具体描述
内容简介
《数学分析（第二册）》讲述的是高等数学的基础内容——数学分析，其核心内容是微积分学，本书共分六章：定（Riemann）积分、反常积分、常数项级数、函数项级数、幂级数与Taylor级数、Fourier分析初步。《数学分析（第二册）》是有作者在北京大学数学科学学院多年教学所使用的讲义基础上修改而成，内容丰富、深入浅出。对较难理解的定理、定义以及可深入探讨的问题，《数学分析（第二册）》以加注的形式予以解说，以利于读者更好地接受新知识。《数学分析（第二册）》在每一章的末尾还附有注记，意在为读者更清楚地了解知识背景，更迅速地提高数学能力创造条件。本书选用了适量有代表性、启发性的例题，还选入了足够数量的习题和思考题。习题和思考题中，既有一般难度的题目，也有较难的题目，供读者酌情选做。
《数学分析（第二册）》可作为大学本科阶段的数学、概率统计、应用数学、力学以及计算机等相关专业的教科书，也可作为广大数学工作及爱好者的参考书。
内页插图
目录
致读者绪论 积分史简述
第7章 定（Riemann）积分
7.1 定（Riemann）积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积问题
7.1.2 定积分的定义
7.2 Darboux上、下和，上、下积分
7.2.1 Darboux上、下和
7.2.2 Darboux上、下积分
7.3 函数可积的充分必要条件，可积函数类
7.3.1 函数可积的充分必要条件
7.3.2 可积函数类
7.4 微积分基本定理，定积分的基本性质
7.4.1 Newton-Leibniz公式
7.4.2 定积分的基本性质
7.5 变限积分，原函数存在的充分条件
7.6 定积分的间接计算法
7.6.1 换元积分法
7.6.2 分部积分法
7.7 定积分中值定理
7.7.1 定积分第一中值公式
7.7.2 定积分第二中值公式
7.8 定积分在几何与力学中的初步应用
7.8.1 平面区域的面积
7.8.2 用平行截面面积求立体体积
7.8.3 曲线弧长
7.8.4 旋转体的侧面积
7.8.5 定积分应用的朴素定式——点位微分的积累
7.8.6 定积分在力学中的初步应用
7.9 定积分的近似计算
7.9.1 从积分和式求近似值
7.9.2 从被积函数大小估算近似值
后记
第8章 反常积分
8.1 函数在无穷区间上的积分
8.1.1 无穷区间上的积分定义
8.1.2 积分的基本性质
8.2 无穷区间上积分收敛与发散的判别法
8.2.1 非负函数积分敛散性的比较判别法
8.2.2 积分的绝对收敛
8.2.3 被积函数的主部分离法
8.2.4 一般函数积分敛散性的判别法
8.3 有穷区间上无界函数的积分——瑕积分
8.3.1 瑕积分的定义
8.3.2 积分的基本性质
8.4 瑕积分收敛与发散的判别法
8.4.1 非负函数积分敛散性的比较判别法
8.4.2 瑕积分的绝对收敛
8.4.3 一般函数积分敛散性的判别法
8.4.4 带瑕点无穷区间上积分敛散性的判别法
后记
第9章 常数项级数
9.1 级数收敛的概念和必要条件
9.2 收敛级数的运算性质
9.3 正项级数收敛与发散的判别法
9.3.1 正项级数收敛的特征
9.3.2 通项比较判别法
9.3.3 比值判别法，根值判别法
9.3.4 推广的比值型和根值型判别法
9.3.5 积分判别法
9.4 一般项级数收敛与发散的判别法
9.4.1 级数收敛的充分必要条件
9.4.2 级数的绝对收敛与条件收敛
9.4.3 交错级数收敛的判别法
9.4.4 乘积项级数收敛的判别法
9.5 级数项序的重新排列
9.6 两个级数的乘积
后记
第10章 函数项级数
10.l 函数项级数一致收敛的概念
lO.2 一致收敛函数项级数的运算性质
10.3 函数项级数一致收敛的判别法
10.3.1 Cauchy准则
10.3.2 M（最值）判别法
10.3.3 函数乘积项级数一致收敛的Abel判別法和Dirichlet判别法
lO.4 函数性质的传递——极限次序的交换
10.4.1 连续性质的传递
