微分几何中的 Bochner 技术 （英文版）The Bochner tech pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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伍鸿熙 著

图书标签:

• Differential Geometry
• Bochner Techniques
• Partial Differential Equations
• Riemannian Geometry
• Geometric Analysis
• Mathematical Analysis
• Topology
• Manifolds
• Curvature
• Harmonic Analysis

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040478389

版次：1

商品编码：12244748

包装：精装

丛书名： 数学经典论题

开本：16

出版时间：2017-10-01

用纸：胶版纸

页数：213

内容简介

This monograph is a detailed survey of an area of differential geometry surrounding the Bochner technique. This is a technique that falls

under the general heading of "curvature and topology" and refers to a method initiated by Salomon Bochner in the 1940's for proving on compact Riemannian manifolds that certain objects of geometric interest (e.g. harmonic forms, harmonic spinor fields, etc.) must satisfy additional differential equations when appropriate curvatureconditions are imposed. In 1953, K. Kodaira applied this method to prove the vanishing theorem that now bears his name for harmonic forms with values in a holomorphic vector bundle; this was the crucial step that allowed him to prove his famous imbedding theorem. Subsequently, the Bochner technique has been extended, on the one hand, to spinor fields andharmonic maps and, on the other, to harmonic functions and harmonic maps on noncompact manifolds . The last has led to the proof of rigidity properties of certain Kähler manifolds and locally symmetric spaces. This monograph gives a self-contained and coherent account of some of these developments,assuming the basic facts about Riemannian and Kähler geometry as well as the statement of the Hodge theorem. Thebrief introductions to the elementary portions of spinor geometry and harmonic maps may be especially useful to beginners.

Bochner 技术是数学中经典和有效的技术，可以用来证明数学中非常重要的消失定理和刚性性质。伍鸿熙教授著书众多，写作经验丰富，本书是di一次系统介绍Bochner技术及其应用的著作。

目录

1 Coordinates and Frames Normal at a Point
2 The Weitzenbock Formulas
3 Some Results in the Compact Case
4 Some Results in the Noncompact Case

5 Harmonic Spinor Fields
5.1 Algebra
5.2 Topology
5.3 Geometry

6 Harmonic Mapping
6.1 Riemannian vector bundles
6.2 The definition of a harmonic map and the first consequences .
6.3 Existence results
6.4 First applications of the Bochner technique
6.5 Strong rigidity theorems
6.6 Miscellaneous remarks
References
Appendix: Vector Fields and Pdcci Curvature by S. Bochner
A.1 Real spaces
A.2 Hermitian metric
A.3 Complex spaces
Index

