内容简介

　　我国古代不少数学家以诗歌抒怀，他们把自己钟爱的、珍珠般的数 学名题以及博大精深的数学思想方法，编成耐人寻味的诗词、口诀和歌 谣。《古算诗题探源》精选出其中的140多首进行诠释，译为白话，给出古今解法! 探究来由（特别是源头），纵横联想，巧妙引申，并以充满情趣的生动 描写、蕴含哲理的精辟议论使一些深奥的数学名题变得通俗易懂、生动 有趣，给人以丰富的数学知识和启迪，激发读者对数学的兴趣。

目录

丛书修订版前言
第一版总序
前言
01算术部分1
1.1纳税算账1
“算”字的起源
1.2鱼儿有几3
“算术”的起源
1.3苏武流放4
程大位《算法统宗》
1.4唐僧取经7
梅氏数学世家
1.5男女捉兔（鹧鸪天，又名思佳客①）9
“数”字的起源
1.6庐山路程11
横看成岭侧成峰
1.7推车求里12
1.8两求斤歌13
杨辉什么是数学
1.9绩麻分布16
1.10纺织分配（西江月）18
笔算简史
1.11算题对联19
1.12经商本钱（水仙子）20
1.13船载油盐21
程大位谈数学
1.14买米运费（西江月）22
1.15甲追及乙（西江月）23
吴敬词题
1.16公公几岁25
1.17孝女归家（西江月）26
最小公倍数
1.18制笔用料28
分数简史
1.19巧妙分金（西江月）29
四舍五人法简史
1.20含金几成31
1.21加铜多少32
1.22鸡兔同笼32
1.23计算利息34
古算中的利息题
1.24计算赔偿（鹧鸪天，又名思佳客）36
古算的研究原则
1.25—年粮量39
比、比例简史
1.26粮食互换（梅气清）40
1.27和面用油（西江月）42
五道古算诗题
02代数部分45
2.1春日沽①酒45
代数学起源
2.2沽酒待客（西江月）48
十进位值制
2.3牧羊之歌（凤栖梧）50
2.4利滚利债52
2.5客有几人53
2.6勤奋读书55
方程简史
2.7日行几里57
2.8绳索量竿58
2.9盈不足术59
2.10隔墙计算61
七道盈不足诗题
2.11孩童偷瓜（西江月）65
浪淘沙一词题
2.12和尚几人66
假设法
2.13巧算笔墨（西江月）69
中国古代数学
2.14甲乙沽酒（西江月）70
2.15官兵分布71
2.16鳖龟有几（鹧鸪天，又名思佳客）71
2.17隔沟计算（西江月）73
2.18妙算羊数（西江月）75
2.19鸡鸭若干76
2.20酒有几瓶76
2.21果价几何77
2.22船载盐忙78
2.23绢布几许79
2.24船运公粮80
求根公式简史
2.25买椽多少81
2.26神奇妙算82
中国剩余定理
2.27红灯几盏（水仙子）88
古代民谣
2.28求一之术90
秦九韶的求一术
2.29妙题妙解93
2.30千钱百鸡95
不定方程
2.31羊宿野村99
2.32孝心回报100
2.33中国管理数学101
2.34五官问题102
2.35巍巍宝塔103
吴敬
2.36孔明统兵106
2.37出门望堤107
2.38本利几何107
2.39竹筒盛米108
等差等比数列简史
2.40七商分红110
2.41蚂蚁爬竹112
非常规题
03几何部分115
3.1争荡秋千（西江月）115
几何简史与译名
3.2秋千跳起（西江月）119
谁早发现勾股定理
3.3葭蒲多长（西江月）121
薪尽火传的词题
3.4风筝高飞（西江月）123
3.5田中有竹124
朱世杰
3.6门厅高低（西江月）127
3.7田中拴马（西江月）128
3.8钓鱼乐趣129
3.9折竹抵地（西江月）130
3.10丈量田地131
3.11葛藤缠木133
螺旋线的发生
3.12圆材埋壁134
赵州桥与勾股
3.13方斜种粮（凤栖梧）138
3.14勾股容方139
3.15勾股容圆141
与勾股
3.16直田面积143
面（体）积公式起源
3.17矩形田积145
3.18长阔多少146
3.19坡田修平（西江月）146
3.20三斜求积147
等价的海伦公式
3.21和尚算家150
张遂（一行）
