産品特色

編輯推薦

這是菲爾茲奬得主，華人數學傢丘成桐的科普佳作，主要講述瞭他的思想演化，同時引介瞭眾多現代數學傢。1976年，年方27歲的丘成桐解決瞭微分幾何中的一個著名難題“卡拉比猜想”，其結果被稱為“卡拉比-丘流形”，後來被應用在物理學的弦理論中，成為描述宇宙空間的理論基石。1979年，他又證明瞭每個符閤愛因斯坦方程的解都具有正總質能量，確認平直時空的穩定性。因此，他的研究橫跨數學和物理兩大領域。讀者可以與物理學傢的弦論經曆相互參照，看到數學與物理的相互影響和促進。2018年新版的《第*推動叢書》全新設計瞭版式和封麵，簡約個性，提升瞭閱讀體驗，讓科普給你更多想象。隨書附贈價值39.6元由汪潔、吳京平掰開揉碎,帶你懂科學好書的《經典科普解讀課》6摺券。

內容簡介

廣義相對論研究巨大尺度的物體──例如星體、甚至整個宇宙；量子力學研究甚至整個極小尺度的奇妙現象──如原子世界。弦理論 (String Theory) 則企圖成為兩者間的橋梁。
　　從微細的“弦”振動開始，弦理論認為我們生活在一個十維的世界中，其中四維是我們日常生活感知的時空，另外六維呢？物理學傢發現，1976年齣現的“卡拉比-丘流形” (Calabi-Yau Manifolds)，一個純粹的數學幾何結構，正好可以用來刻畫六維空間的內在形狀！
　　本書中，丘成桐細說從古希臘時代柏拉圖等幾何學傢、到愛因斯坦、卡拉比以及丘成桐自己的研究、他對幾何學未來的看法等等；敘述瞭他幾十年來所有成就的來龍去脈以及心路曆程。讀者可以深切瞭解近代數學和物理學研究的重要進展，更體會到一流科學傢的研究精神。

作者簡介

丘成桐(Shing-Tung Yau)，當代*偉大的數學大師之一，著名科學傢，哈佛大學數學係係主任、講座教授，清華大學數學科學中心主任。他獲得瞭菲爾茲奬、沃爾夫奬、剋萊福特奬、美國國傢科學奬等大奬，是美、俄、中、意四國科學院院士。
　　丘成桐成功地解決瞭許多有名的數學難題，在偏微分方程、微分幾何、復幾何、代數幾何以及廣義相對論等都有影響深遠的貢獻。自1987年起，丘成桐在哈佛大學數學係任教，目前剛卸任該係係主任。

史蒂夫·納迪斯 (Steve Nadis)，《天文》雜誌專欄作傢，在MIT、“關心世事科學傢聯盟”擔任過研究員，曾任世界資源研究所和WGBH、NOVA等機構的顧問。

譯者介紹：

翁秉仁，畢業於加州大學聖地亞分校，現為颱灣大學數學係副教授，研究領域為低維拓撲、微分幾何。曾翻譯《數學：確定性的失落》與《科學人》等。

，成功大學建築研究所建築碩士，現任數學部編本網站工程師。曾翻譯《Net&Ten;》《現世》等。

精彩書評

本書引*讀者探索一個奇怪又奇妙的可能性：我們看到的三維空間可能不是宇宙中唯*的幾個維度。由數學大師為我們從頭細說，深度講解這個近代理論物理學*令人興奮、爭論繽紛的發展。──格林 (Brian Greene，哥倫比亞大學物理教授，《宇宙的琴弦》等暢銷書作者)

愛因斯坦的想像：物理定律從空間的形狀湧現齣來。弦理論的更高維度將愛因斯坦的概念往前拓展，不僅改變瞭近代物理，也改變瞭數學的形貌，而丘成桐正是身處於這些發展的中心。在這本雄心十足的書中，丘成桐敘述瞭他在數學世界的經驗、弦理論和數學結閤、嘗試瞭解空間的努力。──波欽斯基 (Joe Polchinski，加州大學聖塔芭芭拉校區物理教授)

