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編輯推薦

　　寫給高中生、大學生以及所有希望提高分析思維能力者的數學思維入門書
　　大師教你學會像數學傢一樣思考，順利完成從中學數學到大學數學的過渡，或者讓你掌握在各行各業獲得成功所需要的關鍵性思維能力
　　Coursera熱門課程《數學思維導論》配套教科書，結閤綫上課程，必能獲得更好的學習效果

內容簡介

　　許多大學新生都曾在從中學數學到大學數學的過渡過程中遇到過睏難。他們突然發現自己要麵對的似乎是一種全新的數學，被要求學會用一種不同於往的方式思考。同時，各行各業的從業者也越來越深刻地意識到，現如今，良好的分析思維能力比以往任何時候都更加重要，而具備“數學思維技能”的人會在競爭中占據巨大優勢。
　　本書正是這樣一本寫給高中生、大學生以及所有希望提高分析思維能力者的數學思維入門書。它將教你學會像數學傢一樣思考，順利完成從中學數學到大學數學的過渡，或者讓你掌握在各行各業獲得成功所需要的關鍵性思維能力。
　　閱讀本書隻需高中程度的數學。同時，本書也是Coursera熱門課程《數學思維導論》的配套教科書，結閤綫上課程，必能獲得更好的學習效果。

作者簡介

　　基思·德夫林（Keith Devlin），1947年齣生於英國赫爾市，1972年在布裏斯托爾大學獲得數學博士學位，1987年移居美國，擁有英國和美國雙重國籍。
　　他現為斯坦福大學人類–科學與技術高等研究院（H-STAR）聯閤創始人和執行主任、斯坦福大學Media X研究網絡聯閤創始人和執行委員會委員、斯坦福大學語言與信息研究中心（CSLI）高級研究員。目前的研究主要關注於，運用不同的媒介嚮各種受眾傳授和傳播數學。為此，他還創辦瞭一傢製作數學學習視頻遊戲的公司BrainQuake。
　　他著有八十多篇研究論文、七部研究性專著、八本教科書，以及十多本普及性讀物，後者包括《數學：新的黃金時代》《笛卡兒，拜拜！》《數字緝凶》《數學猶聊天》《數學的語言》《韆年難題》《數學天賦》《數字人：斐波那契的兔子》等。
　　他還長期為美國數學學會撰寫專欄“德夫林的視角”（Devlin's Angle），並在Coursera上開闢瞭熱門課程《數學思維導論》。

目錄

導論　本書是講什麼的？　　1
第1章　什麼是數學？　　9
1.1　不止是算術　　10
1.2　數學符號　　13
1.3　現代大學數學　　15
1.4　你為什麼需要學這些？　　19
第2章　語言的精確化　　23
2.1　數學陳述　　24
2.2　邏輯聯結詞“ 與”、“ 或”、“ 非”　　31
2.3　蘊涵　　40
2.4　量詞　　58
第3章　證明　　79
3.1　什麼是證明？　　80
3.2　反證法　　82
3.3　證明條件式　　86
3.4　證明含量詞的陳述　　90
3.5　歸納證明　　93
第4章　證明一些關於數的結論　　103
4.1 整數　　103
4.2 實數　　114
4.3 完備性　　118
4.4 序列　　123
附錄　集閤論　　129
譯後記　　137
索引　　139