3.22圆中方形（西江月）153
李冶
3.23方形圆径（西江月）157
天元术和演段术
3.24圆环求周159
3.25环田求周（凤栖括）161
数学与诗词
3.26古坟占地（双揭练）162
3.27丈量田法164
《详明算法》、割补法
3.28平方带纵166
限制尺规之因
3.29平分月饼167
3.30用矩之法169
测量家商高、伏羲
3.31日影测量171
《数理精蕴》与康熙
3.32测量塔高174
三角学测量之始
3.33方城边长176
3.34编造幻方177
幻方简史
3.35金砖重量181
细草、罗士琳
3.36垛积问题185
三次方程求根史
3.37方圆仓窖①190
体积起源
3.38圆锥仓窖192
估算粮重
3.39台体仓窖197
方程
3.40长城墙积202
古代球积公式
3.41穿渠雇工203
3.42金球重量205
3.43金球直径（驻马听）208
数学理论与应用
参考文献210
后记211

精彩书摘

　　01算术部分
　　1.1纳税算账本书所有诗词的标题，大都是著者自己加的，大部分原著文没有标题。
　　昨日街头干事毕，
　　闲来税局门前立。
　　见一客持三百布，
　　每疋必须税二尺。
　　贴回铜钱六百文①，
　　收布一十五半疋。
　　不知每疋卖几何，
　　只言每疋长四十②。
　　——程大位《算法统宗》
　　【注释】①古代1贯=1000文。②这里1疋=40尺。
　　【译文】昨天街上办完事，慢悠悠地走到税务部门前停下来。看见一客商持300疋布前来纳税，按规定每疋布必须上税2尺。税局收去15疋半布作税款。因多收了布，税局补给他铜钱600文。已知每疋布长40尺，请问每疋布价多少钱。
　　【解法】依题意可知
　　应纳税：300×2=600（尺）
　　税局实收布：15.5×40=620（尺）
　　税局多收布：620-600=20（尺）
　　每尺布价：600÷20=30（文）
　　每疋布价：30×40=1200（文）
　　答：每疋布价1200文钱，即一贯二百文。
　　【探源】这是一首经商纳税诗题。
　　两汉史籍中有关纳税的资料很少。古代最早算书《算数书》（公元前2世纪）中有2题“弧出关”和“负米”反映秦或更早时候征收关税问题；《九章算术》（公元前1世纪）中有4道题（衰分章第3题，均输章第15，27，28题）反映汉朝向商人征收关税的问题。资料虽少，但很宝贵。
　　这诗题不是从古算书算题改编而来的，根据可能是当时人们经商纳税的情况。故诗题反映了纳税或征收赋税的实际情况。可知明代卖布税率为5%，看来税赋不重。
　　“算”字的起源
　　中国的“算”字有三种写法：筭、算、祘。对这几个字，我国辞典始祖东汉许慎在《说文解字》（成书于公元100年）里作了如下解释：
　　“筭，长六寸，计历数者。从竹从弄，言常弄乃不误也。”这就是说，“筭”（音算，ｓｕàｎ）字是一种六寸长的竹制计算工具，古称“算筹”（用小竹棍等制成）。这个字是由“竹”和“弄”两字合成的，经常摆弄它便可使计算正确无误。
　　“算，数也。从竹从具，读若筭。”许慎的意思说，“算”是计算数目的，读法和“筭”完全相同。
　　“祘”字的出现比较晚，它是由两个“示”字合成的。许慎解释说：“示，神事也。”这就是说，“示”字有“指示、表示、透露”等象神的显示一样的意思。因为上部“二”是古文的“上”字，下部古为三竖（后来演变成一竖两点的“小”字），表示日、月、星。神的显示是从上面下来的。从鬼神的字表明，也多用示（礻）字旁。
　　显然，古人把“祘”和计算，都与迷信纠缠在一起，与科学背道而驰，不足为训。
　　“算”字的象形字起源于什么时候？在甲骨文（在龟甲或兽骨上镌刻成的文字）或金文（周朝时的文字，铸在青铜器上的文字，又叫钟鼎文）中从未发现过这个字。据当代英国著名科学史家李约瑟（J.Needhan，1900～1995）认为，它的出现年代可能在公元前3世纪。
　　图1-1“算”的古体字
