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产品特色

编辑推荐

适读人群 ：计算机是数值计算方法最常用的计算工具，随着计算机技术的迅速发展和普及，计算方法课程已成为所有理工科学生的必修课程。
中国科学技术大学考研指定图书，内容经典，高屋建瓴。

内容简介

本书覆盖了计算方法最基本的内容，内容的顺序为“插值”、“数值微分和数值积分”、“曲线拟合”、“非线性方程求根”、“解线性方程组的直接法”、“解线性方程组的迭代法”、 “计算矩阵特征值和特征向量”和“常微分方程数值解”。最后一章给出用符号计算语言Mathematica做各章计算方法的例题。
本书参考了国内外多本计算方法教材，例如，由教育部高等教育司推荐的国外优秀信息科学与技术系列教学用书，Richard L. Burden数值分析（Numerical Analysis），并吸取了他们的优点，例如，给出大部分方法对应的算法。通过算法缩短数学方法和计算机实现的距离。
本书例题丰富，通过典型例题帮助学生进一步理解计算对象、计算公式、限定条件和计算步骤。学习计算方法中的逼近和迭代等数学思想，掌握常用的数值方法，获取近似计算的能力，激发学生的学习兴趣，扩大学生数值计算的知识面，并能触类旁通地应用到各自的科研和技术领域中，培养学生的数学综合分析能力和计算能力。

作者简介

张韵华，中国，汉，1972.4至1975.12就读于中国科学技术大学数学系计算数学专业，毕业后留校任教至今，1991.10获中国科学技术大学计算机系软件硕士学位。1991.10获中国科学技术大学计算机系软件硕士学位。从事数值计算方法、符号计算系统的和计算机辅助教学的应用。已发表相关论文10多篇和著作7部。

目录

第三版目录
第1章 插 值
1.1拉格朗日（Lagrange）插值多项式
1.1.1线性插值
1.1.2 二次插值
1.1.3 n次拉格朗日插值多项式
1.2牛顿(Newton) 插值多项式
1.2.1 差商及其计算
1.2.2 Newton插值
*1.3 Hermite插值
1.4 三次样条函数
1.4.1分段插值
1.4.2 三次样条插值的M关系式
1.4.3 三次样条插值的m关系式
习题1
第2章?最小二乘拟合
2.1拟合函数
2.2多项式拟合
2.3矛盾方程组
习题2
第3章 非线性方程求解
3.1 迭代法
3.1.1实根的对分法
3.1.2 不动点迭代
3.1.2 不动点迭代
3.2牛顿迭代法
3.3弦截法
3.4求解非线性方程组的牛顿方法
习题3
第4章?求解线性方程组的直接法
4.1 Gauss消元法
4.1.1 Gauss顺序消元法
4.1.2 Gauss列主元消元法
4.2 直接分解法
4.2.1 Doolittle分解
4.2.2 Crout分解
4.2.3 特殊线性方程组
习题4
第5章 求解线性方程组的迭代方法
5.1 简单（Jacobi）迭代
5.1.1 Jacobi迭代计算公式
5.1.2 Jacobi 迭代收敛条件
5.2高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代
5.2.1高斯-赛德尔迭代计算
5.2.2 高斯-赛德尔迭代矩阵
5.3 松弛迭代
5.3.1松弛迭代计算公式
5.3.2 松弛迭代矩阵
习题5
第6章数值积分和数值微分
6.1 牛顿-柯特斯数值积分
6.1.1 插值型数值积分
6.1.2 牛顿-柯特斯（Newton-Cote’s）积分
6.2 复化数值积分
6.2.1 复化梯形积分
6.2.2复化Simpson积分
6.2.3自动控制误差的复化积分
6.2.4龙贝格 (Romberg )积分
*6.3 重积分计算
*6.4 高斯(Gauss)型积分
6.5 数值微分
6.5.1 差商与数值微分
6.5.2插值型数值微分
习 题 6
第7章 常微分方程数值解
7.1 欧拉(Euler)公式
7.1.1 基于数值微商的欧拉公式
*7.1.2 欧拉公式的收敛性
7.1.3 基于数值积分的近似公式
7.2 龙格-库塔方法
7.2.1二阶龙格-库塔方法
7.2.2 四阶龙格-库塔格式
7.3 线性多步法
7.4 常微分方程组的数值解法
7.4.1 一阶常微分方程组的数值解法
7.4.2 高阶常微分方程数值方法
*7.5常微分方程的稳定性
习题7
第8章 计算矩阵的特征值和特征向量
8.1 幂法
8.1.1 幂法计算
8.1.2 幂法的规范运算
8.2反幂法
*8.3 实对称矩阵的Jacobi方法
*8.4 QR方法简介
8.4.1 QR方法初步
8.4.2矩阵的QR分解
习题8
附录1 上机作业题
附录2 C语言程序示例
程序1 构造Newton插值多项式
程序2 弦截法求根
程序3 超松弛迭代求解方程组
程序4 龙贝格( Romberg )积分算法
程序5 四阶龙格—库塔法求解常微分方程初值问题
附录3 在符号语言Mathematica中做题
1插值
2曲线拟合
3求解非线性方程
4求解线性方程组
5数值积分
6常第1章 插 值
第2章?最小二乘拟合
第3章 非线性方程求解
第4章?求解线性方程组的直接法
第5章 求解线性方程组的迭代方法
第6章数值积分和数值微分
第7章 常微分方程数值解
第8章 计算矩阵的特征值和特征向量
附录1 上机作业题
附录2 C语言程序示例
附录3 在符号语言Mathematica中做题