前言/序言

　　在寫本書的時候，我考慮的是這樣兩類讀者：(1) 希望（或者可能）學習數學或數學相關專業的大學新生；(2) 齣於某些原因，希望或者需要發展和提高分析思維技能的人。不管怎樣，他們關注的都是學習用某種（非常強大的）方式思考。
　　從本書中，你不會學到任何數學套路，更不需要應用任何數學套路！盡管最後一章的重點是數（初等數論和實分析基礎），但我隻放入瞭極少量關於這部分內容的“傳統”數學材料。這一章僅僅展示瞭一些精彩的範例。長期以來，這些範例幫助數學傢們發展分析思維技能，而這種技能也正是我將在本書中通篇描述的東西。
　　19 世紀期間，不斷提高的社會民主化和“扁平化”，使每一位公民擁有更多的自由和機會，在商業或社會中扮演重要及自主的角色。與此同時，大眾對分析思維技能的需求也隨之增長。今天，當代民主社會給人們提供瞭自我發展和提升的機會，而對任何希望能夠充分利用這些機會的人來說，優秀的分析思維技能顯得比以往任何時候都更加重要。
　　數十年來，我都在教授那些在大學①（純）數學上獲得成功所需要的思維模式，並寫作關於這方麵的書。然而，直到最近十五年，在為産業界與政府提供瞭一部分谘詢工作後，我纔瞭解到，商業和政府領導人最欣賞的雇員恰恰正是具備“數學思維技能”的人，而該能力也正是我的課程與書所著重培養的能力。很少會有CEO 或政府實驗室主任說，他們需要有特定技能的人；相反，他們需要的是，在必要時能夠學習新的特定技能、擁有優秀分析思維技能的人。
　　① 貫穿全書始終，我將用“大學”指代“大學或學院”。
　　根據這些來自學界和商界的互不相同卻明顯相互聯係的經驗，我決定嘗試用一種能夠被更廣泛的受眾接受的方式構思寫作。話雖如此，這篇導論的其餘部分還是主要針對那些需要學習一些（純）數學課程的大學新生。而正如我剛纔所討論的那樣，對於一般讀者，我將要講述的內容的價值在於，掌握現代純數學所需要的數學思維技能，正是在各行各業中獲得成功必備的關鍵性思維能力。
　　親愛的學生，
　　正如你們即將發現的，從中學數學到大學水平（純）抽象數學的過渡是很睏難的。這並不是因為數學變難瞭。那些成功完成瞭過渡的學生可能會說，從許多方麵來講，大學數學其實是變得更容易瞭。就像我之前所提到的那樣，許多人之所以會遇到這個問題，不過是因為重點變瞭。在中學，重點主要是掌握解決不同類型問題的套路，這使得學習過程變得像是閱讀並且掌握一本數學烹飪書中的食譜。而在大學，重點成瞭學習用一種不同的、特殊的方式思考|| 像數學傢一樣思考。
　　（事實上，並非所有大學數學課程都是如此。那些為科學和工程專業的學生設計的數學課程常常與構成中學數學最難部分的微積分課程並無二緻。真正不同的是數學專業的那些數學課程。不過由於從事科學及工程領域中一些較高級的工作通常需要學習一些數學專業的課程，科學及工程專業的學生可能也會遇到這種“ 不同類型”的數學。）
　　用數學的方式思考並不是一種不同的數學，它是一種數學視角，這種視角更開闊，更與時俱進，但卻不會因為它的廣度而流於淺薄。中學數學必修課通常強調數學套路而在很大程度上忽略瞭數學的其他部分。對於你們而言，大學數學起初確實像是一門完全不同的學科。當初我開始學習本科數學的時候，情況也是如此。如果你在大學裏學習數學專業（或者像數學一樣難的學科，如物理），那麼你在中學時數學一定很好。這意味著，你一定十分擅長掌握及遵循既有套路（並且從某種程度上說，是在一定時限內完成）。中學教育體係嘉奬你，也正是因為這一點。然後你升入瞭大學，所有的規則都變瞭。事實上，根本沒有規則可依，或者即便有，你一開始也是感覺仿佛教授們把它們偷偷藏瞭起來，秘而不宣。
　　為什麼當你進入大學後，重點發生瞭改變？答案很簡單。教育是為瞭學習新技能及提高辦事能力的。你能從中學畢業，便錶示你已能學習新的數學套路，再教更多同樣的東西給你也沒什麼用瞭。無論何時，隻要你需要，你都能學習新的技能。
　　例如，當一名鋼琴學生掌握瞭一首柴可夫斯基鋼琴協奏麯後，隻需要一點點練習，而不需要再學什麼新東西，他就能夠演奏另一首。從那時起，該學生便該考慮如何發揮他的全部纔能以演奏其他作麯傢的作品，或者更充分地理解音樂以創作自己的作品。
　　類似地，對數學而言，你在大學時的目標是培養能夠讓你解決新鮮問題的思維技能。這些問題可能是現實生活中的實際問題，也可能是來自數學或科學的問題，而你並沒有解決這些問題的標準做法。而在某些情形下，這樣一種標準做法可能並不存在。（當初兩位斯坦福大學研究生拉裏?佩奇和謝爾蓋?布林在研發一種新的搜索信息的數學算法時，情況便是如此。後來利用這種算法，他們創立瞭Google。）
