科学版研究生教学丛书：常微分方程定性与稳定性方法(第二版) pdf epub mobi txt 电子书下载 2025

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马知恩，周义仓，李承治著，周义仓，李承治编

图书标签:

常微分方程
定性分析
稳定性
数学建模
研究生教材
科学出版社
第二版
动力系统
微分方程
控制理论

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出版社：科学出版社

ISBN：9787030443557

版次：2

商品编码：11713176

包装：平装

丛书名：科学版研究生教学丛书

开本：32开

出版时间：2015-06-01

用纸：胶版纸

页数：376

字数：473000

正文语种：中文

具体描述

编辑推荐

适读人群：《常微分方程定性与稳定性方法》可作为理工类专业研究生的教材和高年级本科生的选修课教材，也可供相关的科学技术人员参考.
本书作者马知恩老师是微分动力系统与生物数学方向专家，是优秀大学教师中的佼佼者，本书内容着眼于应用，取材精练,注意概念实质，定理思路阐述清晰、应用方法介绍简明扼要，实际例子分析一语中的。

内容简介

《常微分方程定性与稳定性方法》是为理工类专业的硕士研究生和高年级本科生的需要所编写的一《常微分方程定性与稳定性方法》.《常微分方程定性与稳定性方法》为第二版.主要包括定性理论、稳定性理论和分支理论三个部分.内容着眼于应用的需要取材精练，注意概念实质的揭示、定理思路的阐述、应用方法的介绍和实际例子的分析，并配合内容引入计算机软件. 每章后附有习题供读者练习.

作者简介

马知恩，男，数学家，西安交通大学教授，博士生导师。1954年毕业于北京大学数学系，分配至交通大学任教。1963-1965在南京大学数学系进修。 1985-1986在美国威斯康辛大学与田纳西大学访问学者，学习生物数学。曾任西安交通大学数学系主任、理学院院长。全国工科数学课程教学指导委员会主任，中国数学学会生物数学专业委员会副主任，陕西省生态数学专业委员会主任等职。现任"J.of Biological Systems"(Canada)杂志副主编，J. of Theoretical Biology(USA)，等6种杂志编委。曾多次赴美、意、加、德、日、荷兰、比利时等国访问、合作研究和讲学。研究领域或方向:微分动力系统与生物数学。科研项目:八十年代以来，承担了教育部立项的教学改革项目9项，国家自然科学基金项目8项，国家十五攻关项目1项。学术及科研成果:讲授过高等数学等12门课程，科研方向为微分动力系统与生物数学。培养了硕士生43人，博士生11人。出版教材10套，译著1套。发表学术论文130余篇，出版专著3本。曾获***和教育部有关教学奖8项，省部级科学进步奖3项(均排名第1)。1991年获全国优秀教师称号，2003年获国家首届教学名师奖。