精彩书摘

绪论
0.1数值计算方法与算法
数值计算方法，是一种研究数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。它的计算对象是那些在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题，以及没有解析解的数学问题。例如，解一个有300个未知量的线性方程组；计算6阶矩阵的全部特征值。
在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。
计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科，计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征。计算方法的前提课程是微积分，线性代数，常微分方程和一门计算机语言。
大多数人学习计算方法的目的是为了使用方法，在学习计算方法中，在套用计算公式、修改计算公式和创建计算公式中，都需要不同程度的专业知识和数学基础。要注重学习计算方法中的逼近和迭代等数学思想和常用手法，获取近似计算的能力，并能触类旁通地应用到各个领域中。一些有创造力的工程师不仅擅长使用某些计算方法，并能创建出简便有效的计算方法。例如，样条函数、快速富里叶变换和有限元方法都是有创造力的工程师们创建的，再由数学家们完善这些方法的理论基础，并从理论上进行提高和推广。
从方法的计算公式到在计算机上实际运行，两者之间还有距离，这是数学能力与计算机应用技术能力之间的距离，还与计算机的运行环境和编程工具有关，为了缩小两者之间的距离，本文将给出部分计算公式的算法描述。用算法容易准确而简便地描述计算公式，在算法中能简洁地表达计算公式中的“循环”和“迭代”等操作。有了方法的算法，将它转化成C或PASCAL等语言的程序上机运行也就容易了。
在学习计算方法过程中，如果能用某种语言编制该方法的程序并运行通过，那么有利于准确而深刻地掌握该方法的计算步骤和过程。
本教材中提供了部分上机作业题，在平时作业中布置一些上机编程题目，其目的是通过编程上机，加深对方法实施的理解和体会，训练和提高数学与计算机应用能力和水平。
0.2 误差与有效数字
绝对误差与绝对误差界
近似计算必然产生误差，误差表示精确值与近似值的距离。
定义0.1 设 为精确值（或准确值）， 是 的一个近似值，称 为近似值 的绝对误差或误差。
绝对误差 = 精确值 ? 近似值
误差 的值可正可负，如果得不到精确值 ，也就算不出绝对误差 的值。常用限制误差绝对值的范围 描述和控制误差的范围。
定义0.2 如果精确值 与近似值 的误差的绝对值不超过某正数 ，即

