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内容简介

　　《度量空间的拓扑学》主要是以度量空间为基础进行拓扑学性质的探究。对于读者而言，以度量空间为基础可以降低拓扑学的入门难度。与此同时《度量空间的拓扑学》也介绍了对于拓扑学而言相对重要的结果，特别是其他中文书籍相对较少涉及的拓扑学维数论，无限维拓扑学等的相关结果也在本书中有所体现。此外，重视拓扑学和其他学科的结合是本书的一个特点。《度量空间的拓扑学》从基本的集合论知识起步，先介绍了度量空间、连续映射、度量空间的连通性和紧性，然后介绍了可分度量空间、完备度量空间、Baire空间，还包含了这些结论在分析学中的应用、Cantor集的拓扑特征及其万有性；进一步，《度量空间的拓扑学》定义了拓扑空间，并把度量空间的拓扑学知识推广到了更一般的拓扑空间中，并定义了仿紧性，证明了一些可度量化定理等。最后本书证明了Michael选择定理、Dugundji扩张定理、Brouwer不动点定理和Anderson定理。
　　《度量空间的拓扑学》主要面向数学专业本科生和低年级研究生，也可以作为对拓扑学有兴趣的研究者的参考书。

内页插图

目录

第1章 公理集合论简述
1．1 集合论公理
1．2 集合上的几种特殊关系
1．3 序数与基数
1．4 选择公理

第2章 度量空间
2．1 度量空间的定义及例子
2．2 开集、闭集、基、序列
2．3 闭包、内部、边界
2．4 连续映射、同胚、拓扑性质
2．5 一致连续、等距映射与等价映射
2．6 度量空间的运算
2．7 Urysohn引理和Tietze扩张定理
2．8 Borel集和绝对Borel空间

第3章 度量空间的连通性
3．1 连通空间
3．2 连通分支与局部连通空间
3．3 道路连通空间

第4章 紧度量空间
4．1 紧度量空间的定义、等价条件
4．2 紧度量空间的运算I
4．3 紧度量空间的性质
4．4 局部紧度量空间
4．5 紧度量空间的运算II
4．5．1 超空间
4．5．2 函数空间
4．6 Cantor集的拓扑特征

第5章 可分度量空间
5．1 可分度量空间的定义及等价条件
5．2 嵌入定理
5．3 Cantor空间的万有性质

第6章 完备度量空间与可完备度量空间
6．1 完备度量空间
6．2 度量空间的完备化
6．3 可完备度量空间
6．4 Baire性质及其应用

第7章 拓扑空间与可度量化定理
7．1 拓扑空间的定义及例子
7．2 分离性公理
7．3 紧性与紧化
7．4 可数性公理与可分可度量化定理
7．5 仿紧空间
7．6 度量化定理
7．7 说明

第8章 Michael选择定理与Brouwer不动点定理
8．1 线性空间
8．2 Michael选择定理及其应用
8．3 Euclidean空间R
8．4 Brouwer．不动点定理
8．4．1 单形和单纯复形
8．4．2 单形的重心重分
8．4．3 Spermer定理
8．4．4 Brouwer不动点定理

第9章 维数论
9．1 三种维数的定义
9．2 关于覆盖维数的进一步讨论
9．3 度量空间的维数
9．4 维数与Euclidean空间Rn
9．5 无限维维数论简述

第10章 无限维拓扑学引论
10．1．构造同胚的三种方法及其应用
10．1．1 方法一：同胚列的极限是同胚的条件
10．1．2 方法二：Bing收缩准则
10．1．3 方法三：同痕
10．2 Z-集
10．3 Z-集的同胚扩张定理I
10．4 Z-集的同胚扩张定理II
10．5 吸收子
10．6 Anderson定理
参考文献
索引

前言/序言

　　本书的主要目的是为本科生和研究生提供度量空间的拓扑学的入门材料；同时为拓扑学专业的研究生提供关于维数论和无限维拓扑学的入门材料。相对于国内一般的点集拓扑学教材而言，本教材的重点是度量空间的拓扑学，这恰好是拓扑学在其他数学分支应用中最重要的部分，同时满足了在一个相对比较短的篇幅内以比较低的起点上给出一些深刻的拓扑学定理的要求。另外，本教材提供的拓扑学维数论在国内出版的教材中较少涉及；无限维拓扑学，特别是Anderson定理（即Hilbert空间l2同胚于无限可数个实直线的乘积）在国内出版的中文书籍中还没有出现。作者的另一个期待是本书能尽量体现拓扑学和其他数学分支的联系，例如，证明存在充分多的处处连续处处不可导的函数，对Cantor集的探讨，对Euclidean空间Rn的拓扑性质的讨论，证明Michael选择定理、Brouwer不动点定理和Brouwer域不变性定理等。
　　本书由十章组成，第1章给出本书需要的集合论知识。第2章定义度量空间、连续映射和其他基本概念并给出这些概念的性质，同时我们也给出大量例子，第3章和第4章分别定义度量空间的连通性和紧性，研究这两类度量空间的基本性质，特别是给出Cantor集的拓扑特征，第5章研究可分度量空间，特别是证明了含Cantor空间在内的一些空间的万有性质。第6章定义和研究完备度量空间与可完备度量空间并给出其在分析上的应用，第7章定义拓扑空间，探讨第2-6章的各种概念在更一般的拓扑空间中的变化，并给出拓扑空间一些特有的性质，例如，仿紧性；证明了一些经典的度量化定理。在第8章，我们的目的是证明Michael选择定理、Dugundji扩张定理和Brouwer不动点定理，前两个结论是联系拓扑学和分析学的重要桥梁，后者是拓扑学中的最重要的结果之一。为此，我们定义拓扑线性空间、单纯复形等概念，第9章讨论维数论。我们定义三种维数并给出它们重合的条件，利用这些结果我们证明Euclidean空间Rn是互相不同胚的和Brouwer域不变性定理——一个在很多数学分支中有用的定理。本书的最后一章给出无限维拓扑学引论，其主要目的是证明Anderson定理，证明这个结果所使用的工具在今天的无限维拓扑学研究中仍然生机勃勃。
　　本书的前七章已经在汕头大学本科生和研究生教学中多次使用，后面三章也在拓扑专业研究生教学中多次使用。
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