第二版前言
第一版前言
第 1 章基本定理 1
1.1 解的存在唯一性定理 1
1.2 解的延拓 3
1.3 解对初值和参数的连续依赖性和可微性 9
1.4 比较定理 13
习题 1 21
第 2 章动力系统的基本知识 23
2.1 自治系统与非自治系统 23
2.1.1 相空间与轨线 23
2.1.2 自治系统的基本性质 25
2.1.3 动力系统的概念 28
2.2 轨线的极限集合.29
2.2.1 常点与奇点 29　2.2.2 自治系统解的延拓性 30
2.2.3 极限集与极限集及其基本性质 32
2.3 平面上的极限集.35
2.3.1 平面有界极限集的特性与结构35
2.3.2 Poincar.e-Bendixson 环域定理37
2.4 极限集的应用实例 39
2.4.1 Volterra 捕食{被捕食模型 39
2.4.2 三极管电路的 van der Pol 方程 42
习题 2 44
第 3 章稳定性理论 46
3.1 稳定性的定义和例子 46
3.1.1 稳定性的几个定义 46
3.1.2 稳定性的关系及例子 49
3.2 自治系统零解的稳定性 54
3.2.1 V 函数 54？
3.2.2 Liapunov 稳定性定理 55
3.2.3 不稳定性定理 57
3.3 非自治系统零解的稳定性 59
3.3.1 V 函数和 k 类函数 59
3.3.2 零解的稳定性 62
3.3.3 零解的不稳定性 65
3.4 全局稳定性 67
3.4.1 全局稳定的概念和判定定理 67
3.4.2 应用举例.71
3.4.3 吸引域的估计 73
3.5 线性系统及其扰动系统的稳定性 73
3.5.1 常系数线性系统的稳定性 74
3.5.2 线性系统的扰动 81
3.5.3 非自治线性系统的稳定性 84
3.6 临界情形下奇点的稳定性分析 87
3.6.1 中心流形.88
3.6.2 中心流形定理 92
3.6.3 临界情况下奇点的稳定性分析举例.95
3.7 Liapunov 函数的构造 102
3.7.1 Liapunov 函数的存在性 102
3.7.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式 104
3.7.3 二次型方法的推广 108
3.7.4 线性类比法 110
3.7.5 能量函数法 112
3.7.6 分离变量法 113
3.7.7 变梯度法 114
3.8 判定稳定性时的比较方法 116
3.8.1 与数量方程的比较 116
3.8.2 与向量方程的比较 120
习题 3122
第 4 章平面系统的奇点 125
4.1 初等奇点.125
4.1.1 线性系统的孤立奇点 125
4.1.2 非线性系统的双曲奇点 135
4.2 中心与焦点的判定 140
4.2.1 非双曲初等奇点的类型与中心的判定定理 140
4.2.2 细焦点及其判定法 147
4.3 高阶奇点.157
4.3.1 沿不变直线方向的拉伸变换158
4.3.2 通过极坐标变换的吹胀" 技巧 160
4.3.3 沿 x 与 y 方向的吹胀"165
4.3.4 非齐次吹胀" 169
4.4 旋转数与指数 171
4.4.1 旋转数及其基本性质 171
4.4.2 奇点的指数 173
习题 4177
第 5 章极限环.179
5.1 基本概念与极限环的不存在性 179
5.1.1 基本概念 179
5.1.2 极限环不存在性的判定法 181
5.2 极限环的存在性.187
5.3 后继函数与极限环的稳定性.198
5.3.1 Poinear.e 映射与后继函数 198
5.3.2 曲线坐标与极限环的稳定性200
5.4 极限环的唯一性.204
习题 5211
第 6 章无穷远奇点与全局结构 212
6.1 无穷远奇点 212
6.1.1 Poincar.e 球面与 Poincar.e 变换 212
6.1.2 无穷远奇点与 Poincar.e 圆盘214
6.2 轨线的全局结构分析举例 224
习题 6228
第 7 章分支理论 229
7.1 一个例子.229
7.2 结构稳定与分支现象230
7.2.1 结构稳定的定义 230
7.2.2 结构稳定的等价描述 232
7.2.3 结构不稳定:分支现象 233
7.3 奇点分支.234
7.3.1 一维系统的奇点分支 234
7.3.2 二维或更高维系统的奇点分支.238
7.3.3 给定扰动参数的奇点分支问题.242
7.4 Hopf 分支 243
7.4.1 平面系统的 Hopf 分支 244
7.4.2 利用特征根的共振性求正规形.255
7.4.3 三维或更高维系统的 Hopf 分支 257
7.5 闭轨分支.259
7.5.1 平面系统的闭轨分支 259
7.5.2 三维或更高维系统的闭轨分支.263
7.6 奇异闭轨分支 268
7.6.1 平面系统的同宿分支 269
7.6.2 旋转向量场 270
7.6.3 平面系统同宿分支的例子 272
7.6.4 关于异宿分支和高维系统奇异闭轨分支的介绍 275
7.7 Poincar.e 分支||从平面闭轨族分支极限环 276
7.7.1 平面 Hamilton 系统的扰动问题 276
7.7.2 高阶 Melnikov 函数.284
7.7.3 平面可积系统的扰动问题 286
7.7.4 弱化的希尔伯特第 16 问题 287
7.8 从高维系统的闭轨族产生周期解的分支问题 289
7.9 Bogdanov-Takens 分支 296
7.9.1 利用变换求正规形 296
7.9.2 余维 2 的 B-T 分支:普适开折的推导 298
7.9.3 余维 2 的 B-T 分支:分支图与轨线拓扑分类 302
习题 7303
第 8 章常微分方程的应用举例 308
8.1 一个三种群相互作用的 Volterra 模型研究 308
8.1.1 正平衡解的稳定性 308
8.1.2 模型平面解的存在性及其渐近性态 311
8.1.3 一个 Volterra 模型的 Hopf 分支 314
8.2 传染病模型 317
8.2.1 假设和记号 317
8.2.2 SIS 模型 317
8.2.3 SIR 模型 319
8.2.4 SEIR 模型 321
8.3 一个总人口变化的 SEIR 模型的全局性态分析 323
8.3.1 模型及其平衡解 323
8.3.2 无病平衡点的稳定性 325　8.3.3 地方病平衡点的稳定性 327
8.3.4 地方病平衡点的全局稳定性329
8.4 三分子反应模型.332
8.4.1 模型及其奇点分析 332
8.4.2 极限环的存在唯一性 334
8.5 一个具有非线性传染率的 SI 模型的稳定性与分支 336
8.5.1 具有非线性传染率的 SI 模型 336
8.5.2 平衡点的稳定性 338
8.5.3 模型 (8.5.3) 的 Bogdanov-Takens 分支 341
8.6 一个具有饱和恢复率的季节性传染病模型 348
8.6.1 模型及其基本再生数 348
8.6.2 两个正周期解的存在性 349
8.6.3 周期解的稳定性 354
习题 8 359
参考文献362

