　　本书主要介绍了计算材料学中比较常用的微观尺度模拟方法的基本理论，深入讨论了各种模拟方法的数值化实现、数值算法的收敛性及稳定性等，综述了近年来计算材料学国内外X新研究成果。本书共分为六章。前两章内容包含材料模拟的理论基础。第1章介绍了必要的数学基础，包括线性代数、插值与拟合、优化算法、数值积分及群论等方面内容。第2章介绍了量子力学、晶体点群及固体理论基础。第3章介绍了*一性原理，主要包括Hartree�睩ock方法和密度泛函理论，同时详细讨论了如何利用平面波赝势方法求解体系总能和本征波函数，并简要介绍了近年来发展比较迅速的准粒子近似和激发态算法。第4章介绍了紧束缚方法，重点推导了Slater�睰oster双中心近似下哈密顿矩阵元的普遍表达式、原子受力的计算方法，以及紧束缚模型自洽化的方法。第5章介绍了分子动力学方法，包括原子经验势的种类、微正则系综下分子动力学的实现算法，同时详细讨论了微正则系综向正则系综的变换，以及近年来发展起来的*一性原理分子动力学的理论基础。第6章介绍了蒙特卡罗方法，包括随机数采样策略及不同系综下的蒙特卡罗算法，以及连接微观与宏观现象的动力学蒙特卡罗方法。附录对正文中涉及的若干数学算法进行了详细讨论。

作者简介

　　单斌，男，1978年9月出生，华中科技大学材料学院材料科学与技术系副主任，教授，博士生导师。兼任美国德州大学达拉斯分校材料系客座教授、中科院宁波材料所客座研究员。教育部新世纪优秀人才支持计划获得者，湖北省首届“百人计划”专家，湖北省杰出青年基金获得者，中国稀土学会催化专业委员会委员，美国材料学会、电化学学会会员。主要从事先进催化材料的研发，高分子材料、梯度功能材料的3D打印研究、原子层沉积装备研制等工作。在Science, ACS Nano、 ACS Catalysis、Physical Review Letters等国际期刊上发表论文60余篇，他引上千余次。长期担任Nano Letters、Physical Review Letters、Physical Review B、Journal of Chemical Physics Letters、Journal of Physical Chemistry、Computational Materials Science等国际期刊的审稿人，任中国NSFC通讯评审专家。

第1章　数学基础（1）1.1　矩阵运算（1）1.1.1　行列式（1）1.1.2　矩阵的本征值问题（4）1.1.3　矩阵分解（5）1.1.4　幺正变换（8）1.2　群论基础（9）1.2.1　群的定义（9）1.2.2　子群、陪集、正规子群与商群（10）1.2.3　直积群（10）1.2.4　群的矩阵表示（11）1.2.5　三维转动反演群O（3）（11）1.3　最优化方法（12）1.3.1　最速下降法（13）1.3.2　共轭梯度法（13）1.3.3　牛顿法与拟牛顿法（20）1.3.4　一维搜索算法（27）1.3.5　单纯形法（30）1.3.6　最小二乘法（31）1.3.7　拉格朗日乘子（35）1.4　正交化（38）1.4.1　矢量的正交化（38）1.4.2　正交多项式（38）1.5　积分方法（40）1.5.1　矩形法（40）1.5.2　梯形法（40）1.5.3　辛普森法（41）1.5.4　高斯积分（42）1.5.5　蒙特卡罗方法（45）1.6　习题（47）第2章　量子力学和固体物理基础（48）2.1　量子力学（48）2.1.1　量子力学简介（48）2.1.2　薛定谔方程（49）2.1.3　波函数的概率诠释（51）2.1.4　力学量算符和表象变换（53）2.1.5　一维方势阱（57）2.1.6　方势垒的隧穿（58）2.1.7　WKB方法（61）2.1.8　传递矩阵方法（62）2.1.9　氢原子（64）2.1.10　