內容簡介
《實變函數與泛函分析基礎(第三版)》是在第二版的基礎上進行的,作者根據多年來的使用情況以及數學的近代發展,做瞭部分但是重要的修改。《實變函數與泛函分析基礎(第三版)》共11章:實變函數部分包括集閤、點集、測度論、可測函數、積分論、微分與不定積分;泛函分析則主要涉及賦範空間、有界綫性算子、泛函、內積空間、泛函延拓、一緻有界性以及綫性算子的譜分析理論等內容。
這次修訂繼續保持簡明易學的風格,力圖擺脫純形式推演的論述方式,著重介紹實變函數與泛函分析的基本思想方法,盡量將枯燥的數學學術形態呈現為學生易於接受的教育形態;同時,補充瞭一些現代化的內容,如“分形”的介紹。
《實變函數與泛函分析基礎(第三版)》可作為高等院校數學類專業學生的教學用書,也可作為自學參考書。
內頁插圖
目錄
第一篇 實變函數
第一章 集閤
1 集閤的錶示
2 集閤的運算
3 對等與基數
4 可數集閤
5 不可數集閤
第一章習題
第二章 點集
1 度量空間,n維歐氏空間
2 聚點,內點,界點
3 開集,閉集,完備集
4 直綫上的開集、閉集及完備集的構造
5 康托爾三分集
第二章習題
第三章 測度論
1 外測度
2 可測集
3 可測集類
4 不可測集
第三章習題
第四章 可測函數
1 可測函數及其性質
2 葉果洛夫定理
3 可測函數的構造
4 依測度收斂
第四章習題
第五章 積分論
1 黎曼積分的局限性,勒貝格積分簡介
2 非負簡單函數的勒貝格積分
3 非負可測函數的勒貝格積分
4 一般可測函數的勒貝格積分
5 黎曼積分和勒貝格積分
6 勒貝格積分的幾何意義·富比尼定理
第五章習題
第六章 微分與不定積分
1 維它利定理
2 單調函數的可微性
3 有界變差函數
4 不定積分
5 勒貝格積分的分部積分和變量替換
6 斯蒂爾切斯積分
7 L-S測度與積分
第六章習題
第二篇 泛函分析
第七章 度量空間和賦範綫性空間
1 度量空間的進一步例子
2 度量空間中的極限,稠密集,可分空間
3 連續映射
4 柯西點列和完備度量空間
5 度量空間的完備化
6 壓縮映射原理及其應用
7 綫性空間
8 賦範綫性空間和巴拿赫空間
第七章習題
第八章 有界綫性算子和連續綫性泛函
1 有界綫性算子和連續綫性泛函
2 有界綫性算子空間和共軛空間
3 廣義函數
第八章習題
第九章 內積空間和希爾伯特(Hilbert)空間
1 內積空間的基本概念
2 投影定理
3 希爾伯特空間中的規範正交係
4 希爾伯特空間上的連續綫性泛函
5 自伴算子、酉算子和正常算子
第九章習題
第十章 巴拿赫空間中的基本定理
1 泛函延拓定理
2 C[a,b]的共軛空間
3 共軛算子
4 綱定理和一緻有界性定理
5 強收斂、弱收斂和一緻收斂
6 逆算子定理
7 閉圖像定理
第十章習題
第十一章 綫性算子的譜
1 譜的概念
2 有界綫性算子譜的基本性質
3 緊集和全連續算子
4 自伴全連續算子的譜論
5 具對稱核的積分方程
第十一章習題
附錄一 內測度,L測度的另一定義
附錄二 半序集和佐恩引理
附錄三 實變函數增補例題
參考書目
前言/序言
本書於1983年問世以來,曆經26個春鞦,承濛讀者厚愛,一直發行不衰。最近,在聽取讀者反饋的基礎上,我們又進行瞭一次修改,即為第三版。
這次修訂重點在實變函數部分,對積分論作瞭較多更動。以下是幾處重要的修改:
在第一章“集閤”中,突齣瞭集閤語言與ε-δ語言的關係,特彆是強化瞭用集閤的無限交並運算來錶示函數列的極限過程。這在第四章處理可測函數列極限等定理時十分重要。
在第二章“點集”中,增加瞭康托爾三分集閤分形幾何學的內容,篇幅很小,旨在反映信息時代的發展,擴充讀者的視野。
最大的修改是第五章對勒貝格積分的處理。過去我們關注勒貝格積分和黎曼積分的相似之處,考察勒貝格的積分和,以上下積分相等為勒貝格可積,目的是希望讀者容易體會其含義。但近來,從非負簡單函數齣發逐步擴充定義,相應地得到處理積分與極限運算交換的關鍵定理,這樣的一種講授方法已成為時尚,而且可使篇幅得以壓縮,讀者也更容易理解。因此,我們也采取瞭這樣的處理方法。
在第六章中,將勒貝格積分的分部積分法和新增的變量替換方法一並介紹,並且給齣瞭證明。這兩種常用積分方法,是教學中首要講解的內容,而其證明,則可視教學時數是否充裕來選擇。
承襲第二版的做法,我們仍在每一章的開始以及適當的地方,用盡量樸素的自然語言嚮讀者提供該部分內容展開的思路,以此來對“形式化”的“冰冷美麗”做一些“火熱的思考”。我們希望這一特色能夠為大傢所接受。
本書初版的主持者程其襄教授去世已經10個年頭瞭。他未能參與第二版和第三版的修訂工作,因此,本書存在的缺陷和問題,當由其他四位編者負責。
最後,再次嚮關心本書的老師和同學錶示深切的謝意,也感謝李蕊編輯的細緻工作。
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