精彩书摘

研究分支问题时，{heiti 中心流形定理}与{heiti 正规形理论}是把问题化简的两个工具：
用前者把问题转化到维数尽可能低的空间，用后者把系统转化为含参数尽可能少的形式。
关于中心流形定理，第~3.6.1 节中已有介绍，我们在本章的~7.3.2 与~7.4.3 中有进一步的介绍与应用；
关于正规形理论，我们将在~7.4.2 与~7.9.1 节中结合具体问题进行介绍。

结构不稳定体现了系统的某种退化性，为了描述退化的程度，或者说它在扰动下轨线拓扑结构发生变化的复杂程度，我们引入{heiti 分支的余维}这个概念。假设系统~$X_0$（即~eqref{S2} 中~$mu=0$）是结构不稳定的，按一定规则取~${m mu}in R^k$ 得到系统~$X_mu$（即~eqref{S2}），其中~$0<| {m mu}|ll 1$，则称~$X_mu$ 为~$X_0$ 的一个~$k$ 参数扰动系统，或称为~$k$ 参数{heiti 开折}(unfolding)。当然~$X_0$ 有无穷多个各种各样的开折。如果能找到~$X_0$ 的一个开折，它的轨线拓扑分类包含了~$X_0$ 的任一开折所能出现的轨线结构，则称这个开折为一个{heiti 普适开折}(universal unfolding)。在一个普适开折中增加参数得到的新开折显然还是普适的，所以普适开折并不唯一。如果~$X_0$ 有一个含~$m$ 个参数的普适开折，且从中减少任何一个参数都不再是普适开折，则称~$X_0$ 的分支是余维~$m$ 的。例~1 中~$X_0$ 的分支的余维数至少为~1，我们将证明它的余维数恰为~1。

从定理~7.2 可知，当平面系统有一个非双曲奇点，或非双曲闭轨，或存在鞍点到鞍点的连结轨线时，它是结构不稳定的，如果能确定它的分支的余维数，找到它的一个普适开折，
并研究了这个普适开折的分支图和相应的轨线拓扑分类，则这个系统的分支现象就得到完全的研究。一般而言，这种完全的研究并不容易，特别是当余维数较大，甚至为无穷大的情形。在下面的几节中，
我们将讨论一些基本并常见的分支现象，并尽可能得到完全的研究。

前言/序言

本书自2001年出版以来受到广大教师和读者的欢迎，已经印刷8次，
在微分方程和应用数学等方面的教学中发挥了较好的作用。
考虑到动力系统和分支理论发展的状况及写作的需要，北京大学的李承治教授参加了第二版的修订。
我们根据多年来教学实践和许多教师及读者的建议，在保持第一版特色的基础上做了以下修改：

1. 调整了第一版的结构，适当精简了内容。如去掉了原书第七章的部分内容，
将中心流形定理等颇为实用的方法纳入临界情况下奇点的稳定性分析，并入了第三章稳定性理论。
精简了平面上极限集、无穷远奇点与全局结构中的部分内容等。