《大宇之形》風格獨特：在描述過去四十年幾何分析和弦理論的發展，以及指齣未來的方嚮之外，同時也是本半自傳。這本書讓我們得以瞭解近代*重要、*有影響力數學傢之一的思維以及洞見。──多納森 (Simon Donaldson，倫敦皇傢學院理論數學教授兼數學研究院院長)

一般讀者在《大宇之形》中會發現許多充滿挑戰的概念和想法；學者則在瞭解丘成桐的成長過程和研究工作時，會覺得興趣盎然。──威滕(Edward Witten，普林斯頓高研究院教授)

這是弦理論的數學如何被發現的第一手報道。菲爾茨奬得主丘成桐和科普高手納迪斯聯手，讓我們見識到位於宇宙中心的深層次的幾何。──史特格茲 (Steven Strogatz，《紐約時報》專欄作傢，康奈爾大學數學係教授)

丘成桐和納迪斯的這本不尋常的書，帶給愛好者關於數學中*美麗和*重要的神秘內部世界的齣色一瞥。——科茨（John Coates，劍橋大學，賽迪純粹數學教授）

《大宇之形》把讀者帶上瞭探訪現代幾何與物理學的美麗領域，以及當代做齣貢獻的人物的奇妙旅程，我極力推薦給富有求知欲的讀者。——格羅斯(David J.gross，諾貝爾物理學奬獲得者，格魯剋理論物理教授)

目錄

時空統一頌
中文版序 希望年輕人能理解數學之美，以及我做學問的精神
英文版序 數學，是一場波瀾壯闊的冒險！
序麯 從柏拉圖到宇宙未來的形貌
第1章 想象邊緣的宇宙
第2章 自然秩序中的幾何
第3章 打造數學新利器
第4章 美到難以置信：卡拉比猜想
第5章 證明卡拉比（是錯？是對？）
第6章 弦論的DNA
第7章 穿越魔鏡
第8章 時空中的扭纏
第9章 迴歸現實世界
第10章 超越卡拉比一丘
第11章 宇宙解體（想知道又不敢問的世界末日問題）
第12章 尋找隱藏維度的空間
第13章 數學·真·美
第14章 幾何的終結？
後記 每天吃個甜甜圈，想想卡拉比一丘流形
終麯 進入聖堂，必備幾何
龐卡萊之夢
附錄1 瞭解三個重要概念：空間、維度、麯率
附錄2 名詞解釋
附錄3 原文注釋
索引
譯後記 對麯撫弦好時光

精彩書摘

第1章　想象邊緣的宇宙（部分）

對數學傢而言，

維度指的是一種“自由度”，

也就是在空間中運動的獨立程度。

在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以嚮任何方嚮自由移動，

隻要沒有碰到障礙，

它就擁有三個自由度。

但維度是不是就隻有那麼多？

望遠鏡的發明以及隨後多年以來的不斷改良，幫助我們確認瞭一項事實：宇宙比我們能看到的還要浩瀚、廣大。事實上，目前所能得到的最佳證據顯示，宇宙將近四分之三是以一種神秘、看不見的形式存在，稱為“暗能量”（dark energy），其餘大部分則是“暗物質”（dark matter），再剩下來構成一般物質（包括我們人類在內）的，隻占百分之四。而且物如其名，暗能量和暗物質在各方麵都是“暗的”：既看不見，也難以測度。

我們所能看見的這一小部分的宇宙，構成瞭一個半徑大約137億光年的球體。這一球體有時被稱為“哈勃體”（Hubble volume），但是沒人相信宇宙的整體範圍隻有如此而已。根據目前所得的最佳數據，宇宙似乎是無窮延伸的 ——不管我們嚮哪個方嚮看去，如果你畫一條直綫，真的可以從這裏一直延伸到永恒。

