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内容简介

　　《数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法》系统介绍了几何定理机器证明的几何不变量方法. 主要包括：基于面积与勾股差等几何不变量的面积法、基于体积与勾股差等几何不变量的体积法以及基于向量计算的向量方法。

作者简介

　　张景中，中国科学院院士。现任广州大学计算机教育软件研究所所长。主要从事机器证明、教育数学、距离几何及动力系统等领域的研究。

目录

第1章 几何定理机器证明概述
1.1 模拟人的思维——人工智能的开始
1.2 Gelernter的几何定理证明机
1.3 几何定理机器证明的吴方法
1.4 几何定理自动发现的吴方法
第1章 小结

第2章
2.1 传统的证明方法和机器证明的比较
2.2 有向三角形的带号面积
2.2.1 定理
2.2.2 基本命题
2.3 Hilbert交点命题
2.3.1 命题的描述
2.3.2 几何命题的谓词形式
2.4 面积法
2.4.1 从面积中消去点
2.4.2 从比例中消去点
2.4.3 自由点和面积坐标
2.4.4 几何定理证明举例
2.4.5 其他的消元技术
2.5 面积法和仿射几何
2.5.1 平面仿射几何
2.5.2 面积法和仿射几何
2.6 应用
2.6.1 公式推导
2.6.2 n3构型的存在性
2.6.3 Ceva与Menelus定理的推广
第2章 小结

第3章 平面几何机器证明
3.1 勾股差
3.1.1 勾股差和垂直
3.1.2 勾股差和平行
3.1.3 勾股差和面积
3.2 构造型几何命题
3.2.1 线性构造型几何命题
3.2.2 最小构造集合
3.2.3 谓词形式
3.3 线性可构型几何命题的机器证明
3.3.1 算法
3.3.2 优化的消去技巧
3.4 比率构造
3.4.1 更多的比率构造
3.4.2 全角法的机械化
3.5 面积坐标
3.5.1 面积坐标系
3.5.2 面积坐标和三角形的特殊点
3.6 三角函数和共圆点
3.6.1 共圆定理
3.6.2 共圆点的消去
3.7 可构型几何命题的机器证明
3.7.1 从几何量中消点
3.7.2 伪除法和三角形式
3.7.3 可构型几何命题的机器证明
3.8 基于演绎数据库的全角方法
3.8.1 建立几何信息库
3.8.2 基于几何信息库的机器证明
第3章 小结

第4章 演绎数据库方法
4.1 结构化的演绎数据库和推理策略
4.1.1 基于结构化数据的推理
4.1.2 有关的工作
4.2 几何推理规则
4.2.1 几何推理规则
4.2.2 非退化条件
4.2.3 准确的数值图形的构造
4.3 结构化数据库
4.3.1 数据库的结构
4.3.2 证明的生成
4.4 搜索和控制的策略
4.4.1 基于数据的搜索
4.4.2 避免冗余推理
4.5 构造辅助点和Skolem化
4.6 算法的实现与例题
4.6.1 算法的实现
4.6.2 应用
4.6.3 测试结果和例子
附录
第4章 小结

第5章 立体几何中的定理自动证明
5.1 带号体积
5.1.1 共面定理
5.1.2 体积和平行
5.1.3 体积与三维仿射几何
5.2 构造型几何命题
5.2.1 构造型几何命题
5.2.2 构造型几何图形
5.3 线性构造型几何命题的机器证明
5.3.1 关于体积的消点法
5.3.2 由面积比中消点
5.3.3 由长度比中消点
5.3.4 自由点和体积坐标
5.3.5 例子
5.4 空间中的勾股差
5.4.1 勾股差与垂直
5.4.2 勾股差与体积
5.5 体积法
5.5.1 算法
5.5.2 例子
5.6 体积坐标系
第5章 小结

第6章 非欧几何定理的机器证明
6.1 Cayley-Klein九种平面几何
6.1.1 直线上的三种度量
6.1.2 角度的三种度量
6.1.3 九种平面几何
6.2 Cayley-Klein几何的转化定理
6.3 双曲几何面积法
6.4 双曲几何的消元法
6.4.1 基本几何命题
6.4.2 从比率中消去点
6.4.3 从线性的几何量中消去点
6.4.4 从二次几何量中消去点
6.4.5 消去自由点
6.4.6 消去共圆的点
6.5 算法的实现与例子
第6章 小结

第7章 向量和机器证明
7.1 三维度量空间几何
7.1.1 内积和度量向量空间
7.1.2 度量向量空间的外积
7.2 立体度量几何
7.2.1 内积和外积
7.2.2 构造型几何语句
7.3 基于向量计算的机器证明
7.3.1 向量消点法
7.3.2 从内积和外积中消点
7.3.3 算法
7.4 度量平面几何中的机器证明
7.4.1 欧氏平面几何的向量方法
7.4.2 Minkowsky平面几何中的机器证明
7.5 使用复数的机器证明
第7章 小结
参考文献
索引

精彩书摘

　　《数学机械化丛书 12：几何定理机器证明的几何不变量方法》：
　　第1章 几何定理机器证明概述
　　1.1 模拟人的思维——人工智能的开始
　　现代意义上的计算机产生于20世纪40年代中期.最初的计算机基本上是用来从事数值计算的，例如计算炮弹的飞行轨迹.能有机会接触计算机的人无不为其巨大而神奇的计算能力所折服.很自然人们就开始对计算机提出新的更高的要求：计算机能否借助其巨大的计算能力产生只有人才能具有的某些智能行为呢？对这一问题的研究在20世纪50年代中期导致了人工智能这一领域的诞生。
　　要让计算机产生智能行为首先要问：什么是智能行为呢？人们马上想到数学定理证明.数学定理证明不仅被认为是高层次的智力活动，也被认为是人类一般问题求解能力最典型的代表与最好的训练方法.因此，美国学者Newell，Show与Simon便开始研究用计算机证明数学定理，开发了用于命题逻辑的定理证明器“逻辑理论机”（LT）.
　　Newell等采用的证明定理的基本方法是：模拟人证明定理的想法.这实际上是一种“搜索法最基本的搜索证明方法有两种：前推法与后推法。
　　（1）前推法与大英博物馆算法。
　　定理证明的前推法即由一个命题的假设A）开始，使用一组公理R由假设D0推出新的结论，这些新的结论和Do在一起组成DU再用同样方法从Dl推出更新的结论，这些更新的结论和D，一起组成D2，周而复始，直到得出所要证明的命题结论或得不出更新的结论为止.这一过程可表示如下：
　　一个有趣的问题是：如果不论是否已经获得要证的结论总是继续推理，是否在某一步必有Dk=Dk+1?果真如此，也就是说，我们已经不能由Dk推导出新的结论.换句话讲，我们达到了“推理不动点”：
　　这一不动点应该包含能由假设A）推导出的所有可能的结论.由此我们不仅可以证明所给定理，实际上还能发现所有能够用E从A）推导出的定理.
　　若果能如此，何其妙哉！实际情况并非如此.主要问题是随着推理步骤的增加，所得到的结论可能非常之多，以致于用很快且容量很大的计算机也不足以在合理的时间内解决问题.这就是所谓的“搜索空间爆炸”现象。
　　由此也不难理解前推法的一个别名“大英博物馆方法其意是讲如果由英文26个字母和几个标点符号出发，使用前推法写出字母与标点符号的所有可能组合，这里会有所有的单词、所有的句子，以致可以自动生成大英博物馆内的所有著作.显而易见，此路是不通的。
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前言/序言

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