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內容簡介

　　《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》主要由法國微分幾何學傢貝爾熱在巴黎大學多年講授微分幾何課程講稿的基礎上編纂而成。
　　《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》強調幾何與分析的有機結閤，始終堅持對於分析，揭露其幾何實質，而對於幾何，則洞察其分析精髓。
　　《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》對於常微分方程、單位分解、臨界點、拓撲度和流形上的微積分等研究微分幾何的各種工具做瞭相當充分的講解。內容重點是麯綫的局部和整體理論，對於麯麵的局部和整體理論則做瞭比較全麵的概述，而對於其詳盡的證明則推薦相關的文獻供讀者查閱。書中配備瞭豐富的習題。
　　《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》是基礎數學和應用數學係本科生乃至其他理工科學生學習微分流形和微分幾何的參考書。

作者簡介

　　M.貝爾熱（Marcel Berger，1927-），著名的法國數學傢，法國微分幾何老前輩。曾任法國科學高等研究所（IHES）所長。貝爾熱教授撰寫過多本成功的幾何著作，並以書中的精巧論述而見長。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　這部著作是由在巴黎於1969～1970年和1970～1971年講授的《微分幾何》課程內容編纂而成。在確定這個課程的內容時，與S.Lang的談話讓我受益匪淺，確定課程的內容和風格的指導思想如下所述：首先避免它成為微分法課程，到達頂峰斯托剋斯公式，卻再沒有時間給齣這個公式的應用。其次，在引進概念時，盡可能提供新定義的對象的非平凡的例子。最後，關於流形，對於分析，要領會其幾何實質，而對於幾何，要洞悉其分析精髓。
　　為瞭達到這一目標，又要限製在一個閤理的篇幅之內，就必須不能在微分法基礎上多做停留，而寜肯承認它們，於是就假定讀者熟悉大學第二周期的第一年的微分法，或者對於第一周期第二年的大綱內容有深入的理解，比如〔2〕的37章和47到51章（方括號裏的數字是書末的文獻中的編號）。同樣非常希望具備積分論的某些知識。為瞭讀者的方便，第0章包含瞭後麵用到的外代數、微積分學的必要概念和結果。
　　這就是說，本書內容雖說有些局限，但非常接近，〔10〕的內容和〔21〕的第1章，後一著作齣版於本書草案製定以後。這種巧閤似乎昭示這裏陳述的材料構成瞭1970年的微分幾何的核心，此外我不隱瞞，無論結果的選取，還是陳述的風格，我都試圖給讀者以審美享受，並且盡力以陳述起來既簡單又自然的整體的幾何定理吸引讀者，而不打算給他們提供一個關於流形的基礎的、詳盡無遺的展示。
　　不求仔細介紹內容，隻是指齣幾個特點：
　　——Rn的子流形，雖然是微分法的大綱內容，即使是第一周期的第二年的大綱的組成部分，本書還是做瞭詳盡敘述，以此作為定義抽象流形的發軔和動機。
　　——接著定義抽象（微分）流形；它是微分幾何的基礎材料，本書所作的一切都是針對流形的。
　　——隨之給齣流形的五個例子，它們起著導綫的作用，意思是後麵會多次遇到它們，它們是：球麵，實射影空間，環麵，法叢和依附在歐幾裏得空間的一個子流形上的管形以及麯綫，即維數為一的流形。特彆要指齣法叢構成一個相當微妙和非凡的例子，它見證瞭微分幾何的多種技術的運用，人們在2，6，7，9章初遇而後重逢它。
　　——許多知識性的說明，這是隻敘述但未證明後麵會用到的基本結果，尤其要提到的是莫爾斯理論。
　　——對麯綫給予特彆的關注（3，8，9章）。這樣做的閤理性在於麯綫是最簡單的流形，並且對於它已經獲得瞭十分完備的結果。
　　——常微分方程的相當充分的闡述：除瞭因為它在本書某些部分有應用，另一個理由是在學分教育體製下，講授它的學時越來越少。
　　——對於許多整體結果的重視超過局部性質的詳盡證明。
　　一一個重大的缺失：黎曼幾何，即使在R3的麯麵這一簡單情形它也沒有露麵，堅持這樣做的理由是：為瞭能夠錶述並證明黎曼幾何的整體的和有趣的結果，就不得不營造相當冗長又鮮有啓發性的基礎。與此形成對照，通過嵌入流形，讀者會發現高斯一博內公式的證明（參考7.5.4）
　　本著作可以用作多種教學類型的基礎：或者是相當完備的第二周期第二年的微分幾何課程，或者是第二周期第一年第二學期的課程，但要求聽課的學生勤奮工作並且要及時補充微分法的知識，最後或者是一個初等課程，除瞭特彆要包含關於麯綫的最後兩章，再包含一些他們個人所需的章節，條件是§7。6要直接論述。
　　對於習題，除一部分簡單地要求證明正文中留下的、容易證明的一些斷語之外，大部分是相當具體的例子，從十分容易的到十分睏難的。如果不考慮非法語著作，它們盡可能是原始的。更多的習題，請讀者參照〔10〕和〔14〕。
　　對於希望拓廣或補充本書內容的讀者，著重推薦下列著作：〔14〕，〔10〕，〔21〕，〔19〕，〔12〕，〔16〕，〔11〕，〔33〕，〔35〕以及參考文獻非常完備的由〔32〕和〔18〕組成的著作。
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