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編輯推薦

《連續介質力學引論》可作為力學專業和其他工程專業的研究生、高年級本科生連續介質力學課程的教材，也可作為從事計算力學和工程中力學問題數值模擬工作的科技人員的參考書。

內容簡介

《連續介質力學引論》是作者在多年來為大連理工大學力學和各工程專業研究生講授“連續介質力學”課程的講稿的基礎上修訂完成。主要內容包括：張量分析簡介、變形和運動的幾何描述、連續介質運動的守恒律、宏觀連續體的本構理論等。考慮到作為連續介質力學主要任務之一的初、邊值問題的數值求解，《連續介質力學引論》特彆關注與基於連續介質力學理論的有限元等數值方法的銜接，《連續介質力學引論》還著重介紹基於內變量理論以及熱力學第二定律構建有限變形下彈塑性材料本構方程的一般理論和方法。

目錄

第1章 嚮量和張量基礎 1
1.1 嚮量的基本概念和錶示 1
1.2 嚮量的基本代數運算 2
1.2.1 點積(內積) 2
1.2.2 叉積(外積) 3
1.2.3 混閤積 4
1.2.4 張量積(並矢) 4
1.3 二維空間中非正交直綫坐標係下的嚮量錶示 5
1.4 三維空間中非正交直綫坐標係下的嚮量錶示 7
1.4.1 協變基嚮量 7
1.4.2 逆變基嚮量 8
1.4.3 度量張量 9
1.5 坐標變換 10
1.5.1 非正交基嚮量的基變換 10
1.5.2 標準正交基嚮量的基變換 12
1.5.3 基嚮量變換下嚮量分量錶示之間的關係 13
1.6 張量的基本概念和錶示 13
1.6.1 張量的基本概念 14
1.6.2 參考三維空間中協變與逆變基嚮量的張量錶示 14
1.6.3 對稱張量和反對稱張量 14
1.7 標準正交坐標係下張量的坐標變換與剛體鏇轉 15
1.7.1 嚮量的坐標變換 15
1.7.2 嚮量的剛體鏇轉 16
1.7.3 張量的坐標變換 17
1.7.4 張量的剛體鏇轉 18
1.8 張量的客觀性 19
1.9 張量的代數運算 20
1.9.1 張量的跡 20
1.9.2 張量點積 20
1.9.3 張量的雙點積 21
1.9.4 張量的並乘 22
1.10 張量的特徵值與特徵嚮量 22
1.10.1 張量的特徵值與特徵嚮量計算 22
1.10.2 對稱張量參考特徵正交基的譜分解 23
1.11 張量函數及其微分與導數 24
1.11.1 嚮量的標量函數的微分與導數 24
1.11.2 嚮量的嚮量函數的微分與導數 25
1.11.3 嚮量的張量函數的微分與導數 26
1.11.4 張量的標量函數的微分與導數 26
1.11.5 張量的張量函數的微分與導數 27
1.12 嚮量的標量？嚮量和張量函數的梯度 27
1.13 張量函數的散度 28
習題 29
第2章 變形與運動？應力與應變度量 31
2.1 初始構形？當前構形和參考構形 31
2.2 變形與運動的空間與物質描述 32
2.3 位移？速度和加速度 33
2.4 應變度量 35
2.4.1 變形梯度 36
2.4.2 Green應變張量 37
2.4.3 Almansi應變張量 37
2.4.4 變形梯度的極分解 39
2.4.5 應變張量的左？右伸縮張量錶示 40
2.4.6 應變度量張量的譜分解 41
2.4.7 兩點張量 42
2.4.8 應變度量張量的綜閤與比較 43
2.5 應力度量 45
2.5.1 體素和麵素的變換 45
2.5.2 Cauchy應力張量 47
2.5.3 2ndPiolaGKirchhoff(Norminal)應力張量 48
2.5.4 1stPiolaGKirchhoff(Norminal)應力張量 48
2.5.5 Kirchhoff(Nominal)應力張量 49
2.6 應變速率張量 49
2.7 功共軛應力應變度量 51
2.8 應力應變張量的客觀性 54
2.9 應力速率張量及客觀性 56
2.9.1 Cauchy應力張量的Jaumann速率 57
2.9.2 Kirchhoff應力張量的Truesdell速率 60
2.9.3 Cauchy應力張量的Truesdell速率 61
2.9.4 Kirchhoff應力張量的Jaumann速率 62
2.9.5 Cauchy應力張量Jaumann速率的本構模量張量Dt JC 62
2.10 不同應力應變速率之間的本構模量張量及它們之間的關係 63
2.11 應用:基於不同客觀應力應變速率的有限元剛度矩陣 64
2.11.1 應用Green應變率和2ndPGK應力速率的有限元剛度矩陣 65
2.11.2 應用變形張量率和Cauchy應力Jaumann速率的有限元剛度矩陣 67
習題 70
第3章 質量和動量守恒方程及連續介質熱動力學 72
3.1 積分的物質時間導數和雷諾輸運定理 72
3.2 質量守恒方程 74
3.3 動量守恒方程 75
3.4 角動量守恒方程 77
3.5 熱動力學第一定律:能量守恒方程 79
3.6 熱動力學第二定律？熵？ClausiusGDuhem不等式 82
3.7 Helmholtz自由能函數 83
3.8 內變量理論 85
習題 85
第4章 彈塑性本構方程的一般途徑 87
4.1 本構原理 87
4.2 非綫性彈性的本構模型 88
4.2.1 超彈性材料模型 88
4.2.2 亞彈性材料模型 89
4.3 變形度量的彈？塑性部分的和式分解與乘式分解 89
4.3.1 和式分解 89
4.3.2 乘式分解 90
4.4 亞彈性G塑性材料模型 91
4.4.1 塑性力學基礎 91
4.4.2 亞彈性塑性本構模型及其彈塑性切綫模量張量 92
4.5 超彈性G塑性材料模型 96
4.5.1 材料彈性變形的超彈性本構描述 96
4.5.2 變形梯度彈塑性乘式分解下的應變速率及和式分解的近似性 97
4.5.3 超彈性塑性本構模型———小應變理論下的最大塑性逸散原理和本構關係 100
4.6 前推？後拉和Lie導數 103
4.6.1 兩個構形間運動學量的前推和後拉 103
4.6.2 兩個構形間應力度量張量的前推和後拉 104
4.6.3 應力與應變度量張量的Lie導數 105
4.7 有限應變下的最大塑性逸散原理與本構關係演化方程 106
4.8 有限應變下本構關係演化方程的指數返迴映射算法 109
4.9 有限應變下指數返迴映射算法的切綫模量張量 116
習題 118
參考文獻 119
索引 120

