编辑推荐

● 丛书主编 张景中院士

一、用科普的笔法来写，语言读来风趣幽默；

二、联系生活，用大量生活案例来类比不等式的种种性质；

三、数形结合，注重几何直观；

四、注重解题思路与方法的渗透，强调启发性；

五、重视基础性和通性通法，淡化特殊技巧。

内容简介

　　《不等式探秘》分为两部分，一部分共14章，介绍了十余个中学生较为熟悉的不等式，每个不等式基本上都按“课堂掠影”、“精彩故事”、“不等式介绍”、“趣味案例”、“案例分析”、“不等式证明”、“不等式应用”、“思维点拨”八个模块进行编写。 《不等式探秘》二部分收录了7篇文章，有不等式证明的理论阐述，如对称性问题、齐次性问题、不等式的加强，力求讲清不等式证明中的一些基本问题和基本处理方法；也有不等式证明的案例分析，如三个简单不等式问题的多证与推广、Nesbitt不等式面面观、证明一组优美不等式的心路历程，实际上是现身说法地去揭秘一些不等式的证明过程，尽力做到理论与实践的有机结合；还有一些不等式的证明方法，属笔者学习不等式的心得体会，也与读者一并分享。

作者简介

　　彭翕成，工作于华中师范大学。多次参与国家重大课题的研究并获奖；参与编写湘教版数学教材、《十万个为什么》等。

　　曾在《数学通讯》、《中学数学》、《中学生数理化》、《新高考》、《科技导报》等刊物开设专栏，其中被《中学数学》评价为“数学教育领域年轻一辈的代表性人物”。著作十余部，主要有《数学哲学》、《绕来绕去的向量法》、《仁者无敌面积法》、《动态几何教程》、《数学教育技术》、《课本上学不到的数学》、《师从张景中》、《向量、复数与质点》等。

　　热衷于数学科普写作，由浅入深，娓娓道来，又能平中见奇，展现给人新的视角，其博文在网络上影响甚大，读者众多。

　　杨春波、程汉波，华中师范大学2009级本科毕业生，现分别工作于郑州外国语学校和广州市第二中学。主要研究方向有数学解题，数学教育等，近年来在《中等数学》、《数学通讯》、《数学教学》、《中学数学教学参考》等CN刊物上独立或合作发表论文30余篇，并拥有自己的数学博客“美丽背后的火热思考”

内页插图

目录

第〇章 不等式王国国规
第一章 糖水的秘密——糖水不等式
第二章 木桶盛水有学问——木桶不等式
第三章 绝对值函数与绝对值不等式
第四章 耐克函数与耐克不等式
第五章 万丈高楼平地起——基本不等式
第六章 各种平均数，究竟淮最大——均值不等式
第七章 柯西讲的不等式的故事——柯西不等式
第八章 打水排序你可知——排序不等式
第九章 凸凹不平怎反映——Jensen不等式
第十章 令人费解的Holder不等式
第十一章 叱咤风云数十年——Schur不等式
第十二章 一个会生蛋的不等式——嵌入不等式
第十三章 小小三角形，蕴藏大乾坤
附录一 不等式的对称性及齐次性问题
附录二 不等式的加强
附录三 三个简单不等式问题的多证与推广
附录四 Nesbitt不等式面面观
附录五 美丽背后的火热的思考
附录六 简单三角不等式引致的优美代数不等式
附录七 三角代换，巧证代数不等式
参考文献

