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编辑推荐

本书是高等院校工科类、经管类本科生学习《高等数学（下册）》课程的辅导用书，也是一本不错的基础复习阶段的考研辅导用书。作者授课经验丰富，前期作为讲义已在课堂使用多年。

内容简介

本书内容分为两大部分，第一部分为“同步练习”，该部分主要包括4个模块，即内容提要，典型例题分析，习题精选和习题详解，旨在帮助读者尽快掌握《高等数学（下册）》课程中的基本内容、基本方法和解题技巧，提高学习效率．第二部分为“模拟试题及详解”，该部分给出了10套模拟试题，并给出了详细解答的过程，旨在检验读者的学习效果，快速提升读者的综合能力．
　　
　　

作者简介

刘强，理学博士，教授，博士生导师，现任首都经济贸易大学统计学院副院长,兼任全国工业统计教学研究会常务理事兼常务副秘书长，北京应用统计学会常务理事，北京大数据协会理事等．主讲本科生课程：微积分，线性代数，概率论与数理统计，高等数学，多元统计分析，数学竞赛等；主讲研究生课程：高等数理统计，应用数理统计，数据分析与R语言等；主讲博士生课程：非参与半参数回归等．主要研究方向：经济数据分析，非参数计量经济和复杂数据分析等．

精彩书评

目录

第一部分同 步 练 习

第8章空间解析几何与向量代数

8.1知识要点

8.1.1向量的概念及线性运算

8.1.2曲面及其方程

8.1.3空间曲线及其方程

8.1.4平面及其方程

8.1.5直线及其表示

8.2典型例题分析

8.2.1题型一向量代数的相关问题

8.2.2题型二空间曲线与曲面的相关问题

8.2.3题型三平面方程的求解

8.2.4题型四直线方程的求解

8.2.5题型五直线与平面的关系问题

8.3习题精选

8.4习题详解

第9章多元函数微分法及其应用

9.1内容提要

9.1.1多元函数的定义

9.1.2二元函数的极限与连续

9.1.3偏导数

9.1.4全微分

9.1.5高阶偏导数

9.1.6复合函数求导法则

9.1.7隐函数求导法则

9.1.8多元函数微分学的几何应用

9.1.9方向导数与梯度

9.1.10多元函数的极值

9.2典型例题分析

9.2.1题型一函数定义域及表达式的求解

9.2.2题型二二元函数极限的存在性问题

9.2.3题型三多元函数偏导数的求解问题

9.2.4题型四利用定义讨论函数在某点处的可微性

9.2.5题型五全微分的求解问题

9.2.6题型六复合函数的偏导数的证明与计算

9.2.7题型七抽象复合函数的高阶偏导数的求解问题

9.2.8题型八隐函数偏导数的求解问题

9.2.9题型九多元函数微分法及其应用问题

9.2.10题型十方向导数与梯度问题

9.2.11题型十一函数的无条件极值问题

9.2.12题型十二实际应用问题

9.3习题精选

9.4习题详解

第10章重积分

10.1内容提要

10.1.1二重积分的概念

10.1.2二重积分的性质

10.1.3利用直角坐标系计算二重积分

10.1.4利用极坐标计算二重积分

10.1.5三重积分的概念与计算

10.1.6重积分的应用

10.2典型例题分析

10.2.1题型一二次积分的换序问题

10.2.2题型二二重积分的求解问题

10.2.3题型三利用极坐标计算二重积分

10.2.4题型四三重积分的计算

10.2.5题型五积分的应用问题

10.3习题精选

10.4习题详解

第11章曲线积分与曲面积分

11.1知识要点

11.1.1第一类曲线积分的概念及计算


11.1.2第二类曲线积分的概念及计算

11.1.3格林公式及其应用

11.1.4第一类曲面积分的概念与计算

11.1.5第二类曲面积分的概念与计算

11.1.6高斯公式与斯托克斯公式

11.2典型例题分析

11.2.1题型一第一类曲线积分的求解

11.2.2题型二第二类曲线积分的求解

11.2.3题型三格林公式的应用