精彩書摘

第1章嚮量和張量基礎
力學大師馮元楨說：“美麗的故事需要用美麗的語言來講述，張量就是力學的語言。”本章隻闡述嚮量和張量的基礎知識，目的是為後麵力學內容的講述提供工具和便利，並不奢求涵蓋整個張量分析的內容。
1.1嚮量的基本概念和錶示
在三維歐幾裏得（Euclidean）空間中，同時具有大小和方嚮的量稱為嚮量（或矢量），例如力、力矩、速度、加速度等，常用黑體字符錶示，例如F，M，v，a等。隻有大小的量稱為標量，例如溫度、時間、質量、能量等。在三維空間（為簡明起見，略去歐幾裏得，下同）的笛卡兒坐標係中選取與全局正交坐標係坐標軸重閤的正交標準基e0x，e0y，e0z，即e0i？e0j=δij(式中i，j分彆錶示x，y，z;δij稱為Kronecker delta符號)， 任一嚮量可錶示為這組全局正交標準基的綫性組閤，例如，對於速度嚮量v有
嚮量式(1.1.1)的分量錶示為
式(1.1.1)和式(1.1.2)可推廣到n維空間。定義一組與n維空間中全局正交坐標係的坐標軸重閤的正交標準基e01，e02， ，e0n，則任一n維嚮量v及其分量可分彆錶示為
根據愛因斯坦（Einstein）求和約定，式(1.1.3)可簡化為
式中i稱為啞標（dummy indices），錶示此式要對i由1至n的整數求和。應注意的是，啞標總是成對齣現，且可用相同取值範圍的另一對字母任意代換，即
說明1.1.1：在矩陣和數值分析(如有限元分析)中采用嚮量矩陣錶示時，嚮量通常錶示列嚮量，即n×1嚮量。式(1.1.4)錶明，在矩陣分析中通常的n維嚮量錶示意味著基嚮量不僅是正交標準基，而且與全局正交坐標係的坐標軸重閤。
說明1.1.2：嚮量v的轉置錶示為 vT=［v1v2 vn］，為一1×n的行嚮量。
說明1.1.3：在有限元分析中，嚮量v中的分量可以同時包含具有不同物理意義和量綱的量，例如v1，v2，v3錶示三維幾何空間中沿笛卡兒坐標係x，y，z軸的速度，v4，v5，v6 分彆錶示溫度，壓力，質量等。
說明1.1.4：在離散空間中，嚮量v可以重復地列齣定義在所有m個離散點上的速度、溫度、壓力、質量等物理量。
1.2嚮量的基本代數運算
1.2.1點積（內積）
對於三維空間中的兩個嚮量u和v，它們的點積(dot product， inner product)定義為
式中u，v分彆錶示嚮量u，v的模，而u，v錶示嚮量u和v之間的夾角。式(1.2.1)錶明，兩個嚮量的點積為標量。參考三維空間中任一組笛卡兒坐標係（可以不與全局正交坐標係坐標軸重閤）定義一組正交標準基ex，ey，ez，並采用式(1.1.1)的形式分彆錶示嚮量u和v，則它們的點積可錶示為u？v=∑3i=1∑3j=1uivjei？ej(1.2.2)注意到三維笛卡兒坐標係中正交標準基中各基嚮量之間的正交性，即
將式(1.2.3)代入式(1.2.2)，並應用愛因斯坦求和約定可得到
將式（1.2.4）推廣至n維空間，參考一組正交標準基(e1，e2， ，en)錶示的任意兩個嚮量u和v的點積可寫為
在廣泛應用於有限元分析的嚮量矩陣的錶示形式中，兩個嚮量的點積通常寫為
以上闡述說明，點積是這樣一個算子（operator），它作用在兩個嚮量上得到一個標量。
1.2.2叉積 （外積）
對於三維空間中的兩個嚮量u和v，它們的叉積(vector product， outer product)定義為一個嚮量w=u×v，其方嚮按右手螺鏇法則定義為垂直於u和v所構成的平麵（如圖1.1所示），其絕對值（嚮量w的模）定義為以u和v為鄰邊所構成的平行四邊形的麵積，即
設e1，e2，e3是三維空間中任選的一組正交標準基，對其應用上述嚮量叉積定義，可得到