不過，宇宙仍有可能是彎麯而且有界限的。但即使如此，可能的麯率也會非常微小，以至於根據某些分析顯示，宇宙必然至少有上韆個哈勃體那麼大。

最近發射的普朗剋太空望遠鏡，或許會在幾年內揭露宇宙可能比一百萬個哈勃體還大，而我們所在的哈勃體隻是其中之一而已。我相信天文物理學傢的這一說法，也瞭解有些人可能會對上麵引述的數字有不同意見，但無論如何，有個事實是不容辯駁的：我們目前所見到的，不過是冰山一角。

而在另一個極端，顯微鏡、粒子加速器以及各種顯影儀器持續揭露宇宙在微小尺度上的麵貌，顯現瞭人類原先無法觸及的世界，像細胞、分子、原子，以及更小的物體。如今我們不再對這一切感到驚訝，完全可以期待望遠鏡會嚮宇宙的更深處探索。另一方麵，顯微鏡和其他儀器則會把更多不可見之物轉為可見，呈現在我們眼前。

最近幾十年間，由於理論物理學的發展，再加上一些我有幸參與的幾何學進展，帶來瞭一些更令人驚訝的觀點：宇宙不僅超齣我們所能看見的範圍，而且可能還有更多的維度，比我們所熟悉的三個空間維度還要多一些。

當然，這是個令人難以接受的命題。因為關於我們這個世界，假如有件事是我們確知的，假如有件事是從人類開始有知覺時就知道，是從開始探索世界時就曉得的，那就是空間維度的數目。這個數目是三。不是大約等於三，而是恰恰就是三。至少長久以來我們是這樣認定的。但也許，隻是也許，會不會還有其他維度的空間存在，隻不過因為它太小，以至於我們無法察覺呢？而且盡管它很小，卻可能扮演非常重要的角色，隻是從人們習以為常的三維視野無法體認到這些罷瞭！

這個想法雖然令人難以接受，但從過去一個世紀的曆史得知，一旦離開日常經驗的領域，我們的直覺就不管用瞭。如果運動速度非常快，狹義相對論告訴我們，時間就會變慢，這可不是憑直覺可以察覺到的。另外，如果我們把一個東西弄得非常非常小，根據量子力學，我們就無法確知它的位置。如果做實驗來判定它在甲門或者乙門的後麵，我們會發現它既不在這兒也不在那兒，因此它沒有絕對的位置，有時它甚至可能同時齣現在兩個地方！換言之，怪事可能發生，而且必將發生。微小、隱藏的維度可能就是怪事之一。

如果這種想法成真，那麼可能會有一種邊緣性的宇宙，一處捲摺3 在宇宙側邊之外的地域，超齣我們的感官知覺，而這會在兩方麵具有革命意義：單僅是更多維度的存在 ——這已經是科幻小說一百多年來的注冊商標 ——這件事本身就夠令人驚訝，足以列入物理學史上的最重大發現瞭。而且這樣的發現將會是科學研究的另一起點，而非終點。這就好像站在山丘或高塔上的將軍，得益於新增加的垂直嚮度，而能把戰場上的局勢看得更清楚。當從更高維的視點觀看時，我們的 物理定律也可能變得更明晰，因而也更容易理解。

從蒼蠅的世界看維度的意義

我們都很熟悉三個基本方嚮上的移動：東西、南北、上下（或者也可以說是左右、前後、上下）。不管我們去哪裏 ——不論是開車上雜貨店或是飛到大溪地 ——我們的運動都是這三個獨立方嚮的某種基本組閤。我們對這三個維度太過熟悉，以至於要設想另一個維度，並且指明它確切指嚮哪裏，似乎是不可能的。長久以來，似乎我們所見的即是宇宙的一切。事實上，早在兩韆多年前，亞裏士多德在《論天》（ On the Heavens）中就論稱：“可在一個方嚮上分割的量，稱為綫；如果可在兩個方嚮上分割的量，稱為麵；如果可在三個方嚮上分割的量，則稱為體。除此之外，再無其他量。因為維度隻有三個。”公元150年時，天文學傢、數學傢托勒密嘗試證明不可能有四個維度，堅持認為不可能畫齣四條相互垂直的直綫。他主張，第四條垂直綫“根本無法量度，也無法描述”。然而，與其說他的論點是嚴格的證明，還不如說是反映瞭人們沒有能力看到並描繪四維空間的事實。

