高维积分的“降维法”与二维求积公式的一种构造法
1．高维近似积分的“降维法”基本公式
2．“降维法”中的几个展开公式及余项估计
3．展开公式的应用及举例
4．适用于特种类型区域的降维展开公式
5．利用直角三点组构造二维求积公式
6．代数精确度的提高法（带微商的求积公式）

第五章 高维矩形区域上的数值积分与误差估汁
1．问题的叙述与误差上界c，的表示式
2．关于W（r）（M；U）类函数的求积程序及敛速估计
3．关于c（r）（u）类函数的求积程序的敛速估计
4．非矩形区域上的求积程序的敛速估计
5．注记及问题

第六章 高维数值积分公式的误差界限决定法
1．估计误差界限的一种方式
2．关于W函数类的求积公式的误差上限决定法
3．关于可微函数类的多重求积公式的误差上限表示式

第七章 均匀网求积公式及误差估计
1．均匀网求积公式在函数类ⅡPS上的误差估计
2．均匀网求积公式在函数类Das和Eas上的误差估计
3．优化均匀网求积公式的方法
4．被积函数的周期化

第八章 不均匀网求积公式
1．必要的数论知识
2．不均匀网
3．不均匀网求积公式在Eas类上的误差估计
4．不均匀网求积公式在函数类Has上的误差估计

第九章 用随意延伸的单和逼近多重积分
1．一致分布与Cоσοπь定理
2．ченцв定理
3．Halton定理
4．另一种随意延伸的单和序列
5．Haselgrove方法

第十章 平行网求积公式
1．平行网
2．平行网求积公式在函数类Eas上的误差估计
3．平行网求积公式在函数类Has上的误差估计
4．化多重积分为单积分的方法
5．一类近似积分公式及误差估计

第十一章 实分圆域法——华、王方法
1．代数数域
2．实分域
3．再论一致分布
4．“分圆域求积公式”在函数类Eas上的误差估计
5．准平行网求积公式在函数类Eas上的误差估计
6．在函数类Ka1上的求积误差估计

第十二章 不带微商的“边界型求积公式”
1．在矩形，立方体区域上的三次及五次公式
2．圆环，双层球壳域上的边界型求积公式
3．椭圆柱体上的边界型求积公式
4．其它公式

第十三章 带有微商项的边界型求积公式
1．具有齐次代数精确度的降维展开公式
2．一个特殊的边界型求积公式
3．球域上的边界型求积公式
4．立方域上的边界型求积公式
5．无界区域上的边界型求积公式
6．几个简单的数值例子

第十四章 含参变量的积分近似计算法
1．一个渐近展开公式及其应用
2．带余项的渐近展开公式及其应用
3．含多个大参数的振荡型积分的近似计算法
4．关于振荡型积分的一类近似计算公式
5．论一类无穷积分的展开方法