10.4.2 积分性质的传递
10.4.3 微分性质的传递
后记
第11章 幂级数与：Taylor级数
11.1 幂级数收敛区域的特征——收敛半径
11.2 幂级数收敛半径的求法
11.3 幂级数的一致收敛及其和函数的性质
11.4 函数的幂级数展式——Taylor级数
11.4.1 函数的Taylor级数的概念
11.4.2 判定函数的Taylor级数展式的方法
11.4.3 应用举例
11.5 多项式逼近连续函数
后记
第12章 Fourier分析初步
12.1 三角函数系的正交性、函数的Fourier级数
12.2 Fourier系数的性质
12.3 Fourier级数的（点）收敛
12.3.1 Dirichlet积分、局部化原理
12.3.2 Fourier级数收敛的判别法
12.4 其他函数的Fourier级数
12.4.1 周期为2l的函数
12.4.2 仅定义在有界区间上的函数
12.5 Fourier级数的其他收敛意义
12.5.1 算术平均求和
12.5.2 封闭系，均方收敛
12.5.3 一致收敛，Fourier级数的微分和积分
后记
前言/序言
用户评价
这本书的语言风格，在学术性极强的数学分析领域，算得上是相当“亲民”的了。我拿到《数学分析（第二册）》后，首先注意到的是它的文字表达。在保持数学严谨性的同时，作者并没有使用过于晦涩难懂的术语，而是尽量用清晰、流畅的语言来解释复杂的概念。即使是对于一些非常抽象的定义，比如“勒贝格积分”或者“流形”的概念（尽管这些可能属于更高级的内容，但想象一下），作者也会尝试用类比或者形象化的方式来帮助读者建立初步的认识。我记得在学习“度量空间”和“拓扑空间”的时候，书中就用了很多生活中的例子来类比，比如“城市中的距离”和“地图上的连续性”，这让我能够更好地理解这些抽象的空间概念。此外，书中偶尔穿插的一些历史典故或者数学家的小故事，也让阅读过程不那么枯燥，增添了一些人文色彩。这使得我在学习数学分析这样一个相对“硬核”的学科时，能够感受到一种轻松愉快的氛围，也更容易沉浸其中，激发了我持续学习的热情。
评分我拿到《数学分析（第二册）》的时候，最先吸引我注意力的是它在习题设计上的独到之处。我知道，数学学习的精髓很大程度上体现在练习之中，而一本优秀的教材，其习题的质量和层次就显得尤为重要。这本书的习题，我感觉是经过精心打磨的，它们不仅仅是为了检验读者对基础知识的掌握程度，更是为了引导我们进行更深入的思考和探索。习题的难度梯度设计得非常合理，从最基本的概念巩固，到一些需要综合运用多个知识点的综合题，再到一些具有挑战性的思考题和开放性问题，几乎涵盖了所有能够帮助我们巩固和提升的内容。我尤其喜欢那些“思考题”部分，它们往往不直接给出生硬的计算任务，而是提出一些关于数学概念本质的问题，或者是一些待证明的猜想，这极大地激发了我的好奇心，也让我尝试着用不同的角度去理解和分析问题。有时候，一道思考题就能让我花费一个下午的时间去琢磨，虽然过程可能有些艰辛，但一旦豁然开朗，那种成就感是无与伦比的。而且，书中的一些习题，其灵感来源似乎都比较有渊源，有些甚至可以追溯到一些著名的数学难题或者发展史上的关键时刻，这使得解题的过程也变成了一种对数学史的了解。
评分我是一个比较注重学习方法的读者，因此一本教材的组织结构和知识体系的构建方式，对我来说至关重要。《数学分析（第二册）》在这方面做得非常出色。这本书的章节划分非常清晰，逻辑递进性强，从基础的级数理论，到多元函数的微分和积分，再到微分方程和测度论（如果第二册包含的话），每一部分都像是按照一个精心设计的路线图展开。这种结构化的呈现方式，让我能够清晰地把握整个知识体系的脉络，知道自己学到哪里，接下来应该学习什么。更难得的是，书中在引入新概念时，都会明确指出它与前面知识的联系，并且在后续的学习中，也会不断地回顾和巩固之前学过的概念，形成一个良性的循环。我特别喜欢书中“总结”和“回顾”的部分，它们帮助我系统地梳理了章节的核心内容，也方便我快速查阅和复习。此外，书中的一些“旁征博引”的注释，虽然不影响主线的学习，但却能提供更丰富的背景信息，让我能够从更宏观的视角去理解某个数学分支的发展。