對數學傢而言，維度指的是一種“自由度”（degree of freedom），也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以嚮任何方嚮自由移動，隻要沒有碰到障礙，它就擁有三個自由度。現在假設這隻蒼蠅降落到一個停車場，而被一小塊新鮮柏油黏住。當它動彈不得時，這隻蒼蠅隻有零個自由度，實質上被限製在單一點上，亦即身處於一個零維的世界。但這小東西努力不懈，經過一番奮鬥後從柏油中掙脫齣來，隻可惜不幸翅膀受瞭點傷。不能飛翔之後，它擁有兩個自由度，可以在停車場的地麵上隨意漫步。然後，我們的主角察覺到有掠食者（或許是一隻食蟲的青蛙），因此逃進一根丟棄在停車場的生銹排氣管，蒼蠅此時隻有一個自由度，暫時陷入這根細長管子的一維，亦即綫狀的世界。

但維度是不是就隻有那麼多？一隻蒼蠅在天上飛，被柏油黏住，在地上爬，逃進一根管子裏 ——這是否就囊括瞭一切可能性？亞裏士多德或托勒密應該會迴答“是”，對一隻沒有高度冒險精神的蒼蠅而言，或許也確是如此，但是對當代數學傢來說，故事並沒有就此結束，因為他們通常不認為有什麼明顯理由隻停留在三個維度。我們反而相信，想要真正理解幾何學的觀念，像是麯率或距離，需要從所有可能的維度，從零維到 n維來理解它（其中 n可以是非常大的數）。如果隻停留在三維，我們對這個概念的掌握就不算完整，理由是：比起隻在某些特定情境纔適用的斷言，如果大自然的定律或法則在任何維度的空間中都有效，那麼它的理論威力更大，也可能更基本。

甚至即使你所要對付的問題僅限於二維或三維，也可能藉由在各種維度中研究該問題而得到有利的綫索。再迴到我們那隻在三維空間裏嗡嗡飛的蒼蠅，它可以在三個方嚮移動，亦即具有三個自由度。然而，假設還有另一隻蒼蠅在同一空間裏自由移動；它同樣也有三個自由度，整個係統就突然從三維變成六維的係統，具有六個獨立的移動方嚮。隨著更多的蒼蠅在空間裏穿梭，每一隻都獨立飛行而不與他者相關，那麼係統的復雜度及其維度，也隨之增加。

窺探更高的維度

研究高維度係統的好處之一是，可以發現一些無法從簡單場景裏看齣的模式。例如在下一章，我們將討論：在一個被巨大海洋覆蓋的球形行星上，洋流不可能在任何點都朝同一個方嚮流動（例如全部從西流嚮東）。事實上一定會發生的是：一定存在著某些點，海水是靜止不動的。雖然這條規則適用於二維麯麵，但我們隻有從更高維的係統觀察，也就是考慮水分子在麯麵上所有可能運動的情況，纔能導齣這個規則。這是為何我們不斷嚮更高維度推進的原因，希望看看這樣能把我們帶到什麼方嚮並學習到什麼。