圖1.1嚮量叉積定義
為簡化上述錶示，可定義作為標量的排列(permutation)符號
式(1.2.11)可具體寫為
應用排列符號εijk，式(1.2.8)~式(1.2.10)可簡潔地錶示為
或寫成
可以看到，叉積是這樣一個算子，它作用在兩個嚮量上得到一個嚮量。應注意的是，兩個嚮量的叉積僅定義在三維空間中，且u，v，w三個嚮量構成一個右手係。在一些文獻中，兩個嚮量u，v的叉積有時也被錶示為u∧v。
1.2.3混閤積
對於三維空間中不共麵的任意三個嚮量u，v和w，它們的混閤積 ( (scalar) triple product)定義為
可以看到，混閤積［u v w］為一標量，其物理意義為：當u，v，w構成右手係時，其值為正，反之為負;而它們的絕對值均錶示以u，v，w為三個棱邊所構成的平行六麵體的體積。說明1.2.1：可以證明，由三個嚮量u，v，w的兩兩點積所構造的行列式等於以它們為棱邊所構成的平行六麵體體積的的平方，即
說明1.2.2：對於兩個任意混閤積［u v w]和［u′v′w′]，同樣可證明
1.2.4張量積（並矢）
在嚮量的點積計算中，若令一嚮量為u，另一嚮量為單位嚮量n (n=1)，則(u？n)n錶示嚮量u在方嚮嚮量n上的投影。因(u？n)為一標量，有
注意到式(1.2.21)右端項若采用嚮量矩陣形式可錶示為在張量分析中定義上式中兩個嚮量nn(在矩陣分析中錶示為nnT)的並矢為張量積，即nnTunnu=Nu(1.2.23)
式(1.2.23)中的N=n�猲即為嚮量n與其自身的張量積（並矢）。與式(1.2.21)和式(1.2.22)相應的張量分量錶示可寫為njniui=njniui=Njiui=Nijuj(1.2.24)
應說明的是，由於，即Nij是對稱的，這是式(1.2.24)最後一個等號的理由所在。以上通過式（1.2.21）所描述的特例引入瞭張量積的概念。一般地，兩個嚮量a=aiei和b=bjej的張量積（並矢）(tensor product， dyadic product)定義為如下一個二階張量C，錶示為C=a�猙=aiei�猙jej=aibjei�猠j=Cijei�猠j(1.2.25)
嚮量a，b可以具有不同維數，例如n維嚮量a和m維嚮量b，由此得到的張量積C為一n×m維的二階張量。顯然，張量積不滿足交換律；即使嚮量a，b具有相同維數n，由於aibj≠biaj，a�猙=aibjei�猠j≠b�猘＝ajbiei�猠j(1.2.26)
式（1.2.26）相當於在嚮量運算中眾所周知的如下不等式abT≠baT(1.2.27)說明1.2.3：張量積（並矢）的符號��在某些著作或文獻中被省略，即A=a�猙=ab(1.2.28)
因此對於在張量分析中的兩個嚮量的點積錶示，其點積符號不可省略。
1.3二維空間中非正交直綫坐標係下的嚮量錶示
為便於描述物理問題，除前述笛卡兒坐標係外，非正交直綫坐標係也常被用於特定問題及其客觀規律的描述，如闆殼問題等。如圖1.2(a)所示，g1，g2為二維空間中一非正交直綫坐標係的參考嚮量，根據啞標求和約定，二維空間中任一嚮量r可錶示為該參考嚮量的綫性組閤
(1.3.1)定義沿g1，g2方嚮的單位嚮量分彆為
且有
式（1.3.3）中的不等號是由於單位嚮量i1，i2不正交。同樣，對於參考嚮量g1，g2
有這是由於參考嚮量g1，g2既不正交，也不是單位嚮量。
應著重指齣的是，嚮量r在參考嚮量g1，g2上的投影並不等於它相應的分量，這可由以下二式說明：

前言/序言

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