　　事实上，“算”字的最早古体字有三种写法，见图1-1。“算”字上面是竹的形象，表示着竹制算具。下面为双手捧着贝币（殷周时用贝做货币）。故我国“算”字的意思就是以算具进行记数、计算、卜卦的技术或学问。
　　在希腊，“计算”一词的本意是“石子”、“沙盘”，原意是“沙子”。这反映了古希腊人与中国不同的是不用竹做算具，而是用石子计数或在沙盘上划道运算。
　　1.2鱼儿有几
　　三寸鱼儿九里①沟，口尾相衔②直到头。
　　试问鱼儿多少数，请君对面说因由。
　　——梅瑴成③《增删算法统宗》
　　【注释】①关于里、步长度的大小随朝代不同。周代1步=8尺。秦汉至南北朝1步=6尺，1里=300步；《汉书?食货志》载：1里=300步，
　　1步=6尺。《九章算术》就用此，简称秦汉制。约从隋唐改为1步=5尺，1里=360步。这是旧制以营造尺。②衔，用嘴含。③瑴，音决，jué。
　　【译文】3寸长的一群小鱼儿，它们口尾相接在河里游玩，从头到尾排成了9里长。试问这群鱼儿有多少条？请说出你推算的理由。
　　【解法】因为1里=360步（唐代以后度量衡）
　　所以9×360=3240（步）
　　因为1步=5尺=50寸
　　所以3240×50=162000（寸）
　　所以162000÷3=54000（条）
　　答：这群活泼可爱的小鱼儿共有5.4万条。
　　【探源】诗言志，歌抒情，数学诗题很迷人。这道朗朗上口的数学诗题仿佛把我们带到了孩提时代观赏游鱼的趣景，回味之余，油然而生要探讨追溯这道诗题源头的想法。经查，古算家是根据古算《孙子算经》（公元4世纪）卷下第32题改编的。古代儒家把重要的经典著作称为“经”，“数学”叫做“算”，所以把重要的数学著作称为“算经”。第32题是：“今有九里渠，三寸鱼，头头相次。问鱼得几何？答曰：五万四千。术曰：置九里，以三百步乘之，得二千七百步。又以六尺乘之，得一万六千二百尺。上十之，得一十六万二千寸。以鱼三寸除之，即得。”
　　读者不难发现，这道诗题完全与《孙子算经》第32题一样，数据、答案一致。当然，不同之处是术文（解法）中使用的度量衡是秦汉制，即1里=300步，1步=6尺。
　　“算术”的起源
　　算术是研究数与数集上的运算的数学分支。算术是最古老的数学分支之一，是数学的起点。
　　算术的产生可追溯到史前时期，如美索不达米亚（今伊拉克的一部分）和古埃及等在公元前30～前20世纪就产生了简单的算术知识。
　　古希腊人正式提出的“算术”，实质是数论（研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支），因为他们曾把数分为“数目学”（即数论）和“计算术”（与今算术意义差不多）。但是，希腊人的“数目学”与哲学相关，备受哲学家器重，而“算术”（计算术）却被另眼看待，讥为“低下技术”，备受轻视。这使得希腊算术的成就不及几何和数论。
　　在我国，“算术”二字至迟在汉代已经常用了，例如，《前汉书?律历志》记载筹算中有：“其法在算术，宣于天下”。在古算书上，西汉末年（约公元前1世纪）曾有过《许商算术》和《杜忠算术》，可惜早已失传。但正式使用、留传至今的这一术语最早见于《九章算术》（公元前1世纪），而算术内容更早出现在1983~1984年出土的《算数书》（公元前2世纪）中。我国古代“算术”指整个数学，即数学的总称，但它与现代算术意义是不同的。
　　在西方，“算术”一词的拉丁文“Arithmetica”来自希腊文“αριθμητικ�穰恰保�原意是数（ｓｈǔ）和数（ｓｈù）的技术（或学问），这就是说，西方人的“算术”指有关数的运算方法和技巧，不包括代数、几何等内容，与我国泛指全部数学不同。
　　1.3苏武流放
　　当年苏武①去北边②，
　　不知去了几周年。
　　分明记得天边月，
　　二百三十五番圆③。
　　——程大位《算法统宗》