变分法（69）2.2　晶体对称性（71）2.2.1　晶体结构和点群（71）2.2.2　常见晶体结构和晶面（84）2.2.3　结构缺陷（86）2.3　晶体的力学性质（91）2.3.1　状态方程（91）2.3.2　应变与应力（92）2.3.3　弹性常数（93）2.4　固体能带论（96）2.4.1　周期边界、倒空间与Bl�塩h定理（96）2.4.2　空晶格模型与第一布里渊区（99）2.4.3　近自由电子近似与能带间隙（102）2.4.4　晶体能带结构（105）2.4.5　介电函数（106）2.5　晶格振动与声子谱（109）2.6　习题（113）第3章　第一性原理的微观计算模拟（114）3.1　分子轨道理论（114）3.1.1　波恩�舶卤竞Ｄ�近似（114）3.1.2　平均场的概念（116）3.1.3　电子的空间轨道与自旋轨道（117）3.1.4　Hartree�睩ock方法（118）3.1.5　Hartree�睩ock近似下的单电子自洽场方程（120）3.1.6　Hartree�睩ock单电子波函数的讨论（123）3.1.7　闭壳层体系中的Hartree�睩ock方程（126）3.1.8　开壳层体系中的Hartree�睩ock方程（128）3.1.9　Hartree�睩ock方程的矩阵表达（129）3.1.10　Koopmans定理（130）3.1.11　均匀电子气模型（131）3.1.12　Hartree�睩ock方程的数值求解和基组选取（135）3.1.13　Xα方法和超越Hartree�睩ock近似（141）3.2　密度泛函理论（143）3.2.1　托马斯�卜衙转驳依�克近似（143）3.2.2　Hohenberg�睰ohn定理（145）3.2.3　Kohn�睸ham方程（146）3.2.4　交换关联能概述（148）3.2.5　局域密度近似（149）3.2.6　广义梯度近似（152）3.2.7　混合泛函（155）3.2.8　强关联与LDA+U方法（155）3.3　赝势（158）3.3.1　正交化平面波（158）3.3.2　模守恒赝势（159）3.3.3　赝势的分部形式（162）3.3.4　超软赝势（165）3.4　平面波�藏褪品椒ǎ�167）3.4.1　布里渊区积分——特殊k点（167）3.4.2　布里渊区积分——四面体法（175）3.4.3　平面波�藏褪瓶蚣芟绿逑档淖苣埽�185）3.4.4　自洽场计算的实现（197）3.4.5　利用共轭梯度法求解广义本征值（198）3.4.6　迭代对角化方法（202）3.4.7　Hellmann�睩eynman力（207）3.5　缀加平面波方法及其线性化（210）3.5.1　APW方法的理论基础及公式推导（210）3.5.2　APW方法的线性化处理（215）3.5.3　关于势函数的讨论（218）3.6　过渡态（219）3.6.1　拖曳法与NEB方法（219）3.6.2　Dimer方法（222）3.7　电子激发谱与准粒子近似（225）3.7.1　基本图像（225）3.7.2　格林函数理论与Dyson方程（225）3.7.3　GW方法（227）3.7.4　Bethe�睸alpeter方程（232）3.8　应用实例（234）3.8.1　缺陷形成能（234）3.8.2　表面能（236）3.8.3　表面巨势（237）3.8.4　集团展开与二元合金相图（239）3.9　习题（240）第4章　紧束缚方法（241）4.1　建立哈密顿矩阵（241）4.1.1　双原子分子（241）4.1.2　原子轨道线性组合方法（242）4.1.3　Slater�睰oster双中心近似（243）4.1.4　哈密顿矩阵元的普遍表达式（248）4.1.5　对自旋极化的处理（253）4.1.6　光吸收谱（254）4.2　体系总能与原子受力计算（255）4.3　自洽紧束缚方法（256）4.3.1　