2. 对原书4.3节高阶奇点的讨论，用较为方便的“吹胀”法替代了传统的“法域与特殊方向法”，使得分析得以简化。

3. 对原书第八章分支理论做了较大的改写和补充，
对分支理论的基础知识进行了较全面的介绍，并融入了本领域一些新的研究成果。

4. 充实了原书中常微分方程应用举例的内容，提供了更多的应用模型分析范例。

5. 重新编排了各章的习题，加强了基本方法的训练，删除了一些过难的题目。

6. 改正了原书中的一些错误和讲述不够清楚的地方。

本书的第一、二章和第四、五、六章由马知恩撰写，第三章和第八章由周义仓撰写，
第二版中的第七章和4.3节由李承治撰写。

不少教师和读者对本书第一版提出了许多宝贵的意见的建议，
对本书的修改起到了非常重要的作用，在此我们表示衷心的感谢。
并恳请大家对第二版继续提出批评与改进意见。

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2014年10月于西安交通大学

第一版前言

微分方程在实际中有着广泛的应用，凡是与变化率有关的问题几乎
都可以用微分方程模型来研究.为了弄清一个实际系统随时间变化的规律，
需要讨论微分方程解的性态，通常有三种主要的方法： (1) 求出方程的解析解(包括级数形式的解)；
(2) 求方程的数值解； (3) 对解的性态进行定性分析.三种方法各有其特点和
局限性.在对方程的研究中它们相互补充、相辅相成.本书介绍定性分析的基
本理论和方法，也就是不求解微分方程而研究时间趋于无穷时解的渐近性态.
其内容包括定性理论、稳定性理论和分支理论三个部分.
定性分析方面国内外已有不少很好的教材和专著，但面对非常微分方程专门化的
应用数学专业的硕士生和高年级本科生，在当前有限的学时内尚难找到合适
的教材.本书正是为适应这一需要而编写的.在编写中我们力求反映以下特色：

1. 从应用的需要出发精选内容

本书在讲清基本概念的基础上，取材着眼
于应用中常见的一些方法及其必要的理论基础.将某些繁难的证明略去而突出这些理论
和方法的涵义和应用.例如，中心与焦点的判定只讲形式级数法，着重讲清方法的证明
思路和使用步骤，未作完整的严格证明；对高阶奇点的第一、二类判定问题仅在
解析条件下给出结论；仅给出一些实用的中心流形定理，显示它们的应用而略去其证明等.��

2. 加强定性理论、稳定性理论和分支理论三部分的相互渗透

本书在精选内容的基础上仍分章保持着定性理论(包括平面与空间)、
稳定性理论和分支理论各自的基本体系，但在内容的叙述和方法的使用方面相互配合、
相互渗透.例如，用Liapunov函数法帮助判定某些中心或焦点，
讲解平面闭轨线族的极限环分支；将旋转向量场纳入分支理论中讲授等.

3. 突出概念的实质和内容思想方法的揭示

本书力求总结作者多年来在研究生和数学系本科生教学中对本门课程讲授的经验体会，
揭示概念的实质，分析定理证明和方法应用的思路，期望能有助于提高读者的数学素质和培养读者的创新研究能力.

4. 加强应用

本书专门列了一章微分方程应用举例.在不同领域内挑选了几个实例从建立模型、
定性分析到结果的实际意义都进行了较系统地讲解，
在其它有关章节中也穿插了一些实例分析.期望能引起读者的应用兴趣，
有助于应用意识和能力的培养.

5. 注意了与计算机使用的结合

本书在基本理论和方法的应用与计算机的数值计算和符号运算功能的有机结合方面进行了一些探索，
例如利用计算机显示一些系统的轨线分布图；利用符号运算功能来计算焦点量等.
为了使读者更方便地应用Maple软件解决微分方程定性、稳定性分析中的问题，
我们在相应的地方都给出了Maple程序，对这些程序稍加修改，就可以解决更一般的问题.

本书的第一、二、四、五、六章由马知恩执笔，第三、七、八、九章由周义仓执笔，Maple程序由周义仓调试.
全书在内容的编排叙述和文字符号的处理上多次讨论和统一协调.限于编者水平，难免有错误与不妥之处，恕望得到广大读者的批评指正.