　　【注释】①苏武（约公元前140～前60年）是汉朝一位官员，天汉元年（公元前100年）被派往匈奴出任使者，因其他事牵连，被匈奴统帅单于扣留，并叫他投降，苏武誓死不从。单于把他流放到北方海边无人居住的地方，让他饲养公羊，叫他等到公羊生了小羊以后再回来。这哪是可能的？显然是将他终年流放。单于断绝供应一切粮草，苏武只好挖掘野鼠所储藏的草籽来吃。后来汉朝与匈奴和亲，苏武才从荒野被接回汉朝。由于他节操卓著，被尊称为“祭酒”（年高望重者），又被封为典属国。公元前60年，苏武病逝。②北边，指今天贝加尔湖畔的大城市——伊尔库茨克一带。③关于月亮圆缺是指人们在地球看到月亮表面发亮部分的形状，这在天文学上叫做月相。主要的月相有4个：朔、上弦、望、下弦。朔日（农历每月初一），地球上看不到月光；上弦（农历每月初七或初八）和下弦（农历每月廿二或廿三），地球上看到的月亮是月牙形；望日（农历每月十五日，有时是十六或十七日），地球运行到月亮和太阳之间，这天太阳从西方落下去的时候，月亮正好从东方升上来，地球上看见的是圆月。1年=12月，“二百三十五番圆”即235个月。
　　【译文】当年苏武流放到北方牧羊，不知去了多少周年，只记得天边的月亮，已经出现过235次圆月了。
　　【解法】据注可知，这是一道简单除法问题，
　　235÷12=19712=197
　　余7为闰月，因为依我国农历，19年应有7个闰月。故答案不能是19年零7个月。
　　答：苏武去北方已经有19周年。
　　【探源】这道诗题可能是古算家根据历史人物改编的趣诗，不是从古算书算题改编的。
　　程大位《算法统宗》
　　读者从本书开篇，就知道程大位的名字，但对他的经历、治学及成就不太了解了。
　　程大位（1533～1606）
　　程大位（1533～1606）字汝思，号宾渠我国古人幼有名（指幼年时起的乳名，只供长辈们呼唤），长有字（指20岁时加的字，供一般人称呼）；有的还有号，即别号。，明朝安徽休宁县屯溪镇前园村（今黄山市屯溪区前园村）人。程大位读书很广博，自幼爱好数学。常“不惜重资，以购求遗书”，“迂方田、粟米、差分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股诸书，辄厚资购得之”。20岁左右在长江中下游地区经商，利用经商机会“邀游吴楚，博访文人达士”，遇有“睿通数学者，辄造请问难，孳孳（即孜孜）不倦”。程大位小商人家，一生从未应科举之试。就是在经商时他仍不忘对数学的研究，到处求师访书，搜罗了很多古代与当时的数学书籍及民间数学资料。有空就读书、写心得体会，经过自己咀嚼、消化，开始进行著述。他博采众长，大约在他40岁那一年，开始对旧的如1368年前元末安止斋、何平子合著《详明算法》类型的数学书进行修改，对吴敬《九章算法比类大全》（1450）进行删补，并涉猎大量的数学资料，直到他进入60岁花甲那一年（1592），才完成了他的杰作《直指算法统宗》十七卷共595个问题。解题时以算盘作为计算工具进行演算，与传统的用筹（长短不等的小竹棍或骨制成）计算不同。继后，他又对《算法统宗》“删其繁芜，揭其要领”，约束为《算法纂要》四卷，与十七卷本先后在屯溪刊行。
　　《算法统宗》是我国第一部最完善、系统的珠算说明书，也是一本比较完整、全面的应用数学书，它的内容包括了清代经学家所推崇的《九章算术》，既符合民间工、农、商业的需要，也适用于数学知识并不很丰富的一般经学人士的需要，所以《算法统宗》在国内能得到广泛和长久的流传。公元1716年，程大位的族孙程世缓为翻刻这部书所写的序中说：“风行宇内，迄今盖已百有数十余年。海内握算持筹之士，莫不家藏一编，若业制举者之于四子书、五经义、翕然以为宗”（大意是说，这本书出版以后，风行国内一百几十年，凡是研究算法的人，几乎人手一册，就像考科举的人对待《四书》、《五经》一样，奉为经典）。该书在国内外影响很大，曾流传到朝鲜、日本等国。日本珠算就是在程大位影响下发展起来的。
　　在日本民间，还把程大位和日本数学家关孝和（Sekikaua，约1642～1708）奉为“算神”来纪念。日本每年8月8日为“算盘节”，人们曾经
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