Harris�睩oulkes非自洽泛函（256）4.3.2　电荷自洽紧束缚方法（257）4.4　应用实例（260）4.4.1　闪锌矿的能带结构（260）4.4.2　石墨烯和碳纳米管的能带结构（261）4.5　习题（263）第5章　分子动力学方法（264）5.1　分子动力学（264）5.2　势场选取（265）5.2.1　对势（266）5.2.2　晶格反演势（268）5.2.3　嵌入原子势（270）5.2.4　改良的嵌入原子势方法（277）5.3　微正则系综中的分子动力学（278）5.3.1　Verlet算法（278）5.3.2　速度Verlet算法（280）5.3.3　蛙跳算法（281）5.3.4　预测�残Ｕ�算法（282）5.4　正则系综（284）5.4.1　热浴和正则系综（284）5.4.2　等温等压系综（295）5.5　第一性原理分子动力学（297）5.5.1　波恩�舶卤竞Ｄ�分子动力学（297）5.5.2　Car�睵arrinello分子动力学（297）5.6　分子动力学的应用（302）5.7　习题（304）第6章　蒙特卡罗方法（306）6.1　蒙特卡罗方法实例简介（306）6.2　计算函数积分与采样策略（307）6.2.1　简单采样（308）6.2.2　重要性采样（308）6.2.3　Metropolis采样（311）6.3　几种重要的算法与模型（313）6.3.1　正则系综的MC算法（313）6.3.2　正则系综的MC算法（314）6.3.3　巨正则系综的MC算法（316）6.3.4　Ising模型（319）6.3.5　Lattice Gas模型（319）6.3.6　Potts模型（320）6.3.7　XY模型（320）6.4　Gibbs系综（320）6.4.1　随机事件及其接受率（321）6.4.2　GEMC算法实现（323）6.5　统计力学中的应用（324）6.5.1　随机行走（324）6.5.2　利用Ising模型观察铁磁�菜炒畔啾洌�324）6.5.3　逾渗（326）6.6　动力学蒙特卡罗方法（329）6.6.1　KMC方法的基本原理（329）6.6.2　指数分布与KMC方法的时间步长（330）6.6.3　计算跃迁速率（331）6.6.4　KMC几种不同的实现算法（333）6.6.5　低势垒问题与小概率事件（336）6.6.6　实体动力学蒙特卡罗方法（338）6.6.7　KMC方法的若干进展（339）6.7　KMC方法的应用（342）6.7.1　表面迁移（342）6.7.2　晶体生长（346）6.7.3　模拟程序升温脱附过程（348）附录A（351）A.1　角动量算符在球坐标中的表达式（351）A.2　拉普拉斯算符在球坐标中的表达式（354）A.3　勒让德多项式、球谐函数与角动量耦合（355）A.4　三次样条（359）A.5　傅里叶变换（361）A.5.1　基本概念（361）A.5.2　离散傅里叶变换（362）A.5.3　快速傅里叶变换（363）A.6　结构分析（369）A.6.1　辨别BCC、FCC以及HCP结构（369）A.6.2　中心对称参数（372）A.6.3　Voronoi算法构造多晶体系（374）A.7　NEB常用的优化算法（375）A.7.1　Quick�睲in算法（375）A.7.2　FIRE算法（376）A.8　Pulay电荷更新（377）A.9　最近邻原子的确定（377）参考文献（379）

前言/序言

