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內容簡介

　　這是一本探索性的書．筆者試圖將實數、極限和微分學這些數學分析的基礎理論用現代分析的觀點來處理．《極限論與微分學新探》既要將上述理論的基本內容全部覆蓋，又要將原內容賦予一係列的發展和創新．
　　這是一本“雅俗共賞”的書，《極限論與微分學新探》通俗，是因為閱讀《極限論與微分學新探》的預備知識僅僅需要初等數學知識（中學內容）；而《極限論與微分學新探》“雅”，則是因為其觀點新、技巧性強且創新內容多．這是一本培養創造性思維的書．《極限論與微分學新探》講述由淺而深，從形象到抽象；並特彆注意引導讀者去“舉一反三”，從各種“（正）例”“反例”以及“注”的學習中學會聯想，並發現且引導齣新的結果．《極限論與微分學新探》既可以作為數學分析的教材，亦可作為高年級大學生、研究生和需用此相應知識的科教人員的參考書．

目錄

第 1 章 實數的完備性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 有理數集 Q 的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 四則運算性質 (代數結構) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 全序性質 (序結構) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.3 拓撲結構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 實數的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.3 實數的其他公理化引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 數列極限初論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 定義實數的各公理所對應的完備化定理間之等價性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 任何抽象距離空間之完備性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.7 極限點定理與有限覆蓋定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
第 2 章 數列的極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 數列極限的存在. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.2 數列極限存在的某些傳遞性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.3 Stolz(施篤茲) 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 11
,
0
0
與 11 型極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
2.5 數列的上、下極限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
第 3 章 數項級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 級數的斂散性及該性質的傳遞性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2 同號項級數的斂散性及其判彆法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 變號級數的收斂 (條件收斂) 與絕對收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 絕對收斂級數與條件收斂級數的重排級數之特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5 級數的乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6 纍次級數與二重級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
3.7 無窮乘積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
￠ viii ￠ 目 錄
第 4 章 函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1 集的映射與函數 (泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2 函數的極限及其存在性判彆法 (含：函數的上、下極限) . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3 函數極限的基本性質及其存在性的傳遞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
4.4 無窮小量 (或無窮大量) 之間的比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
4.5 函數在一點的連續性及相關性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.5.1 多項式函數的連續性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
4.5.2 三角函數和反三角函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.5.3 對數函數和指數函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.5.4 冪函數的連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.6 距離空間中的泛函 (函數) 之極限性質 (含：方嚮極限、
纍次極限與重極限) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.7 距離空間的初等拓撲性質 (含：上、下半連續泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.8 緊集上連續泛函 (函數) 的整體性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
4.9 連通集上連續函數的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.10 有限維賦範空間中的綫性泛函與凸泛函. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
第 5 章 一元函數的微分學. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286
5.1 導數及其求法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.2 高階導數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300
5.3 函數的單調性、局部極值性、凸凹性及作圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.4 微分中值公式與求不定型極限的 L0Hospital 法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.5 函數的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.6 Taylor 定理 (公式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
第 6 章 多元函數的微分學. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.1 偏導數 (含：方嚮導數) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.2 多元函數的微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
6.3 空間 Rn 到 Rm 中映像 (算子) 的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.4 隱函數 (隱映像) 定理及逆映像定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434
6.5 Taylor 公式及條件極值理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457
6.6 幾何上的幾點應用 (切綫、切麵及法嚮量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

前言/序言

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