精彩书摘

第一章 糖水的秘密——糖水不等式 【课堂掠影】叮铃铃——一阵上课铃声响过，只见数学彭老师健步走进教室，不紧不慢地在黑板上写下这样的两个分数：和。彭老师笑着对大家说：不用计算器，谁能比比这两个数谁大谁小？彭老师那略带挑战性的口吻一下子激起了同学们的兴趣，大家都拿起了笔，开始在纸上写写算算。但观其表象，就知不易。用作差法稍稍一试就等价于判断下面这个式子的符号：，这可都是十亿之多的数字相乘，该怎么比较它们的大小呢？用计算器也不一定算得出啊！同学们锐气大减，一个个眉头紧锁，不知如何是好。彭老师见状，说：大家看到一个问题时，先不要着急动手，而要看看、瞧瞧，仔细把题目打量一番，这叫观察，是解题的第一步；那我们看看这两个分数在形式上有什么特征或者是有什么联系呢？经彭老师这么一启发，大家就炸开了锅，开始畅所欲言了。“第一个分数的分子和分母的各位数字是连续的，第二个分数的分子和分母开始时也是连续的。”“这两个数都是真分数！”“第一个分数的分子比第二个分数的分子大，分母也比第二个分数的大！”“不仅比第二个分数的大，第一个分数的分子、分母还分别等于第二个分数的分子、分母都加1。”……对于学生们的回答，彭老师都点头表示赞许。“好，我们来总结一下。”彭老师一开口，教室里立刻安静了下来。大家都目不转睛地盯着彭老师，要瞧瞧彭老师怎么揭开这道题的神秘面纱。“如果我们记，，并且约定，，那么和的大小关系是——”“！”“和可以用，表示吗？”“可以！，。”同学们几乎是异口同声。“那么和谁大谁小？”同学们恍然大悟，又开始奋笔疾书了。不一会儿，就听到好多同学那兴奋的呼喊——大！大！“谁来说说这是为什么呢？”“我来，我来”，一位男生抢着站了起来，“老师，作差就可以了，通分整理得到的最后结果是，因为，所以这个式子是正的，则”。“很好！请坐。趁热打铁，利用刚才的思路，大家能快速比较出与的大小吗？”这两个分数真像是一对孪生兄弟，分子分母全是1，并且在的分子、分母上分别“加”1就是了！但该怎么用数学语言来表达呢？学生的思维是广阔的，过了一会儿，这道小题也被同学们识破了：。“太妙了！通过这两个例子，大家有什么收获？”“遇题先观察，不要盲目地去计算。”“那遇事呢？”【精彩故事】男孩喜欢上了女孩。他向她表白，女孩的爸妈不同意。原因很简单：女孩比男孩整整大一岁。一天，男孩、女孩约好时间和地点，两人偷偷见面了。女孩点了一杯咖啡，尝了尝说：“这咖啡太苦了。人们都说爱情是甜美的，我怎么品尝不出爱的滋味。”男孩说：“别着急，加点糖试试吧！”女孩问：“为什么加糖会变甜呢？”男孩沉默不语。男孩喊来服务员，又点了一杯咖啡，并叮嘱多放点糖。咖啡端来了，男孩往女孩的杯子里倒了一些，摇了摇，让女孩再尝尝。“还苦吗？”男孩问。“现在好多了！”女孩说着露出了一丝微笑。男孩望着女孩，深情地说：“我1个月大时，你13个月，你是我的13倍；我2个月大时，你14个月，你是我的7倍；我1岁大时，你2岁，你是我的两倍。只要你愿意和我永远在一起，我们总在慢慢接近……”女孩感动得热泪盈眶，两人的手紧紧地握在了一起。多么可爱的男孩，不仅懂爱情，还懂数学。男孩和女孩的故事读来让人不禁潸然泪下。下面还是对男孩的“表白”做一简要分析：设男孩的年龄为（这里我们以月为单位），女孩的年龄为，则。当时，，；一个月后，与都增加了1，，，则；又过了十个月，与又增加了10，，，则。于是，即随着岁月的推移，会越来越小，也即男孩与女孩的年龄在不断地接近。仔细品味男孩的最后一句话，发现这其中还蕴含着极限的思想：不论开始的时候比大多少，只要你愿意和我在一起，那么经过足够长的时间，我们的年龄差，相比于我们一起走过的风风雨雨，又算得了什么呢？终会变得微乎其微，可以忽略不计，用数学的语言说来就是。那为什会有，这其中的数学原理又是什么呢？今天给大家介绍的主角——“糖水不等式”终于要登场了。【不等式介绍】克糖水中有克糖（），则糖的质量与糖水质量的比为。若再添加克糖（），则糖的质量与糖水质量的比为。生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解之后，糖水会变甜，则。于是提炼出一个不等式：若，，则，（1）这便是“糖水不等式”的由来。假设有一种机器可以抽取出糖水中的糖，生活常识告诉我们：若把糖水中的糖抽掉克，则糖水会变淡。于是提炼出一个不等式：若，则，（2）其实完全不必假设，只需逆向思维一下就可得到。这便是思维的厉害之处：事情不必真实发生，在脑子里想一下就发生了。综合（1）、（2）得到不等式链：若，则。