数学基本思想18讲 史宁中 北京师范大学出版《数学基本思想18讲》 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303197606

商品编码：26121791440

丛书名： 数学基本思想18讲

出版时间：2016-10-01

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《数学的奥秘：探寻思想的精髓》 数学，这门古老而又充满活力的学科，其魅力远不止于冰冷的数字和复杂的公式。它是一种思维方式，一种认识世界、解决问题的强大工具。本书《数学的奥秘：探寻思想的精髓》旨在带领读者穿越数学的浩瀚星河，领略那些构建起整个数学大厦的基石性思想。我们不追求罗列繁多的定理或技巧，而是着力于挖掘隐藏在数学现象背后的深层逻辑与智慧，帮助读者建立起对数学本质的深刻理解。 本书并非一本教科书，它更像是一次与数学思想的深度对话。我们选取了十八个贯穿数学始终、具有代表性的基本思想，以一种深入浅出、引人入胜的方式进行阐述。每一个思想都如同一个独特的视角，让我们能够从不同的维度审视数学的结构与发展。我们将探讨这些思想是如何在历史上萌芽、演变，又是如何深刻地影响了数学的进步，乃至推动了人类文明的发展。 第一讲：抽象与模型——从具体到普遍的飞跃 一切数学的起点，往往是对现实世界现象的观察与提炼。本讲将深入探讨“抽象”这一数学中最核心的思维方式。我们将看到，如何从纷繁复杂的具体事物中抽取其本质属性，形成数学对象，进而建立起数学模型来描述和理解现实。从简单的计数，到复杂的几何图形，再到抽象的群、环、域等代数结构，抽象是数学得以普遍适用的根本原因。我们将通过生动的例子，展示抽象的力量，让读者体会数学如何将特定问题升华为普遍规律。 第二讲：逻辑与证明——数学大厦的基石 数学的严谨性源于其对逻辑推理的极致追求。“证明”是数学语言中最有力的表达方式，它确保了数学结论的可靠性与普适性。本讲将剖析数学证明的构成要素，讲解不同的证明方法（如直接证明、反证法、归纳法），并探讨逻辑推理在数学探索中的重要作用。我们将看到，逻辑不仅仅是形式化的游戏，更是认识真理、构建知识体系的坚实基石。 第三讲：函数与映射——关系与变化的舞蹈 在数学的世界里，“函数”是一个无处不在的概念。它描绘了量与量之间的关系，揭示了事物发展的动态规律。“映射”则将函数的概念推广到更一般的集合之间，成为研究结构和变换的有力工具。本讲将带领读者理解函数的本质，认识不同类型的函数及其性质，并通过大量的实例，展现函数在描述物理、经济、工程等领域中的强大能力。我们将体会，函数是如何将静态的数字转化为生动的变化过程。 第四讲：极限与无穷——触及无限的边界 “极限”是微积分的灵魂，它让我们能够处理无限逼近和无限趋近的概念，从而解决许多传统方法无法企及的问题。本讲将深入浅出地解析极限的思想，从直观的几何直观到严谨的epsilon-delta定义，让读者理解数学如何“触及”无限的边界。我们将看到，极限如何帮助我们理解连续性、收敛性，并为研究导数和积分奠定基础。 第五讲：导数与变化率——动态世界的度量衡 “导数”是对事物变化速度和方向的度量。它将静态的几何概念“斜率”推广到变化不定的曲线，成为描述瞬时变化率的通用语言。本讲将重点阐释导数的几何意义、物理意义，以及它在优化问题、速率分析中的应用。我们将看到，导数如何赋予我们观察和理解动态世界的能力。 第六讲：积分与累积——累积的力量与面积的奥秘 如果说导数是“分解”变化，那么“积分”就是“累积”变化。它能够计算曲线下的面积、体积，以及各种累积效应。本讲将解析积分的几何意义和物理意义，介绍定积分与不定积分的关系，并展示积分在计算总和、平均值、功等方面的广泛应用。我们将体会，积分如何帮助我们理解累积过程的宏伟。 第七讲：代数与结构——符号的魔法与规律的概括 “代数”是数学的另一大支柱，它通过符号的运算来研究数与式的普遍规律。“结构”则是代数思想的进一步升华，它关注的是数学对象之间的内在关系和运算规则。本讲将从数的运算开始，逐步引导读者理解代数方程的求解，以及更抽象的群、环、域等代数结构。我们将体会，代数如何让数学的表达更加简洁、普适。 第八讲：几何与空间——图形的语言与度量的智慧 “几何”是数学中最直观的分支之一，它研究图形的性质、形状和空间关系。“度量”则是几何的另一重要维度，它关注长度、角度、面积、体积等量的测量。本讲将回溯几何的起源，从欧几里得的平面几何到高维空间的探索，并探讨几何在物理学、工程学等领域的应用。我们将看到，几何如何帮助我们理解我们所处的空间。 第九讲：概率与随机——不确定性中的秩序 在充满了不确定性的世界里，“概率”为我们提供了一套量化和分析随机现象的工具。“随机”并非完全混乱，而是存在着内在的统计规律。本讲将介绍概率的基本概念，如事件、概率、期望，并探讨如何利用概率来预测和理解不确定的未来。我们将看到，概率如何让科学研究得以延伸到充满偶然性的领域。 第十讲：统计与数据——从样本到推断的艺术 “统计”是处理和分析数据的学科，它通过对样本数据的研究，来推断总体的特征。“数据”是信息时代的基石，而统计学则是解读这些数据的钥匙。本讲将介绍统计学的基本方法，如描述性统计和推断性统计，并展示统计学在科学研究、社会调查、商业决策等方面的强大作用。我们将学习如何从杂乱无章的数据中提取有价值的信息。 第十一讲：离散与连续——不同世界的视角 “离散”与“连续”是两种截然不同的数学视角，它们分别描述了事物在数量和空间上的特点。本讲将对比分析离散数学（如图论、组合学）与连续数学（如微积分）的思维方式和应用领域，并探讨它们之间的相互联系和转化。我们将体会，不同的视角能够揭示事物不同的本质。 第十二讲：方程与求解——寻找未知数背后的规律 “方程”是数学中表达未知数与已知数之间关系的语言。求解方程的过程，就是寻找隐藏在关系背后的规律。本讲将从简单的线性方程讲起，逐步深入到高次方程、微分方程等更复杂的方程形式，并介绍不同求解方法背后的思想。我们将看到，方程是如何成为解决问题的强大武器。 第十三讲：算法与计算——效率的追求与逻辑的实现 “算法”是解决问题的具体步骤和方法。“计算”则是算法的执行过程。本讲将探讨算法的设计思想，如分治法、动态规划等，并介绍算法的效率分析。我们将认识到，高效的算法是现代计算机科学的基石，也是解决复杂问题的关键。 第十四讲：对称与不变性——隐藏在变换中的规律 “对称”是自然界和数学中普遍存在的现象。“不变性”则是在某种变换下保持不变的性质。本讲将从几何中的对称图形讲起，逐步引入代数、群论中的对称性概念，并探讨不变性在物理学、密码学等领域的应用。我们将发现，对称性往往是深刻规律的体现。 第十五讲：归纳与演绎——推理的两种重要方式 “归纳”是从特殊到一般的推理，“演绎”则是从一般到特殊的推理。本讲将对比分析这两种推理方式在数学中的作用，探讨它们如何结合起来构建严密的数学体系。我们将理解，数学的发现和证明往往依赖于这两种重要的思维方式。 第十六讲：模型评估与检验——数学的实用性与局限性 任何数学模型都是对现实的简化和抽象，因此模型本身需要接受检验与评估。本讲将探讨如何评价一个数学模型的有效性、适用范围，以及如何认识数学模型的局限性。我们将理解，数学的强大在于其应用，而科学的精神在于其对自身局限性的清醒认识。 第十七讲：数学史中的思想火花——跨越时空的智慧传承 数学并非一成不变，它是在人类文明的长河中不断发展和演进的。本讲将通过梳理数学史上的重要思想发展脉络，展示那些伟大的数学家是如何提出开创性的思想，又是如何深刻地改变了我们对世界的认知。我们将从历史的角度，理解数学思想的传承与创新。 第十八讲：数学的未来与展望——探索未知，永不止步 数学的探索永无止境。本讲将对数学的未来发展方向进行展望，介绍一些前沿的研究领域和尚未解决的数学难题。我们将鼓励读者保持好奇心，继续探索数学的无限可能，并将数学思想应用于解决未来社会面临的挑战。 《数学的奥秘：探寻思想的精髓》并非要将十八个思想孤立地呈现，而是力求展现它们之间的内在联系和相互渗透。通过对这些基本思想的深入理解，读者将能够更清晰地认识数学的本质，掌握分析和解决问题的数学思维方式，并最终领略数学这一古老学科所蕴含的无穷魅力。我们相信，本书将为所有对数学抱有好奇心和探索精神的读者，开启一扇通往数学世界更深处的大门。