评分这本书的封面设计，说实话，第一眼看上去并不是那种特别吸引人的那种，甚至有些朴实得过分。淡雅的蓝色作为主色调，搭配着烫金的“数学分析（第二册）”几个字，以及一个极其抽象但又似乎蕴含着某种数学美感的几何图形，整体风格趋于严谨和学院派。我拿到这本书的时候，正是在一个雨天的下午，窗外的雨声滴答，空气中弥漫着淡淡的书卷气，这恰好与这本书给人的感觉很契合。翻开扉页，纸张的质感很好，厚实而略带韧性，闻起来有股新书特有的油墨香，这是一种很踏实的触感。目录一览，章节标题赫然在目，每一个都像是一个即将开启的挑战，又像是一扇通往更深层次数学世界的门。我尤其对“级数”、“多元函数微积分”、“微分方程”等章节充满了期待，这些都是我学习过程中觉得既重要又富有魅力的部分。封面上的那个几何图形，反复端详，似乎能从中窥见某种函数的曲面或者向量场的轨迹，设计师的匠心可见一斑，虽然它不像一些畅销书那样华丽夺目，但却自有其沉静而深刻的内涵，正如数学本身一样，不张扬，却力量无穷。这本书的装帧也相当扎实，书脊处采用了锁线装订，这意味着它可以相对平坦地摊开，方便读者在做笔记或者对照公式时使用，这一点对于厚重的数学书籍来说，简直是福音。总而言之，这本书的外在，就如同它即将承载的知识一样，严谨、内敛，却又散发着不容忽视的学术魅力。
评分我一直对数学的抽象美有着浓厚的兴趣，而《数学分析（第二册）》这本书，在这方面给我带来了很多惊喜。在阅读的过程中，我时常会被作者在讲解过程中流露出的那种对数学严谨性的追求所打动。这本书在阐述定理的时候，总是非常注重逻辑的完整性和推理的严密性，每一步推导都力求清晰明了，并且会引用到前面学过的相关定义和定理，形成一个坚实的知识体系。我尤其欣赏书中对于一些关键概念的深入剖析，比如在讲解“一致收敛”的时候，作者并没有仅仅给出定义，而是花了相当篇幅去解释为什么引入一致收敛的概念，它解决了什么样的问题，以及它与逐项收敛的区别和联系。这种深入浅出的讲解方式，让我对这些抽象的概念有了更深刻的理解，不再是死记硬背，而是真正理解其背后的数学思想。书中对于一些证明的细节处理也非常到位，对于容易出错的地方，会特别加以强调，并给出一些避免错误的方法。这种严谨而周全的讲解，极大地提升了我的数学思维能力，让我学会了如何去分析问题、构建论证，以及如何去批判性地审视数学结论。
评分我一直认为，一本好的数学分析教材，不仅仅是公式的堆砌和定理的罗列，更重要的是它能否在读者心中点燃对数学的探索欲，能否以一种清晰而富有逻辑的语言，引导我们穿越复杂的概念迷雾。拿到《数学分析（第二册）》的那一刻，我便怀揣着这样的期待。这本书的编写风格，给我的第一印象是“娓娓道来”。它不像某些教材那样，上来就抛出令人望而生畏的定义和定理，而是先从一些直观的例子入手，或者通过一些历史故事来引出某个数学概念的产生背景和重要性。例如，在介绍级数收敛性的章节，作者并没有直接给出柯西判别法或达朗贝尔判别法，而是先从一个非常经典的“无穷小量叠加”的例子开始，让我们体会到“无穷”的神奇之处，再逐步引出各种判定方法。这种循序渐进的学习方式，极大地降低了初学者的畏难情绪，让我觉得学习数学分析不再是一件枯燥乏味的事情，而更像是一场充满乐趣的思维探险。书中的插图也非常恰当，虽然不像一些科普读物那样色彩斑斓，但每一个图都精炼地描绘了某个数学对象的几何意义，比如多重积分的区域划分，或者向量场的流线图，这些图在我理解抽象概念时起到了至关重要的作用，仿佛为我搭建了一座座理解高深理论的桥梁。
评分在翻阅《数学分析（第二册）》的时候，我最直观的感受是，这本书非常注重理论与实践的结合。我拿到这本书，首先就被书中大量的例题所吸引。这些例题的编排非常精妙，它们不仅仅是课文内容的简单重复，而是对所学概念的精彩演绎。每一个例题都清晰地展示了如何将抽象的数学定理和公式应用到具体的计算和证明中。例题的难度和类型也非常多样，从基础的计算题，到需要巧妙构思的证明题，再到一些能够体现数学思想的探索性例题，应有尽有。我尤其欣赏那些带有详细解题思路的例题，它们能够帮助我理解解题过程中关键的思考步骤和技巧，而不仅仅是给出最终的答案。这对于我这种喜欢“知其然，更知其所以然”的学习者来说，无疑是巨大的帮助。而且，书中的例题往往能够引导我从不同的角度去理解同一个概念，比如同一个微分方程，可能会有几种不同的解法，而例题则会清晰地展现这些方法的优劣和适用范围。