（3）我们假想有杯（这里不必为整数）相同的糖水，混合后糖的质量与糖水质量的比为，重复上面的思维过程便得到更一般的不等式链：若，，，则，（4）当时，便回到了（3）式。上面考虑的都是相同的糖水，假设现在有两杯浓度不同的糖水，一杯较浓、一杯较淡，现将这两杯糖水混合，所得糖水的浓度一定比浓的淡、比淡的浓，由此可以提炼出如下的不等式链：若，，且，则。（5）假设两种浓度的糖水分别有、杯，混合后又可提炼出不等式链：若，，，且，则，（6）当时，便回到了（5）式。思维的翅膀还在不断地飞翔……白水里加糖，变甜了；糖水里加数学，变得有味儿了！正可谓：一杯白开水，加糖更甜美；此中有数学，请君细品味。谁料小小的一杯糖水，竟蕴藏了如此多的数学知识！【趣味案例】一个简单的不等式，经过生活中实际背景的洗礼，就会变得趣味曼妙起来。案例1：在升煤油中加入升水，液体的密度明显变大了。案例2：克某溶液中溶有克某物质，若再加入克该物质后完全溶解，则溶质的质量分数显然增加了。案例3：正值开学之际，某中学原计划招收高一新生人，使全校学生总数达到人，这样高一新生所占的比例为。现为了扩大办校规模，决定高一扩招人，则高一新生所占比例变为，问扩招后高一新生所占比例是变大还是变小了？案例4：一只口袋里装有3个红球和7个白球。从口袋里任意摸出一个球，恰是红球的概率是多少？再向口袋里放入2个红球，则从口袋里任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？若再放入3个红球呢？随着红球的不断放入，这个概率怎么变化？案例5：在中国，8和汉字“发”谐音，取发财、发达之意，被称为吉祥数，因此含有数字8的车牌号、手机号和QQ号显得很珍贵，甚至还需花高价去买。中国举办奥运会，时间就是2008年8月8日8点8分。好像希望8越多越好。我们发现下面一串数字是越来越接近8的：，，，……。 【案例分析】案例1：设煤油的密度为（），则由（1）式知。案例2：溶质的质量分数原来为，后来为，由（1）式知增加了。案例3：由（1）式知，即扩招后高一新生所占的比例变大了。案例4：由古典概型定义知，从口袋里任意摸出一个球，恰是红球的概率；再放入2个红球，概率变为；若再放入3个红球，概率为。由（1）式知，这由生活常识也是显见的，而且随着红球的不断放入，这个概率会越来越大，最终趋向于1。案例5：由（6）式知，，，……，故数字串，，，……是逐渐减小的，又容易验证（），故总有，于是数字串越来越接近于8。【不等式证明】（1）至（6）式的证明方法有很多，如作差法、作商法、分析法、综合法、反证法、增量法、 构造函数法、定比分点公式法等等，这里不再赘述，仅提供一些无字证明。更多的证法参考《你能成为最好的数学教师》（任勇，华东师范大学出版社，2010）。的无字证明： 的无字证明： 【不等式应用】 例1：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比例越大，住宅的采光条件越好。请问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变差了？解：设住宅原来的窗户面积和地板面积分别为，同时增加的面积为，则问题转化为在约束条件及下，比较与的大小，由（1）式知，知采光条件变好了。例2：请写出与之间的所有分母不大于10的分数。解：这有何难！按分母大小一一写来就是；；；；；；；（注意去除重复的分数）。但用糖水不等式写来亦别有一番趣味：，，，仿此继续下去，便得所有：。例3：用糖水不等式证明基本不等式：如果，则，当且仅当时等号成立。 证明：不妨设，取，于是有，所以，化简即。其中等号成立的条件是当且仅当或，即。例4：已知，求证：。链接：该问题源自1998年全国高考压轴题的第（Ⅱ）问，原题以数列为背景知识，最终转化为要证明上述不等式，而当时是用数学归纳法证的，其实用“糖水不等式”来证更容易。证明：记，则有及，以上三式相乘，注意约分的规律就得，即，得证。例5：证明不等式：，其中所有的字母都是正数。 链接：此题是波兰数学家斯坦因豪斯的著作《一百个数学问题》中的第12个，原解答先证明了一个预备定理，较为繁琐。下面运用“糖水不等式”给出简证。证明：易知，，两式相加即可得证。例6：现有一张表格，请你在前面两个格子里随便填上两个1到10之间的整数，别让我看到你填的数字！请你把两个数的和填入第三格，再把第二格和第三格数字的和填入第四格，再把第三格和第四格数字的和填入第五格，依此类推，在每个方格里填入前两个方格里的数字之和，举个例子吧：