好的，这是一份针对您所描述的书籍《微分几何中的Bochner技术》（The Bochner Technique in Differential Geometry）的、不包含该书具体内容的详细简介，旨在介绍相关领域背景和可能涉及的更广泛主题，同时保持专业性和信息密度。 --- 《微分几何中的Bochner技术》：领域概述与方法论的深度探索 本书旨在深入剖析现代微分几何中一个至关重要且极具影响力的分析工具集——Bochner技术。尽管我们此处不探讨该技术在您特定著作中的具体应用细节，但可以从更宏观的视角，勾勒出Bochner技术所植根的数学土壤、其核心概念的普遍性，以及它在多个几何与拓扑领域中作为桥梁的重要性。 I. 问题的提出：几何分析的基石 微分几何本质上是通过分析工具来研究几何对象的数学分支。从黎曼几何的度量结构到更抽象的纤维丛理论，几何对象的内在属性往往通过其上的偏微分方程（PDEs）来揭示。经典几何分析的挑战在于，如何将局部光滑性与全局拓扑、拓扑不变量与度量结构联系起来。 Bochner技术，其核心精神在于利用特定类型的微分算子（通常与拉普拉斯算子或更一般的黎曼几何算子相关联），结合巧妙的代数恒等式和积分技巧，来导出关于几何对象性质的深刻结论。这种方法的强大之处在于其普适性和对紧凑性、非负性等概念的敏感性。 II. 基础数学环境的构建 要理解Bochner方法的应用潜力，必须首先建立坚实的分析基础。这涉及对以下核心概念的熟练掌握： A. 黎曼流形与张量分析： 流形的局部坐标系、度量张量 $g$ 及其逆 $g^{-1}$ 的性质，是所有后续分析的起点。对联络（如列维-奇维塔联络）、曲率张量（里奇曲率、魏因加滕曲率等）的理解，是构建Bochner型算子的先决条件。张量分析要求对协变导数和外微分有透彻的理解，因为所有重要的微分算子都必须在坐标变换下保持其张量特性。 B. 谱理论与算子理论： Bochner技术往往与谱理论紧密相连。在紧致流形上，拉普拉斯-贝尔特拉米算子 $Delta$ 拥有离散的、实数域上的特征值谱。分析算子的性质（自伴随性、椭圆性）直接决定了其解的正则性和存在性。对L²空间上的希尔伯特空间理论的熟悉，对于理解通过能量法证明存在性或唯一性至关重要。 C. 向量丛与纤维丛上的分析： 几何问题常常涉及向量丛（如切丛、法丛或更高阶的张量丛）。在这些空间上进行分析，需要引入联络形式，从而定义赫奇算子（Hodge Laplacian）或其他相关的拉普拉斯算子。Bochner方法在此类设置中，常常用于研究特定丛的截面或上同调类的存在性与衰减性。 III. Bochner思想的核心范式：一个分析框架 Bochner技术并非单一的公式，而是一套结构化的分析策略，通常围绕以下步骤展开： A. 构造一个“Bochner”型算子： 这通常涉及构造一个正定（或半正定）的二阶微分算子 $L$ 作用于某个函数或向量场（或更复杂的对象，如1-形式、2-形式、或特定类型的张量）。这个算子 $L$ 的选择至关重要，它必须能捕捉到几何对象的某种内在“能量”或“曲率信息”。在许多情况下，这种算子是通过巧妙地组合黎曼曲率项、度量项和微分算子本身得到的。 B. 寻找代数恒等式： 核心步骤在于找到一个微分恒等式，将新构造的算子 $L$ 的结果与某个关键量的平方的散度联系起来。例如，证明 $ ext{div}(V) = langle L f, f angle$ 或 $ ext{div}(V) = langle L omega, omega angle - ext{CurvatureTerm}$。这里的 $V$ 是某个向量场或1-形式，而 $f$ 或 $omega$ 是我们感兴趣的对象。 C. 利用积分和边界条件： 通过对该恒等式在流形上（或边界清晰的区域上）进行积分，利用散度定理（Green's Identities的推广），将微分方程转化为积分关系。如果流形是紧致的，或者如果边界项可以被控制（例如，如果所有场在无穷远处衰减），那么积分关系通常可以导出关于 $langle L cdot, cdot angle$ 的非负性或零性结论。 D. 结论的推导： 如果 $langle L X, X angle geq 0$ 且通过分析证明 $langle L X, X angle = 0$ 仅当 $X=0$，则意味着我们所研究的函数、向量场或微分形式必须是零，从而推导出流形的几何性质（如平坦性、非负曲率等）。 IV. 广泛的应用领域与概念关联 Bochner技术的普适性使其在多个子领域扮演了关键角色： A. 紧致性与覆盖空间： 在复杂流形（Kähler流形）上，Bochner技术是证明关键函数空间紧致性的有力工具。通过分析与Ricci曲率或相关曲率项相关的算子，可以证明某些几何量（如度量或联络的模空间）具有有限维近似，这对于几何结构的稳定性研究至关重要。 B. 极值问题与几何流： 在研究几何流（如Ricci流）的长期行为时，Bochner方法常被用来证明某些能量泛函（如能量泛函、谱函数）的单调性或其梯度流的收敛性。这要求对能量泛函的二阶变分（即Bochner型算子）进行深入分析。 C. 拓扑不变量的分析证明： 虽然Bochner技术本身是分析性的，但它可以作为连接分析与拓扑的桥梁。例如，在某些情况下，它可以用来分析热核的渐近展开，从而间接连接到Chern-Weil理论或Hirzebruch-Riemann-Roch公式的某些方面。 D. 特定几何的洞察： 在卡拉比-丘流形等特殊结构上，Bochner技术可以与赫奇理论（Hodge Theory）完美结合，例如，通过分析与皮斯（Pisano）引理相关的算子，来研究这些流形的特殊度量（如凯勒-爱因斯坦度量）的存在性。 V. 展望：从经典到现代的演进 Bochner技术的精神贯穿了微分几何分析的近百年历史。现代的演进不再局限于传统的拉普拉斯算子，而是扩展到更复杂的非线性算子、更高维度的张量方程，以及在非黎曼几何（如辛几何或普适覆盖空间）中的应用。掌握这一技术框架，意味着掌握了用分析手段解决几何难题的基本“语言”和“思维定势”，是深入研究现代几何分析的必经之路。它强调了代数技巧、偏微分方程和几何直觉的和谐统一。 ---