11.2.4题型四第一类曲面积分的求解

11.2.5题型五第二类曲面积分的求解

11.2.6题型六高斯公式的应用

11.2.7题型七斯托克斯公式的应用

11.2.8题型八曲线、曲面积分的实际应用

11.3习题精选

11.4习题详解

第12章无穷级数

12.1内容提要

12.1.1常数项级数的概念

12.1.2无穷级数的性质

12.1.3常见级数的敛散性

12.1.4正项级数的审敛法

12.1.5任意项级数的敛散性

12.1.6函数项级数的概念

12.1.7幂级数及其收敛性

12.1.8幂级数的和函数的性质

12.1.9函数的幂级数展开

12.1.10函数的幂级数展开的应用

*12.1.11函数项级数的一致收敛性及性质

12.1.12傅里叶级数

12.1.13一般周期函数的傅里叶级数

12.2典型例题分析

12.2.1题型一利用定义判定级数的敛散性

12.2.2题型二利用级数性质判定级数的敛散性

12.2.3题型三正项级数敛散性的判别

12.2.4题型四条件收敛与绝对收敛问题

12.2.5题型五幂级数的收敛域与和函数的求解

12.2.6题型六利用间接展开法将函数展开成幂级数

12.2.7题型七函数的幂级数展开式的应用

12.2.8题型八函数项级数收敛域的求解

*12.2.9题型九函数项级数一致收敛性判定

12.2.10题型十傅里叶级数的相关问题

12.3习题精选

12.4习题详解

第二部分模拟试题及详解

模拟试题一

模拟试题二

模拟试题三

模拟试题四

模拟试题五

模拟试题六

模拟试题七

模拟试题八

模拟试题九

模拟试题十

模拟试题一详解

模拟试题二详解

模拟试题三详解

模拟试题四详解

模拟试题五详解

模拟试题六详解

模拟试题七详解

模拟试题八详解

模拟试题九详解

模拟试题十详解

参考文献

精彩书摘

　　第一部分同步练习

　　第8章空间解析几何与向量代数

　　8.1知识要点

　　8.1.1向量的概念及线性运算

　　1.向量及其表示

　　（1）向量：既有大小又有方向的量称为向量，记为a.向量的大小称为向量的模,记作‖a‖或|a|.

　　（2）向量的表示：向量在几何上可用有向线段来表示，以点M为起点，点N为终点的有向线段是一个向量，记为MN.数学上研究与起点无关的自由向量.

　　（3）向量的坐标与模长：在空间直角坐标系下，设点M的坐标为(a1,b1,c1)，点N的坐标为(a2,b2,c2)，则向量MN的坐标为(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，该向量的模长为

　　|MN|=(a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2．

　　（4）方向余弦：向量a=(ax,ay,az)的方向余弦为

　　cosα=ax|a|,cosβ=ay|a|,cosγ=az|a|．

　　方向余弦满足cos2α+cos2β+cos2γ=1．

　　2.向量的运算

　　图8.1

　　（1）加法与减法．向量的加减法满足平行四边形法则，如图8.1所示：

　　AB+AD=AC，AD-AB=BD．

　　设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz).

　　（2）向量的数乘．设向量a=(ax,ay,az)，λ为实数，则λa=(λax,λay,λaz).

　　（3）向量a与b的数量积为a·b=|a|·|b|·cosθ，式中θ为向量a与b的夹角.设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则a·b=axbx+ayby+azbz.

　　（4）向量a与b的向量积为a×b=|a|·|b|·sinθ·ec，其中θ为向量a与b的夹角，ec为同时垂直于a与b的向量，向量a，b，ec成右手系；|a×b|等于以a和b为邻边的平行四边形面积.