371017274471115186301487

好了，请你告诉我第10格是什么数，我就一定能猜对第11格里的数，虽然我不知道第1格和第2格是什么数，也不知道第9格是什么数。你知道我是怎么猜到的吗？你能解释其中的奥秘吗？解：假设你最初在纸上写下的两个数分别为和，则这11个方格里的数分别为，，，，，，，，，，。那么第10格里的数和第11格里的数有什么关系呢？由（6）式知，即约为，则。如果和都不太大，用的值除以，四舍五入就可得到第11格里的数字啦！而且这个方法是相当靠谱的！【思维点拨】1.糖水不等式——也可理解为真分数的性质：对于真分数，分子、分母同时加上一个正数，那么该分数会变大，而且所加的数越大，分数就越大，最终趋向于1。2.对糖水不等式取倒数就得到，这可理解为假分数的性质：对于假分数，分子、分母同时加上一个正数，那么该分数会变小，而且所加的数越大，分数就越小，最终趋向于1。3.利用糖水实验不仅可以得到糖水不等式，还能发现更多有趣的结论，如合分比定理：有两个杯子，大杯子里的水是小杯子的2倍。我们往杯子里加糖，大杯子里加2块糖，小杯子里加一块糖。可以想象，这两杯糖水是一样甜的。如果这时候，把这两杯糖水都倒入一个更大的容器中，混合之后的糖水也应该和原来的糖水一样甜。原因就是，这说明合分比定理也是来源于生活的。4.现有4杯糖水，第一杯糖水中糖的质量与糖水质量的比为，第二杯的为，第三杯的为，第四杯的为，而且，即第一杯糖水比第二杯浓，第三杯糖水比第四杯浓。现将第1、3杯糖水混合到甲杯中，第2、4杯糖水混合到乙杯中，那么请判断甲杯中糖水浓还是乙杯中糖水浓？这样的问题在现实生活中也能碰到：一班有女生22人，喜欢写作的有10人；男生21人，喜欢写作的有9人。二班有女生15人，喜欢写作的有10人；男生28人，喜欢写作的有18人。对于一班而言，女生更喜欢写作，因为。对于二班而言，同样是女生更喜欢写作，因为。于是我们可以得出，女生更喜欢写作，看起来这个结论是很靠谱的！甲：是的，女生本来就喜欢写作！乙：且慢，如果把这两个班合在一起考虑，却是，男生更喜欢写作！☆这说明：如果，则有；但若是，，却未必有。

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