参考文献

作者介绍

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文摘

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序言

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现代计算物理学导论 本书旨在为物理、工程及相关领域的本科高年级学生和初级研究生提供一个全面且深入的现代计算物理学基础。它不仅仅是一本数值方法手册，更是一本关于如何将数学理论转化为高效、可信赖的计算机模拟的实践指南。 在当今的科学研究中，实验观测和理论推演往往需要强大的计算工具作为支撑。许多复杂的物理问题，例如湍流、量子多体系统或广义相对论中的时空演化，仅凭解析方法难以求解。本书聚焦于解决这些“硬骨头”问题所需的关键计算技术和算法，帮助读者建立起坚实的计算思维框架。 核心内容与结构 本书结构清晰，循序渐进，从最基础的数值技巧逐步深入到前沿的模拟技术。全书分为四个主要部分： 第一部分：基础数值方法与误差分析 (Fundamentals and Error Analysis) 本部分为后续高级主题奠定理论和实践基础。 第一章：浮点运算与稳定性 详细探讨计算机如何表示实数，包括单精度和双精度浮点数的限制。重点分析舍入误差、截断误差的来源与累积效应。引入条件数和病态问题的概念，强调计算稳定性在物理模拟中的首要地位。通过具体的数值例子（如斐波那契数列的迭代计算），直观展示不当算法设计可能导致的灾难性后果。 第二章：线性系统的求解 线性方程组是计算物理学的基石。本章覆盖直接法和迭代法。 直接法： 详细剖析高斯消元法、LU分解及其在精度和计算效率上的权衡。特别关注稀疏矩阵的存储格式（如CSR、COO）及其在处理大型物理模型（如有限差分网格）中的应用。 迭代法： 深入讲解雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代，并过渡到更高效的预条件子技术（如共轭梯度法CG、GMRES）。针对大规模稀疏系统，分析收敛判据和选择合适预处理器的策略。 第三章：优化问题与最小二乘法 物理系统往往倾向于处于能量最低或概率最高的态。本章处理如何寻找函数的极值点。 一维搜索： 介绍黄金分割法和布伦特法（Brent's method）在高效寻优中的应用。 多维无约束优化： 详述梯度下降法、牛顿法及其拟牛顿改进（如BFGS算法）。重点讨论如何处理非凸优化面以及鞍点的识别与规避。 线性与非线性最小二乘： 讨论如何通过最小二乘拟合确定实验数据中的物理参数，包括QR分解的应用。 第二部分：常微分方程的数值解法 (Ordinary Differential Equations - ODEs) 物理系统的时间演化通常由常微分方程描述（如牛顿定律、电路方程）。本部分专注于时间积分技术。 第四章：一阶ODE的单步法 系统性介绍欧拉法（前向、后向）及其局限性。重点解析龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，特别是RK4的数学推导和实际应用，分析其局部截断误差。 第五章：高阶ODE与刚性系统 处理二阶及以上ODE（如受迫振动、轨道力学）。引入刚性系统 (Stiffness) 的概念，解释为什么标准显式方法在刚性系统中失效。详细介绍隐式方法（如后向欧拉法）和线性多步法（BDF, Adams-Moulton），以及如何利用这些方法稳定地求解刚性系统的长期行为。 第六章：动力学模拟的特殊技术 针对保守系统（如哈密顿力学），本书强调辛积分 (Symplectic Integration) 方法的必要性。对比辛积分与传统方法在长期模拟中对能量守恒的保持能力，这对分子动力学模拟至关重要。 第三部分：偏微分方程的数值逼近 (Partial Differential Equations - PDEs) 描述场、波、扩散过程的偏微分方程是计算物理的核心挑战。 第七章：有限差分法 (Finite Difference Method - FDM) 对经典的椭圆型（如泊松方程）、抛物线型（如扩散方程）和双曲型（如波动方程）PDE进行分类介绍。重点讲解如何构造高阶精度差分格式，并讨论边界条件的具体处理策略（如吸收边界条件）。 第八章：有限元方法 (Finite Element Method - FEM) 作为处理复杂几何和非均匀介质的强大工具，FEM的原理被深入剖析。内容涵盖形函数（Shape Functions）、刚度矩阵的组装过程（Assembly Procedure）以及如何将变分原理转化为离散代数方程。本书通过一个二维静电势计算实例，完整演示FEM的实施流程。 第九章：时域与频域的波动方程处理 处理波动现象（如电磁波传播、声学模拟）需要特殊技巧。讨论FDTD（Finitie-Difference Time-Domain）方法在处理吸收边界条件（如PML层）上的优势，并介绍傅里叶变换方法在频域分析中的应用。 第四部分：蒙特卡洛方法与随机过程 (Monte Carlo Methods and Stochastic Processes) 当问题的维度过高或涉及概率分布时，采样方法成为首选。 第十章：蒙特卡洛积分与基本采样 介绍随机数的生成与检验（如线性同余发生器、Mersenne Twister）。详细阐述基础的接受-拒绝法（Accept-Reject）和重要性采样（Importance Sampling）技术，用以提高积分效率。 第十一章：马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 这是处理高维概率分布采样的核心技术。详细推导并实现Metropolis-Hastings算法和Gibbs采样器。通过在统计物理学（如伊辛模型）中的应用案例，展示如何精确计算配分函数和平均物理量。 第十二章：扩散与布朗运动模拟 利用随机行走模拟介质中的粒子输运问题。介绍如何将随机过程的解析解（如爱因斯坦关系）与计算模型相结合，并讨论布朗运动模拟中的时间步长选择对统计结果的影响。 贯穿全书的实践导向 本书的显著特点是强调实践操作。每章末尾均附有“编程挑战”，要求读者使用C++或Python（配合NumPy/SciPy库）实现所学算法。所有代码示例均力求清晰、模块化，并附有详尽的注释，确保读者不仅理解“如何做”，更能理解“为什么这样做”。本书的最终目标是培养读者独立解决复杂物理问题的计算能力，使其能够自信地设计、实现并验证先进的数值模拟程序。 适用读者： 物理学、应用数学、化学工程、航空航天工程等专业的本科高年级及研究生。 需要利用数值方法进行数据分析和模型验证的科研人员。 本书假设读者已掌握基础的微积分、线性代数知识，并具备基本的编程能力。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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