　　设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则

　　a×b=ijk

　　axayaz

　　bxbybz=ayaz

　　bybz,azax

　　bzbx,axay

　　bxby．

　　*（5）向量a，b，c的混合积为［a,b,c］=a×b×c．设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)，则

　　a×b×c=axayaz

　　bxbybz

　　cxcycz．

　　|a×b×c|等于以a,b和c为边的平行六面体的体积.

　　3.向量间的关系

　　设a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)均为非零向量.

　　（1）向量a=b的充分必要条件为ax=bx,ay=by,az=bz.

　　（2）cosθ=a·b|a||b|，式中θ为向量a与b的夹角.

　　（3）射影表示式为：当a≠0时，a·b=|a|Prjab；当b≠0时，a·b=|b|Prjba.

　　（4）a与b平行的充要条件是axbx=ayby=azbz．

　　（5）a与b垂直的充要条件是axbx+ayby+azbz=0．

　　（6）向量a，b，c共面的充要条件为

　　axayaz

　　bxbybz

　　cxcycz=0．

　　8.1.2曲面及其方程

　　曲面的一般方程为

　　F(x,y,z)=0或z=f(x,y)等.

　　（1）球面：一般方程为x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0，常化为标准方程

　　(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2，

　　其中(x0,y0,z0)为球心;R为半径.

　　（2）旋转曲面：F(y,z)=0

　　x=0绕y轴旋转一周所得曲面为F(y,±z2+x2)=0，绕z轴旋转一周所得曲面为F(±y2+z2,z)=0；类似可得其他坐标平面上的曲线绕同一坐标平面内的坐标轴旋转一周所得曲面的方程.

　　（3）柱面：方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴，准线为F(x,y)=0

　　z=0的柱面；方程F(y,z)=0表示母线平行于x轴，准线为F(y,z)=0

　　x=0的柱面；方程F(z,x)=0表示母线平行于y轴，准线为F(z,x)=0

　　y=0的柱面.

　　（4）常见二次曲面的标准方程

　　椭圆锥面x2a2+y2b2=z2；椭球面：x2a2+y2b2+z2c2=1；

　　单叶双曲面：x2a2+y2b2-z2c2=1；双叶双曲面：x2a2-y2b2-z2c2=1；

　　椭圆抛物面：x2a2+y2b2=z；双叶抛物面：x2a2-y2b2=z．

　　8.1.3空间曲线及其方程

　　（1）两张曲面的交线为曲线．其一般方程为F(x,y,z)=0

　　G(x,y,z)=0．

　　（2）参数式方程为

　　x=x(t),

　　y=y(t),

　　z=z(t).

　　这里为t参数．

　　（3）空间曲线在坐标平面上的投影

　　设l:F(x,y,z)=0

　　G(x,y,z)=0，消去z，得H(x,y)=0，则曲线H(x,y)=0

　　z=0为曲线l在xOy面上的投影．在其余面上的投影方法类似．

　　8.1.4平面及其方程

　　平面与三元一次方程一一对应.

　　1.平面的点法式方程

　　过点(x0,y0,z0)，以非零向量r=(A,B,C)为法向量的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

　　2.平面的一般式方程

　　在点法式方程中，令D=-(Ax0+By0+Cz0)，得到形如Ax+By+Cz+D=0的方程.

　　3.平面的截距式方程

　　平面在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c，当abc≠0时，平面的方程为xa+yb+zc=1.

　　4.平面的三点式方程

　　设Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)为平面上不共线的三点，则有平面方程

　　x-x1y-y1z-z1

　　x2-x1y2-y1z2-z1

　　x3-x1y3-y1z3-z1=0.

　　5.两个平面之间的关系

　　设平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)为平面的法向量；平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)为平面的法向量.

　　（1）平行：π1∥π2�趎1∥n2�趎1=λn2(λ≠0)�趎1×n2=0�贏1A2=B1B2=C1C2；

　　（2）垂直：π1⊥π2�趎1⊥n2�趎1·n2=0�贏1A2+B1B2+C1C2=0；

　　（3）相交：A1A2=B1B2=C1C2不成立；

　　（4）重合：A1A2=B1B2=C1C2=D1D2.

