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內容簡介

微分算子，通常討論的是非綫性偏微分方程。除瞭在微分幾何方麵的重要性之外，共形幾何在理論物理，超弦理論方麵也有重要應用。由於其變分泛函不滿足緊性條件，通常的變分方法不再適用，而為瞭獲得緊性條件，必須考慮所研究幾何對象的幾何結構、拓撲結構等等，在知識上涉及麵廣泛，在方法上技巧高超，是艱深而又有趣的。

目錄

部分Ⅰ 背景材料
第一章 黎曼幾何要略
第一節 微分流形
一、拓撲流形微分流形
二、切空間與餘切空間
三、張量場與外微分式
四、外微分式的積分
第二節 Riemann流形
一、Riemann度量
二、仿射聯絡
三、Levi-Civita聯絡
四、流形上的微分算子
第三節 麯率
一、麯率張量
二、Ricci麯率數量麯率
第四節 指數映射
一、平移
二、指數映射
三、測地法坐標係
四、Jacolbi場
第五節 共形不變張量
一、Weyl張量
二、Schouten張量Cotten張量
三、共形度量
四、Weyl張量的共形不變性
五、局部共形平坦
第二章 索伯列夫空間
第一節 Lebesgue積分
一、流形上的Lebesgue積分
二、空間Lp(M)
三、Lorentz空間Lp，q(M)
第二節 Sobolev空間及相關不等式
一、Sobolev嵌入定理
二、最佳Sobolev不等式
三、直交性Aubin不等式
四、Moser-Aubin不等式

部分Ⅱ 共形數量麯率的分析方法
第三章 共形度量的數量麯率
第一節 經典Yamabe問題
一、曆史上的Yamabe問題
二、Aubin定理BN.模型
三、Schoen定理
四、Yamabe方程解的集閤
五、Aubin定理的影響
第二節 設定共形數量麯率
一、存在性與Euler示性數
二、存在性與Yamabe不變量
三、Brezis-Kato正則化
第三節 Yamabe流
一、Yamabe流
二、Sn上的Yamabe流
三、指數收斂
四、關於Yamabe不變量
第四章 對稱性與NIR.問題
第一節 Nirenberg問題
一、問題
二、Kazdan-Warner恒等式
第二節 分析方法
一、非綫性Fredholm型定理
二、具對稱性的問題
第三節 Aubin不等式的另一種形式
一、Chang-Yang的結論
二、用次臨界逼近
三、不等式的建立

部分Ⅲ Nirenberg問題的拓撲方法
第五章 代數拓撲方法
第一節 Bahri-Coron定理
一、變分問題
二、Rn上的Bahri-Coron模型
第二節 (P.S.)序列的行為
一、Struwe-Bahri-Coron引理
二、用粒子逼近及餘項
三、導算子在粒子上的作用
第三節 梯度流及其走嚮
一、梯度流
二、從W(p，?)(p≥2)齣發的下降流
三、從W(1，?)齣發的下降流
四、構建形變引理
第四節 拓撲論證
一、代數拓撲準備
二、拓撲論證
第五節 積分估計補充
一、粒子與餘項間的作用
二、粒子間的相互作用
三、J(u)的展開式
第六章 拓撲度方法
第一節 張一楊攝動定理
一、張-楊映射
二、張-楊攝動定理
三、指標記數條件與拓撲度條件
第二節 共形參數解
一、帶Lagrange乘數的共形解
二、Qp(u)的一階與二階導數
三、極小解的唯一性與連續性
第三節 G(P，t)的漸近性質
一、拓撲度相等的映射
二、極值函數的存在性
三、攝動條件下的積分估計
第四節 G的漸近展式及其它
一、其它結論
二、庥成?
第七章 低維Nirenberg問題
第一節 解的上下界
一、共形參數解
二、(?-*)條件
第二節 逐點估計
一、跡零Ricci張量
二、拉迴映射
三、逐點估計
第三節 整體拓撲度
一、攝動常數量麯率
二、拓撲度的計算
第四節 二維情形的結論
一、Chang-Gursky-Yang定理
二、張恭慶劉嘉荃定理

部分Ⅳ 高階共形麯率
第八章 高階共形麯率
第一節 Q麯率及相關問題
一、Paneitz算子
二、Q-Yamabe問題
三、一個極小極大方案
第二節 k-Yamabe問題
一、髃-麯率
二、髃-Yamabe問題
三、變分法
四、Kazdan-Wamer型恒等式
附錄A 變分原理
一、泛函三定理及收斂
二、映射的微分
三、極值問題
四、形變引理
附錄B 拓撲度理論
一、Brouwer度
二、Leray-Scshauder度
附錄C 凝聚緊性原理
一、P.-L.ions引理
二、Sobolev函數列
三、Struwe-Bahri型引理
附錄D Sn上的Laplace算子
一、球極投影
二、特徵值與特徵函數
三、球麵調和函數
參考文獻
符號索引
內容索引
共形幾何的若乾問題 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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