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这本书的封面设计简洁大方，一看就很有学术的严谨感。史宁中教授的名字，以及北京师范大学出版社的出品，这本身就是一种品质的保证。我一直对数学抱有浓厚的兴趣，但总觉得在学习过程中，很多时候只是在 rote learning（死记硬背）公式和定理，缺乏一种更深层次的理解。我期望这本书能够帮助我拨开迷雾，看到数学背后那些更普适、更本质的思想，能够触及到数学的“灵魂”所在。比如，它会不会讲到数学的抽象能力是如何培养的？或者说，数学家们是如何从具体的现象中提炼出一般性的规律的？我特别好奇，书中是否会用一些生动有趣的历史故事来串联起这些基本思想的发展脉络，让学习过程不再枯燥乏味，而是充满探索的乐趣。有时候，我会觉得数学就像一座巍峨的山峰，而我们常常只能看到山脚下的风景，这本书能否像一位经验丰富的向导，指引我们攀登，让我们看到更广阔的视野，理解那些支撑起整个数学大厦的基石，将那些看似孤立的知识点有机地联系起来，形成一个整体的认知框架。我希望它能带我领略数学的魅力，不仅仅是解决问题的工具，更是认识世界的一种深刻的视角。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，我首先被它的书名吸引了。《数学基本思想18讲》——这个标题直击我内心深处的渴望。我总是在学习数学的过程中，遇到瓶颈，感觉自己像是在原地打转，虽然掌握了不少解题技巧，但总觉得少了点什么，少了那种“顿悟”的感觉。我希望这本书能够提供一种全新的视角，让我能够从一个更高的维度去审视和理解数学。它会不会介绍数学中那些贯穿始终的核心概念，比如集合论的思想、逻辑推理的精髓，亦或是代数、几何、分析等不同分支背后隐藏的共通原理？我期待这本书能够帮助我建立起一种数学思维模式，不只是记忆，而是能够灵活运用，融会贯通。我希望能通过阅读这本书，理解为什么数学能够如此强大，它又是如何一步步发展至今，并且在现代科学和技术中扮演如此重要的角色的。这本书会不会提供一些思考题或者练习，来引导读者主动去运用这些基本思想，而不是仅仅停留在理论层面？我很想知道，通过这18讲的学习，我是否能够对数学产生一种“豁然开朗”的感觉，让学习数学变得更加高效和有意义。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本书，一种严谨而又充满魅力的气息扑面而来。《数学基本思想18讲》，这不仅仅是一本书名，更像是一个承诺，一个关于理解数学本质的承诺。我一直在思考，数学到底是什么？它仅仅是工具，还是连接现实与抽象的桥梁？我希望这本书能够给出我的答案。它会不会从不同的角度，比如结构、逻辑、公理化体系等，来阐述数学的内在联系？我特别好奇，书中是否会介绍一些数学中“未解之谜”或者“猜想”，来激发读者的探索欲，让我们看到数学仍在不断发展和完善的活力。这本书会不会帮助我理解数学的抽象化过程，从具体到一般的飞跃，以及这种抽象化能力对我们认知世界的重要性？我期待它能提供一种全新的学习路径，让我不再是被动地接受知识，而是主动地去建构自己的数学认知体系。我希望通过这18讲的学习，能够对数学有一个更深刻、更全面的理解，让它成为我思维的催化剂，帮助我更好地认识这个复杂而精彩的世界。