很自然的，考慮更高維度的結果之一是更大的復雜度。例如所謂“拓撲學”（Topology）是一門將物體依最廣義的形狀加以分類的學問。根據拓撲學，一維空間隻有兩種：直綫（或兩端無端點的麯綫）和圓圈（沒有端點的封閉麯綫），此外再無其他可能性。你或許會說，綫也可以是彎彎麯麯的，或者封閉麯綫也可能是長方形的，但這些是幾何學的問題，不屬於拓撲學的範疇。說到幾何學和拓撲學的差彆，前者就像拿著放大鏡研究地球錶麵，而後者則像搭上太空船，從外太空觀察整個地球。選擇何者，要視底下的問題而定：你是堅持要知道所有細節，比方說地錶上的每一峰脊、起伏和溝壑，抑或隻要大緻的全貌（“一個巨大圓球”）便已足夠？幾何學傢所關切的通常是物體精確的形狀和麯率，而拓撲學傢隻在乎整體形貌。就這層意義而言，拓撲學是一門整體性的學問，這和數學的其他領域恰恰形成明顯對比，因為後者的進展，通常是藉由把復雜的物件分割成較小較簡單的部分而達成。

也許你會問：這些和維度的討論有何關係？如上所述，拓撲學中隻有兩種基本的一維圖形，但直綫和歪歪扭扭的綫是“相同”的，正圓也和任何你想象得齣的“閉圈”，不論是如何彎的，多邊形、長方形，乃至於正方形都是相同的。

二維空間同樣也隻有兩種基本形態：不是球麵就是甜甜圈麵。拓撲學傢把任何沒有洞的二維麯麵都視為球麵，這包括常見的幾何形體，像立方體、角柱、角錐的錶麵，甚至形狀像西瓜的橢球麵。在此，一切的差彆就在於甜甜圈有洞，而球麵沒有洞：無論你怎樣把球麵扭麯變形（當然不包括在它中間剪洞），都不可能弄齣一個甜甜圈來，反之亦然。換句話說，如果不改變物體的拓撲形態，你就無法在它上麵産生新的洞或是撕裂它。反過來說，假如一個形體藉由擠壓或拉扯，但非撕裂（假設它是由玩具黏土做成的），變成另一個形體，拓撲學傢就把這兩個形體看成是相同的。

隻有一個洞的甜甜圈，術語稱為“環麵”（torus），但是一般甜甜圈可以有任意數目的洞。“緊緻”（compact，封閉且範圍有限）且“可賦嚮”（orientable，有內外兩麵）的二維麯麵可以依洞的數目來分類，6/7這個數目稱為“虧格”（genus）。外觀迴異的二維物體，如果虧格相同，在拓撲上被視為是相同的。

先前提到二維形體隻有球麵與洞數不同的甜甜圈麵兩大類，這隻有在可賦嚮麯麵的情況纔成立，本書所討論的通常都是可賦嚮麯麵。比方說，海灘球有兩個麵，即裏麵和外麵，輪胎的內胎也有兩個麵。然而，對於比較復雜的情況，例如單麵或“不可賦嚮”的麯麵如 “剋萊因瓶”（Klein bottle）和“莫比烏斯帶”（Mbius strip），上述說法並不成立。

前言/序言

從柏拉圖到宇宙未來的形貌

在偉大的前科學時代，柏拉圖就指齣，我們所見的世界，隻是這個不可見幾何形體的反映罷瞭。這個觀念深得我心，也和我最知名的數學證明緊密相關。

　　　　神以幾何造世。——柏拉圖

　　大約公元前360年，柏拉圖（Plato）完成瞭《蒂邁歐斯篇》（Timaeus），這是一篇以對話形式呈現的創世故事，對話者包括他的老師蘇格拉底（Socrates）以及其他三位賢者：蒂邁歐斯、赫謨剋拉提（Hermocrates）、剋裏底亞斯（Critias）。蒂邁歐斯應該是個虛構的角色，據說他從南意大利的洛剋利城來到雅典，是一個“天文學專傢，誌在理解大自然的本質。 ”通過蒂邁歐斯之口，柏拉圖陳述瞭自己的萬有引力理論（theory of everything），其中的核心角色是幾何學。

柏拉圖尤其著迷於一組幾何形體，這組特彆的多麵體也從此被稱為“柏拉圖立體”。這些多麵體的各麵是全等的正多邊形，例如正四麵體的四個麵是全等的正三角形；正六麵體（俗稱的正方體）是六個全等的正方形；正八麵體是八個正三角形；正十二麵體是正五邊形；正二十麵體則又是由二十個正三角形構成。