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学研究充满热情的学生，我一直对现代几何学的前沿进展感到着迷。最近，我被一本名为《The Bochner Technique in Differential Geometry》的书吸引住了。虽然我还没有机会深入研读，但从其书名和我所了解的数学领域来看，这本书无疑是一部重量级的著作。Bochner 技术，这个名字本身就带有强大的数学力量，预示着在理解黎曼流形性质方面有着深刻的洞见。我知道，这项技术与调和函数、调和映射以及流形的拓扑和几何特征之间存在着紧密的联系。想象一下，能够利用这个强大的分析工具来揭示流形的深层结构，这是多么令人振奋的事情。这本书似乎提供了一个系统性的视角，将Bochner技术置于微分几何的宏大框架下进行阐释，这对于我这样的初学者来说，无疑是一座灯塔，指引我探索更加广阔的数学海洋。我非常期待通过这本书，能够建立起对Bochner技术坚实的理解，并学会如何将其应用到实际的几何问题中，从而为我的研究打下坚实的基础。它的存在本身就足以激发我学习的动力，让我对即将到来的知识之旅充满期待。

评分☆☆☆☆☆

我近期偶然翻阅到一本名为《The Bochner Technique in Differential Geometry》的书，虽说我并非微分几何领域的专业人士，但其“Bochner技术”这个术语立刻勾起了我的好奇心。它听起来就像是一种能够“解析”几何结构的强大工具，一种能够从分析的角度去理解曲面、空间等几何对象的视角。我脑海中不禁浮现出，通过这种技术，或许能够揭示一些隐藏在表面之下的深刻联系，比如几何特性与拓扑性质之间的微妙互动。对于一个对数学的内在联系和不同分支如何相互支撑感到着迷的读者来说，这本厚重的著作似乎提供了一个极好的窗口，去窥探微分几何的精髓。我设想，这本书会以一种严谨但不失启发性的方式，引导读者一步步领略Bochner技术的奥妙，从基本概念的铺垫，到复杂应用的展示，环环相扣，引人入胜。它的存在，让我对微分几何这门看似抽象的学科，有了更加具体和深入的认识，仿佛打开了一扇通往更深层次理解的大门。

评分☆☆☆☆☆

作为一位对理论物理，特别是弦论领域的研究者，我深切关注着数学在物理理论发展中的作用。《The Bochner Technique in Differential Geometry》这本书的书名，让我立刻联想到了其在几何分析中的潜在应用。我知道，Bochner技术在研究流形的拓扑不变量、证明一些重要的几何定理时扮演着至关重要的角色。在理论物理中，我们经常需要在高维流形上进行计算和推理，而对这些流形性质的深入理解，往往离不开强大的数学工具。这本书的出现，对于我来说，就像是找到了一个能够帮助我理解物理模型背后的几何结构的“钥匙”。我期待它能够提供关于Bochner技术在曲率、调和映射等概念上的应用细节，这些都是构建物理模型不可或缺的元素。通过学习这本书，我希望能更好地理解物理定律的几何本质，并将其转化为更精确的数学描述，从而在理论研究中取得突破。

评分☆☆☆☆☆

我最近接触到一本叫做《The Bochner Technique in Differential Geometry》的书，虽然我不是这本书的读者，但仅凭书名，就足以引起我强烈的兴趣。在我有限的数学知识里，“Bochner技术”这个词汇就带着一种神秘而强大的气息，让我联想到它可能是一种能够深入剖析几何对象本质的分析方法。我设想，这本书的作者一定花费了巨大的精力，将这种高深的数学理论以一种清晰、系统的方式呈现出来。我好奇它究竟是如何运用分析学的工具来研究几何学的，比如如何通过积分、微分方程等手段来揭示流形的曲率、拓扑结构，甚至是某些特定函数的性质。这本书的存在，让我对微分几何这个领域充满了敬畏之情，也激发了我想要去了解更多关于数学分析如何与几何学相结合的愿望。它像是一个等待被发掘的宝藏，里面蕴藏着丰富的数学智慧。

评分☆☆☆☆☆

我一直对纯粹数学的研究抱有浓厚的兴趣，特别是那些能够连接不同数学分支的理论。《The Bochner Technique in Differential Geometry》这个书名，立刻就吸引了我。我知道Bochner技术在微分几何领域扮演着核心角色，它将分析学和几何学巧妙地结合起来，用于研究流形的各种性质。我非常期待这本书能够系统地阐述Bochner技术的原理，包括其背后的数学思想、关键的定理以及典型的应用。想象一下，能够利用这个技术来理解流形的拓扑分类、证明一些深刻的几何存在性定理，或者分析调和函数的行为，这是多么令人兴奋的事情。这本书的价值，在于它提供了一个深入理解现代微分几何的途径，对于那些想要在几何分析领域进行深入研究的读者来说，它无疑是一部不可或缺的参考书。它的存在，让我对接下来的学习充满了期待，我相信它会为我打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

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包装很好精致，纸张不错，质感。

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