称 为绝对误差限或误差限。
精确值 也可表示为： 。通常，在误差允许的范围内的近似值 即认为是精确值，这也是计算中控制循环中止的常用手段。
例0.1 若经四舍五入得到 ，对于数 , 的近似值都是 ，
即第四位小数大于5时，必然进位到第三位小数；第四位小数小于5时，必然舍去。
它的误差限是：

若 ，则它的误差限是：

相对误差与相对误差限
在很多情况下，绝对误差并不能全面的反映近似程度。例如，某电器公司两次进货的某型号电风扇分别为1000台和2000台，其中开箱不合格电风扇分别为8和12（绝对误差的值）。不合格率分别为8/1000=0.8%和12/2000=0.6 %（相对误差的值），这说明该电风扇的质量有所提高。我们把近似值与准确值的比值定义为相对误差。
定义0.3 设 为精确值， 是 的一个近似值
称 为近似值 的相对误差。
在实际计算中，有时得不到精确值 ，当 较小时 可用近似值 代替，即

相对误差 = 或 相对误差 =
相对误差 的值也可正可负，与绝对误差一样不易计算，常用相对误差限控制相对误差的范围。
定义0.4 如果有正数 使得 ，则称 为 的相对误差限。
产生误差的因素很多，产生误差的原因主要有
原始误差
由客观存在的模型抽象到物理模型产生的误差。包括模型误差和原始数据误差。
截断误差
用有限项近似无限项时，由截取函数的部分项而产生的误差，称为截断误差。
例如： ，在计算中用
的截断误差
舍入误差
在数值计算中，通常都按有限位进行运算。例如，按照4舍5入的原则，2 / 3=0.666667
或2 / 3=0.667，由舍入产生的误差，称为舍入误差。
在实际计算中的数据通常是近似值，它们由观察、估计或一些计算而得到，这些数在计算机表示后也会带来进一步误差，即误差的积累和传播。关于误差的传播似乎没有多少统一的理论，通常积累误差的界是以通例分析为基础而建立的。
有效位数
定义0.5 当 的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个非零位的位数称为 的有效位数。
例如， = 12.34 , = 0.004067均有4位有效数字，而3.00与3.0000分别有3位和5位有效位数。
有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差，因此，在计算中也应注意保持一定的有效位数。

数值计算的近似计算免不了有误差相随，只能尽量约束和控制误差。
选择收敛的稳定的方法
对同一问题选择不同的数值计算方法，可能得到不同的计算结果。在计算方法中，除了给出方法的数值计算公式，还要讨论计算公式的收敛性、稳定性和截断误差的特性。选择收敛性要求低、稳定性好的方法是约束误差扩张最重要的措施。例如，样条插值函数比高次多项式的效果好的多，是构造插值函数的首选方法。
提高数值计算精度
数值在计算机中存放的位数称为字长。有限位的字长是带来舍入误差和抑制数值计算精度的根源。对同一种方法，在字长大的计算机上的计算效果要比在字长小的计算机上优越。
同一计算问题，简化计算步骤、减少运算次数、控制除法中分母的值等措施都会约束和减少舍入误差.
例如：将多项式表达式 ，改写为

在计算机上，用同一种数值计算方法对数据选用不同的数值类型，有时会直接影响到计算效果。例如，对病态的线性方程组，采用单精度数据的Gauss消元方法，其数据解大大失真，而用双精度数据Gauss列主元消元方法却可得到满意的数值解。