　　计算材料学是一门新兴的、发展迅速的综合性基础科学。它的研究方法既区别于理论物理学采用简化模型寻找普遍规律的做法，也不同于实验物理学在真实世界里对实际体系进行观测的方法。计算材料学采用的是一种分析型的“虚拟实验”方法。它根据物质材料遵循的物理学基本方程，利用高效计算机强大的运算能力对材料的性质、功能以及演化过程等进行详细的、拆解式的模拟和预测，以深入理解材料学实验中观察到的各种现象，并缩短新材料研发的周期，降低研发成本。这种虚拟实验既保留了实际体系适当的真实性，也避免了实验中无法消除环境因素干扰的缺点，而且可以直接“观察”微观过程，而非通过测量其他量而间接地研究隐藏在现象后面的真实物理机制。近二十年来，随着计算机性能的飞速提升，这门学科在科学研究领域已愈来愈受到重视。计算材料学，特别是原子层面上的微观模拟，已经构成了相当丰富的理论体系，包括服从经典牛顿运动定律的经验势方法、遵循薛定谔方程的第一性原理方法以及介于两者之间的所谓半经验方法等。最近十年来，随着清洁能源技术的发展，针对激发态的理论和模拟算法也取得了长足的进步。从已公开的研究成果来看，即使是比较纯粹的实验工作，也往往包含对实验现象的微观模拟，以避免“知其然而不知其所以然”的尴尬。在这样的学科发展背景下，编写一本详细介绍计算材料学基本算法的教材是非常必要的。　　本书共分为六章。前两章内容包含材料模拟的理论基础。第1章介绍了必要的数学基础，包括线性代数、插值与拟合、优化算法、数值积分以及群论等方面的内容。第2章介绍了量子力学、晶体点群及固体理论基础。第3章介绍了第一性原理，主要包括Hartree�睩ock方法以及密度泛函理论，同时详细讨论了如何利用平面波�藏褪品椒ㄏ虑蠼馓逑底苣芎捅菊鞑ê�数，并简要介绍了近年来发展比较迅速的准粒子近似和激发态算法。第4章介绍了紧束缚方法，重点推导了Slater�睰oster双中心近似下哈密顿矩阵元的普遍表达式、原子受力的计算方法，以及紧束缚模型自洽化的方法。第5章介绍了分子动力学方法，包括原子经验势的种类、微正则系综下分子动力学的实现算法，同时详细讨论了微正则系综向正则系综的变换，以及近年来发展起来的第一性原理分子动力学的理论基础。第6章介绍了蒙特卡罗方法，包括随机数采样策略及不同系综下的蒙特卡罗算法，以及连接微观与宏观现象的动力学蒙特卡罗方法。本书最后有附录，对正文中涉及的若干数学算法进行了详细讨论。　　在编写过程中，一方面我们查阅了大量的原始文献，对涉及的方程进行了详细的推导，尽量避免由于转述他人的解释而造成的错漏，另一方面，对于每一个知识点，我们都参考了尽可能多的国内外同类教材，再精炼出我们认为最易于理解和表述的方法在书中介绍出来，以利于初学者从不同角度来理解同一个问题。有不同方法的比较，人们才能进行全方位的理解，而不是简单地、被动地接受知识的灌输。因此，本书在讲解基本原理的章节中尽量从更为形象、直观的角度出发，在保证正确的基础上力求有别于已有教材的内容。根据我们自己在学习和工作中的体会，计算材料学学习比较困难的一点在于基本理论与具体应用之间存在着不小的距离。以第3章讲述的密度泛函理论为例，在完成Kohn�睸ham方程推导之后，密度泛函理论的理论基础就告一段落了，但是从该方程出发到编写出实用的软件包还是有很长的一段路要走。这个问题在其他几章介绍的方法中也比较突出。学生对此的感受可能更深。即使把书上的公式全部自己推导出来，可能还是不知道如何利用这些知识乃至应用于实际。这对于激发学习者的学习兴趣无疑是不利的。因此在本书中我们不惜牺牲了一定的可读性，而花费了大量的篇幅来介绍每一种方法的具体实现过程。虽然有些“冒天下之大不韪”的意思，但是我们仍然认为，这种处理方式是有意义的。我们希望，读者能将这本书从头到尾读下来，相信一定可以提升自己的工作和研究水平。　　本书由单斌、陈征征和陈蓉编著。特别感谢国家重大科学研究计划青年项目（2013CB934800）、华中科技大学教材立项基金的大力支持。由于水平有限，书中不可避免地会存在不完善的地方，我们衷心希望各位专家和广大读者不吝批评和指正。
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