评分☆☆☆☆☆

拿到《数学基本思想18讲》，我内心充满了好奇和憧憬。我一直觉得，数学不仅仅是冷冰冰的数字和公式，它背后蕴含着一种独特的智慧和思维方式。我希望这本书能够帮助我理解数学的“道”，而不是停留在“术”的层面。这本书会不会深入浅出地介绍数学中的逻辑性、严谨性是如何体现的？又或者，它是否会探讨数学的创造性，那些伟大的数学发现是如何诞生的？我非常期待书中能够提供一些具体的案例，来展示这些基本思想是如何被应用于解决实际问题，甚至是哲学层面的思考。我希望通过这本书，我能够培养出一种更加敏锐的数学直觉，能够从纷繁复杂的现象中抓住事物的本质。它会不会讲述一些关于数学家们的故事，让他们在追求真理过程中的探索和思考，能够给我带来启发？我希望这本书能够让我感受到数学的逻辑之美、结构之美，以及它在认识宇宙和我们自身过程中的独特价值。

评分☆☆☆☆☆

读完这本书的扉页，我感受到了一种沉甸甸的期待。史宁中教授的名字，在我看来，已经代表了深厚的学术功底和严谨的治学态度。我一直在寻找一本能够系统性地梳理数学基本思想的书籍，而不是零散地介绍某个领域的知识。我希望这本书能够带领我走进数学的“方法论”世界，让我理解数学家是如何思考的，他们是如何构建数学理论的，以及数学的本质究竟是什么。我特别想知道，书中会不会触及到数学模型的思想，如何将现实世界的问题抽象成数学模型，又如何通过数学模型来分析和解决问题。另外，作为一名对科学发展史略感兴趣的读者，我是否能从中了解到数学基本思想在历史长河中的演变过程，以及它们如何推动了人类文明的进步？这本书会不会像一个引路人，为我打开一扇通往更广阔数学世界的大门，让我不再畏惧那些复杂的公式和抽象的概念，而是能够以一种更自信、更从容的心态去拥抱数学。我期待它能成为我数学学习道路上的重要里程碑。