0.3 矩阵和向量范数
0.3.1向量范数
1. 向量范数的定义
在一维空间中，实轴上任意两点 的距离用两点坐标差的绝对值 表示. 绝对值是单变量的一种度量距离的定义.
范数是在广义长度意义下，对函数、向量和矩阵的一种度量定义. 任何对象的范数值都是一个非负实数. 使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离. 向量范数是度量向量长度的一种定义形式. 范数有多种定义形式，只要满足定义1.1中的三个条件即可定义一个范数.
对任一向量 ，按照一个规则确定一个非负实数与它对应，记该实数为 ，若 满足下面三个性质：
(1) 任取 ，有 ,当且仅当 时， （非负性）
(2) 任取 ， 有 （齐次性）
(3) 任取 ，有 (三角不等式）
那么称实数 为向量 的范数.
定义 0.6 向量 的 范数（ 范数）定义为
, （0.1）
其中，经常使用三种 向量范数是 .
1-范数(曼哈顿范数)

2-范数(欧几里得范数)

或写成
-范数

注：

例0.2 计算向量 的向量范数.
,


例0.3 设A是一个正定矩阵，对任何向量 ，定义函数 ,
是一种向量范数.
例0.4 当 ， 不是向量范数.
证明 取 则
，

不是向量范数.
2. 不同向量范数的关系
同一向量，在不同的范数定义下，得到不同的范数值. 定理0.1给出有限维线性空间 中任意向量范数都是等价的.
定理0.1 若 是 上两种不同的范数定义，则必存在 ，使 ，均有
（0.2）
或 （证明略）
可以验证，对于向量的1、2和 范数有下列等价关系
，


例0.5 图示 中向量1范数、2范数、4范数和 范数的单位“圆”.

图0-1范数的单位“圆”
向量的极限
向量范数的定义提供了度量两个向量的距离标准，即可定义向量的极限和收敛概念了.
定义 0.7 设 为 上向量序列，若存在向量??
有 ，则称向量列 是收敛的， 称为该向量序列的极限.
由向量范数的等价性，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关. 向量的极限是通过它的所有分量的极限定义的。不论选取那种范数,向量序列 收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即 存在. 若 ，则 就是向量序列 的极限. 在数值计算中，当迭代的向量序列中相邻两个向量的误差 给定精度时，视 为极限向量 .
0.3.2矩阵范数
1. 矩阵范数定义
设 ，记方阵 的范数为 ，矩阵范数满足下列性质：
(1) 当且仅当 时， （非负性）
（2） （齐次性）
（3） 对于任意两个同阶矩阵 有
(三角不等式）
（4）设 为同阶矩阵,则 （相容性）
（5）设 为 阶阵,对 ，
恒有
只要满足(1) (2) (3)就可以定义一个矩阵范数。矩阵范数可用向量范数定义.
定义 0.8 设 ，定义矩阵范数 （0.3）
下面简化矩阵范数的（0.3）式的定义.
，设 且 ，则

即：
这样，在 上 的选取范围由一张平面压缩到单位圆周上；在 上选取范围由三维空间压缩到单位球面上.
定义0.9 设 是 上的一个向量范数，则由
（0.4）
定义的实值函数 是一个矩阵范数。
这类范数称为算子范数，诱导范数或从属范数。几何直观上，矩阵范数是矩阵对向量的最大拉伸。
2. 常用矩阵范数
对应于向量的三种范数，相应的三种矩阵范数形式为：
（列和范数）
（行和范数）
，其中 ， 是 的特征值
* 证明： 矩阵的范数是 上满足 向量范数 的上确界，那么，找到这个上确界也就找到了矩阵的范数.
（1） 任取 设 ，则


即
设极大值在 列达到，有 ，取 ， 除第 个分量为1外，其余分量均为0，
于是有 .
由定义和 ，故 . 因此有

（2） 任取 设 ，则

即
另一方面设极大值在k行达到，取
这里
于是 . 故

（3） 为半正定对称矩阵，具有非负特征值，并具有n个相互正交的单位特征向量.
设 的特征值为 ，相应的特征向量为 ，其中 为相互正交的 普通高等教育“十一五”***规划教材/中国科学技术大学数学教学丛书：数值计算方法与算法（第三版） 电子书 下载 mobi epub pdf txt

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好评

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