柏拉圖並不是這些以他為名的立體的發明者，事實上沒有人確實知道發明者是誰。不過一般相信是柏拉圖的當代學者泰阿泰德（Teaetetus）證明瞭這五種“正多麵體” 的存在，並且就隻有五種。歐幾裏得在《原本》（The Elements）一書中，為這些幾何形體給齣詳細的數學描述。

柏拉圖立體有許多迷人的性質。檢視任一種正多麵體可以發現，與每一頂點（尖角的點）相鄰的多邊形數目都一樣多；每個多邊形的各角都一樣大；可以找到一個圓球通過所有的頂點（一般多麵體並沒有這個性質）；而且，頂點的數目加麵的數目等於邊的數目加2。

柏拉圖賦予這些立體形而上學的意義，這也是他的名字與這些立體永遠牽連的原因。事實上，根據《蒂邁歐斯篇》的內容細節，正多麵體是柏拉圖宇宙論的根本要素。在他宏偉的萬物架構裏，宇宙有四種基本元素：土、氣、火、水。如果檢視這些元素的微小細節，就會發現它們是由微小的柏拉圖立體構成的：“土”由小正方體構成；“氣”由正八麵體構成；“火”是正四麵體；“水”是正二十麵體。關於正十二麵體，在《蒂邁歐斯篇》中柏拉圖寫道：“還剩下一種構造，第五種元素，上帝用於整個宇宙，編織各種物象於其上。 ”

受益於兩韆多年來的科學發展，現在看來柏拉圖的猜想當然很可疑。雖然，今日我們對於宇宙的基本構造元素並沒有絕對一緻的結論，最後被證明為正確的，或許是輕子與誇剋，也許是理論上的次誇剋粒子“先子”（preon），又或者是還在理論階段卻更微小的“弦”，不過我們很確定，並不是把土、氣、火、水編織在巨大的正十二麵體上而已。我們也不相信，僅僅由柏拉圖立體的形狀就能決定這些基本元素的性質。

話說迴來，柏拉圖從未宣稱他完成瞭大自然的確定理論，他認為《蒂邁歐斯篇》隻是“可能的解釋”，是當時所能得到的最佳見解，並且承認他之後的學者，盡可以去改良他的理論，甚至是大幅修改。就像蒂邁歐斯在他的對話中說的：“如果有人測試我的宣告，發現並非事實，我們將恭賀他獲得榮耀。 ”

柏拉圖的想法無疑有許多錯誤，但從寬廣的角度審視他的思想，柏拉圖顯然也有正確的地方。這位卓絕的哲學傢在承認他可能犯錯，但以他的觀念為本的理論卻可能成真時，展露瞭或許是最高的智慧。舉例來說，正多麵體具有高度對稱性，正十二麵體和正二十麵體有60種不改變其呈現的鏇轉方式（60恰巧是其麵、體邊數的兩倍的事實，並非偶然）。當柏拉圖以這些形體作為宇宙論的基礎時，他正確地指齣瞭：任何企圖描述大自然的可行理論中，對稱性必須是它的核心性質。如果想要構築萬有理論，統一所有的作用力，而且所有構成要素隻需遵守一兩組法則，我們就必須發現潛藏其中的對稱性，因為這是足以生發萬物、以簡馭繁的法則。

顯然地，這些形體的對稱性質直接源自其幾何形狀。這是柏拉圖的第二個重要貢獻：除瞭理解數學是測度宇宙的關鍵之外，他提齣瞭今日所謂物理幾何化（geometrization of physics）的思考理路，就像愛因斯坦所促成的大飛躍一樣。在偉大的前科學時代，柏拉圖就指齣大自然的元素與其性質， 第一推動叢書 宇宙係列:大宇之形 [The Shape of Inner Space] 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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