　　讓我們換個說法來更清楚地說明，為什麼數學思維在現代世界中會如此珍貴。在大學前，你在數學上獲得成功是通過學習“在盒子內思考”；而在大學時，你在數學上獲得成功是通過學習“跳齣盒子思考”，這種能力是今天每個大雇主都聲稱十分看重的。
　　與其他所有“過渡課程”和“過渡課程教科書”一樣，本書的首要重點是幫助你學習如何動手處理一個新問題，而對這個問題，你沒有任何熟悉的模闆可套用。這可歸結為學習如何思考（一個給定的問題）。
　　要想成功完成這次從中學到大學的過渡，有兩個關鍵步驟你必須做到。第一個關鍵步驟是，學著不再尋找可使用的公式或者可遵循的套路。找一個模闆（例如教科書中的或者Youtube 視頻中演示的一個範例），然後僅僅替換其中的數字，這樣的辦法往往解決不瞭新問題。（你仍然可以用這種方式來處理大學數學的許多方麵和現實生活中的應用，它們仍然有效。因此，你在中學的所有努力都不會被浪費。然而對於許多需要用新的“數學思維”思考的大學數學課程來說，這就不夠瞭。）
　　如果你不能通過尋找可效仿的模闆、可套用的公式或者可應用的算法來解決問題，你會怎麼做？答案是，思考這個問題，這就是第二個關鍵步驟。不是思考這個問題的形式（這是中學時所教的，在那時也很管用），而是思考它實際上說的是什麼。盡管這聽起來應該很容易，但我們中的大多數人一開始都會覺得這非常難和令人沮喪。考慮到你也可能經曆過這些，你需要瞭解，這樣的轉變有其理由。它與數學在現實生活中的應用有關。我將在第1 章中闡述這一點，但現在，我隻給你打個比方。
　　如果我們將數學比成汽車世界，那麼中學數學就是學習駕駛汽車，而大學數學所對應的則是學習汽車如何運作以及如何保養和維修它，並且如果你對這門學科鑽研得足夠深入，你還要學習如何設計及建造你自己的汽車。我將以一些要點結束這篇簡短的導論。當你們學習本書時，要將這些要點牢記於心。
　　學習本書僅要求學完（或即將學完）中學數學常規必修課。有一兩處（特彆是最後一章）需要一些初等集閤論的知識（主要是集閤的包含、並、交等概念及性質）。我將必要的材料放在附錄中，以供不熟悉這個領域的人學習。
　　記住：你覺得會很難的一個原因可能是，一切看上去漫無目的。其實這一切的目標都是為你學習樹立數學思維（這種數學是你以前沒有遇到過的）奠定基礎。所以不可避免地，這個過程需要你主動嘗試運用這種新的思維。
　　把你的重點放在理解新概念與想法上。
　　不要急於求成。要知道，這本書非常薄，需要學習的事實非常少，而需要理解的東西卻很多！
　　嘗試完成練習，越多越好。把它們放進書中是為瞭幫助你理解。
　　遇到睏難時，與你的同學和授課老師討論。我們之中能夠獨立完成這次關鍵性轉變的人寥寥無幾。
　　我應該強調，這並不是一本為自學而設計的教科書。它是一本課程參考書，當你想從授課老師之外的來源獲得一些補充信息時，它可以供你參考。
　　書中有許多練習，我強烈主張你們去做這些練習。它們是本書不可分割的一部分。不過與教科書不同的是，我並沒有提供這些練習的答案。這並不是我的疏忽，而是我深思熟慮後的選擇。學習用數學的方式思考並不僅僅是為瞭獲得答案。（盡管一旦你學會瞭用數學的方式思考，你會比單純地遵照程序化的方法去做時更容易得到正確答案。）如果你想知道你的結果是否正確（我們都想知道），你應該嚮一些內行的人求助。判斷一份數學推理是否正確是一種需要藉助專業知識的價值判斷。常常有學生得到錶麵上看起來正確的答案，而在仔細推敲後，卻發現該答案是錯的。當然，一些練習的答案我能放心地給齣，但我還是要重申至關重要的這一點：完成從中學數學到大學數學的過渡，這一切都是圍繞過程展開的，它關注的是嘗試和思考，而不是“ 獲得答案”。
　　如果可以的話，與其他人共同學習。中學時，單獨學習很普遍，因為中學時的重點在做。然而，掌握過渡課程內容需要思考，並且與其他人一起討論學習比單獨學習要好得多。讓你的同學分析和點評你在證明中所做齣的嘗試，能夠大大幫助你自己的學習與理解。
　　不要試圖囫圇吞棗地學習任何一節，即便它乍一看顯得很容易。①本書中的內容是其他地方都用得到的。書中收入的每一樣東西，通常都會給初學者帶來問題。（在這一點上，你要相信我。）
　　不要放棄。全世界的學生在去年、前年都做到瞭。許多年前，我也一樣。所以你們也能！
　　哦，對瞭，還有一件事：不要急於求成。
　　記住，你的目標是理解和培養一種新的思維方式，一種你在各行各業都會覺得有用的思維方式。
　　中學數學是關於做，大學數學則主要是關於思考。
　　最後三個字的建議：慢慢來。祝你好運。
　　基思?德夫林
　　斯坦福大學

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