　　6.两平面的夹角

　　设平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)为平面的法向量；平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)为平面的法向量.θ为两平面的夹角，则

　　cosθ=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21A22+B22+C22.

　　7.点到平面的距离公式

　　点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为

　　d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2．

　　8.两个平行平面之间的距离公式

　　设平面π1:Ax+By+Cz+D1=0，平面π2:Ax+By+Cz+D2=0，其中r=(A,B,C)为这两个平面的法向量.则两个平面之间的距离为

　　d=|D1-D2|A2+B2+C2．

　　8.1.5直线及其表示

　　（1）直线的一般式方程：两张平面交于一条直线，得直线方程

　　A1x+B1y+C1z+D1=0

　　A2x+B2y+C2z+D2=0.

　　（2）直线的点向式方程（标准式方程）：过点P(x0,y0,z0)，方向为τ=(m,n,p)的直线方程为

　　x-x0m=y-y0n=z-z0p.

　　（3）直线的参数式方程：点向式方程中，令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t，得

　　x=x0+mt,

　　y=y0+nt,

　　z=z0+pt,

　　其中t为参数．

　　（4）两条直线之间的关系

　　设直线l1:x-x1m1=y-y1n1=z-z1p1，其中s1=(m1,n1,p1)为直线的方向向量；直线l2:x-x2m2=y-y2n2=z-z2p2，其中s2=(m2,n2,p2)为直线的方向向量.

　　①平行：l1∥l2�趕1∥s2�趕1=λs2(λ≠0)�趕1×s2=0�趍1m2=n1n2=p1p2；

　　②垂直：l1⊥l2�趕1⊥s2�趕1·s2=0�趍1m2+n1n2+p1p2=0.

　　③两直线的夹角：记θ为两直线的夹角，则

　　cosθ=|m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21m22+n22+p22.

　　（5）点到直线的距离：直线L的方向向量为τ，P为L上一点，则点Q到直线L的距离为

　　d=|PQ×τ||τ|．

　　（6）两条异面直线间的距离：M1为直线L1上一点，M2为直线L2上一点，L1与L2的方向分别为τ1与τ2，则直线L1和L2的公垂线长

　　d=|P1P2·(τ1×τ2)||τ1×τ2|．

　　（7）直线与平面的关系

　　设平面π:Ax+By+Cz+D=0，其中n=(A,B,C)为平面的法向量，直线l:x-x0m=y-y0n=z-z0p，其中s=(m,n,p)为直线的方向向量.

　　①平行：π∥l�趎⊥s�趎·s=0�贏m+Bn+Cp=0；

　　②垂直：π⊥l�趎∥s�趎=λs(λ≠0)�趎×s=0�贏m=Bn=Cp；

　　③直线在平面上：n·s=0，且Ax0+By0+Cz0+D=0.

　　（8）过直线l：A1x+B1y+C1z+D1=0

　　A2x+B2y+C2z+D2=0的平面束方程是

　　λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0

　　或

　　A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0，

　　其中λ和μ为参数.

　　注第二个式子中不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0.

　　8.2典型例题分析

　　8.2.1题型一向量代数的相关问题

　　例8.1若a=4m-n,b=m+2n,c=2m-3n,式中|m|=2,|n|=1,(m,n)=π2,化简表达式a·c+3a·b-2b·c+1.

　　解a·c+3a·b-2b·c+1

　　=(4m-n)·(2m-3n)+3(4m-n)·(m+2n)-2(m+2n)·(2m-3n)+1

　　=16|m|2+9|n|2+1=16 高等数学（下册）同步练习与模拟试题（高等院校工科类、经济管理类数学系列辅导丛书） 电子书 下载 mobi epub pdf txt

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