评分我拿到《数学分析（第二册）》的时候，就对它在细节处理上的严谨性印象深刻。这本书在排版上非常考究，字体清晰，公式标注规范，标点符号的使用也一丝不苟。我曾经在阅读一些数学书籍时，因为排版混乱或者公式错误而感到困扰，而这本书在这方面几乎没有让我挑剔的地方。每一个公式的推导都显得干净利落，没有多余的笔墨，也没有模糊不清的环节。尤其是在涉及复杂推导的时候，作者会通过分步讲解、引入辅助符号或者使用图示来帮助读者理解。我记得在学习“函数序列的积分与极限交换”这类比较微妙的问题时，书中对于每一个条件的设置和证明的每一步都处理得非常到位，没有丝毫的含糊。这种对细节的极致追求，让我能够完全放心地将这本书作为我的学习主要参考，因为它提供了一个非常可靠和高质量的学习文本。这种严谨的态度，本身就传递了一种对数学的敬畏和热爱。
评分当我第一次翻开《数学分析（第二册）》的时候，我被它内在的“故事性”所吸引。虽然这是一本严谨的数学教材，但它并没有让内容变得冰冷和机械。书中在引入一些重要的数学概念时，会花费一定的篇幅去介绍它们是如何在数学发展的长河中被发现、被提炼出来的。例如，在讲解“极限”概念时，书中可能会提到阿基米德与穷竭法的故事，或者牛顿和莱布尼茨在微积分发展史上的贡献。这些“小插曲”，虽然不直接构成核心的数学内容，但它们为我理解这些抽象概念的产生背景和重要意义，提供了一个非常生动的视角。我感觉，学习数学分析，不仅仅是掌握一套工具，更是理解一套思想体系的形成过程。这种“叙事性”的编写方式，让我在枯燥的符号和公式之外，能够感受到数学的生命力，也让我更加渴望去深入了解这些伟大的数学思想。
评分我一直认为，一本好的数学书，应该能够激发读者的内在驱动力，让学习变成一种主动探索的过程。《数学分析（第二册）》在这方面给我留下了深刻的印象。这本书的编写者，似乎非常有意识地在引导读者去“思考”而不是仅仅去“记忆”。在讲解定理的时候，书中经常会提出一些“为什么”的问题，例如“为什么需要这个条件？”或者“如果我们去掉这个条件会怎么样？”。这种提问方式，能够促使我去主动地思考定理的内涵和外延，而不是被动地接受。我记得在学习“紧集”概念的时候，书中就详细阐述了为什么在欧几里得空间中，有界闭集是紧集，以及在一般的度量空间中，紧集和有界闭集之间的区别。这种探究式的讲解，让我觉得我不是在被动地被灌输知识，而是在主动地参与到数学的建构过程中。这种学习体验，比单纯的背诵和计算要有趣得多，也更能让我长久地记住这些知识。
评分9，偏序集、Boolean代数、滤子、集合的势。
评分4，Cauchy估计公式、解析函数的幂级数表示、整函数、解析函数的零点、Liouville定理、代数基本定理、最大模定理、闭曲线的指标。
评分10，四元数、共形度量、共形变换、Liouville定理、方向导数、共变导数、联络、 Christoffel符号、Gauss公式、Weingarten方程。
评分加油吧
评分对于数分的学习帮助还是挺大的
评分2，一般笛卡尔坐标、空间曲面和空间曲线的方程、坐标变换、平面方程、平面对于坐标系的位置、平面的相互位置。
评分11，平行向量场、测地线、平行移动、最短路径定理、Gauss绝妙定理、Gauss方程、Codazzi-Mainardi 方程、曲率张量、局部曲面论的基本定理、Gauss曲率、测地平行坐标。
评分8，仿射直线与仿射平面的公理化模型、平面上的线性方程、凸几何、仿射几何的基本定理、仿射空间、有限维凸几何、Caratheodory与Radon引理、Helly定理。
评分1111111111
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