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編輯推薦

適讀人群 ：數學模型與數學建模可作為高等學校數學與應用數學專業、信息與計算科學專業、統計學專業、係統工程專業、工商管理等專業的本科生或研究生的教材 也可作為工程技術人員、管理人員和相關學者的參考書。
　　《數學模型與數學建模》內容適閤數學與應用數學專業的特點和要求，同時兼顧信息與計算科學專業、統計學專業、係統工程、管理科學與工程、工商管理等專業的要求，可作為相關專業的本科生和研究生的教材，也可作為工程技術人員、管理乾部和相關學者的參考書。

內容簡介

數學模型與數學建模的內容包括數學建模常用軟件介紹, 代數模型, 微分與差分方程模型, 數學規劃, 概率統計方法模型, 圖論模型, 預測和決策模型, 全國大學生數學建模真題. 數學模型與數學建模注重闡述各類數學模型的基本原理和方法, 使之具有一定的係統性和新穎性; 同時也介紹瞭求解數學模型的MATLAB軟件、LINGO 軟件和R 軟件. 為瞭便於讀者理解和掌握數學模型與數學建模的內容, 數學模型與數學建模給齣瞭部分案例的模型及其求解程序代碼, 並配有適量的習題.

目錄

前言第 1章緒論 1
1.
1數學模型的概念及其特點 1


1.
2數學模型的分類 2


1.
3數學建模的基本步驟和方法 4



1.4數學建模和競賽及其對大學生創新能力培養的作用 5

第 2章數學建模常用軟件 7

2.1
MATLAB軟件介紹 7


2.1.1
MATLAB軟件的常用命令 7


2.1.2
MATLAB常用數據類型 9


2.1.3
MATLAB的矩陣運算 10


2.1.4
MATLAB的圖形繪製 12


2.1.5
MATLAB基本程序設計 . 13



2.2
LINGO軟件介紹 15


2.2.1
LINGO軟件的安裝 15


2.2.2
LINGO軟件的基本操作 16


2.2.3
LINGO語言程序設計 20




2.3
R軟件 .25

2.3.1
R軟件的下載安裝與基本操作 26


2.
3.2數字與嚮量運算 28

2.
3.3多維數組和矩陣 29

2.
3.4列錶與數據框 30

2.
3.5讀、寫數據文件 32


2.3.6控製流
35







2.3.7編寫自己的函數 36習題 38第 3章代數模型 . 42
3.1投入産齣模型 42
3.1.1投入産齣模型簡介 . 42
3.1.2投入産齣模型的産品分配方程 42

3.1.3投入産齣模型的産值構成方程 43

3.1.4列昂捷夫矩陣的存在性 44
3.1.5列昂捷夫矩陣的近似估計 44

3.1.6投入産齣模型的應用 45
3.2馬爾可夫預測模型 . 46
3.3層次分析法 52
3.3.1層次分析法的基本原理 52
3.3.2層次分析法的基本步驟 58
3.3.3單一準則下互反判斷矩陣排序嚮量的實用算法 59
3.3.4群決策排序嚮量簡潔算法 61習題 63第 4章微分與差分方程模型 . 66
4.1常微分方程模型 66

4.1.1飲酒駕車模型 66
4.1.2交通信號燈黃燈管製模型 71

4.2常微分方程組模型 . 75
4.2.1傳染病模型 . 75
4.2.2種群增長模型 83
4.2.3無乾擾的男生追女生模型 92

4.3偏微分方程模型 95

4.4差分方程模型 99
4.4.1差分方程及其平衡點的穩定性 99

4.4.2個人住房貸款模型 102
4.4.3蛛網模型 106習題 111第 5章數學規劃 113
5.1綫性規劃 113

5.1.1綫性規劃問題的數學模型及其標準形式 113
5.1.2綫性規劃問題的 LINGO軟件和 MATLAB軟件求解 116


5.1.3綫性規劃應用案例 118
5.2非綫性規劃 . 122
5.2.1非綫性規劃問題的數學模型和基本概念 123
5.2.2凸函數 124

5.2.3凸規劃及其性質 125
5.2.4含不等式約束的非綫性規劃問題的最優性條件 126
5.2.5應用 LINGO, MATLAB軟件求解非綫性規劃 127

5.3整數規劃 128

5.3.1整數規劃的例子和數學模型的一般形式 128
5.3.2整數綫性規劃解的特點 131

5.3.3割平麵方法和分支定界方法 131

5.3.4指派問題的數學模型 .132
5.3.5應用 LINGO軟件求解整數規劃 133

5.4多目標規劃 . 134習題 137第 6章概率統計方法模型 140
6.1概率模型與 Monte CArlo模擬 140

6.1.1概率模型 140
6.1.2 Monte CArlo模擬 143
6.2報童問題與隨機庫存模型 147
6.2.1報童問題 147
6.2.2隨機庫存模型 . 148
6.3綫性迴歸模型 150

6.3.1多元綫性迴歸模型 150
6.3.2逐步迴歸模型 . 155
6.4非綫性迴歸模型 158

6.5方差分析模型 162

6.5.1樣本分布的正態性檢驗 162

6.6主成分分析和因子分子模型 168

6.6.1主成分分析 168
6.6.2因子分析 173
6.7聚類分析 175

6.7.1距離 176

6.7.2譜係聚類法 177習題 180


第 7章圖論模型 186
7.1基本概念 186

7.1.1圖及其分類 186
7.1.2頂點的次 188
7.1.3子圖 189

7.1.4連通圖 189

7.1.5網絡 190

7.1.6圖的矩陣錶示 . 191
7.2最短路模型 . 192
7.2.1 DijkstrA算法模型 192
7.2.2 Floyd算法模型 195

7.2.3 0-1規劃模型 197

7.3網絡流模型 . 198
7.3.1最大流模型 198
7.3.2最小費用最大流模型 .207
7.4最優連綫模型與最優環遊模型 212
7.4.1最小生成樹模型 213
7.4.2旅行商模型 217習題 222第 8章預測和決策模型 224
8.1常用的單項預測模型 224

8.1.1時間序列預測模型 224
8.1.2迴歸分析預測模型 226
8.1.3灰色係統預測模型 228
8.2組閤預測模型 230

8.2.1非最優的組閤預測模型 230

8.2.2最優綫性組閤預測模型的建立 233

8.2.3最優組閤預測模型的實例分析 234

8.3不確定型決策 236

8.4風險型決策 . 238
8.4.1最大可能法 238
8.4.2最大期望收益值準則 .238
8.4.3具有樣本情報的決策分析 (貝葉斯決策 ) 239
8.5多屬性決策模型 242

8.5.1多屬性決策方法 242

8.5.2基於 OWA算子的多屬性決策模型 243
8.5.3基於 OWA算子的多屬性決策方法 244
8.6對策論模型 . 245
8.6.1矩陣對策的數學模型 .246
8.6.2矩陣對策的混閤策略 .248
8.6.3非閤作的對策模型 249
8.6.4閤作 n人對策 252
習題 254
第 9章全國大學生數學建模競賽真題 256

9.1高等教育學費標準探討 . 256
9.1.1問題提齣與分析 256
9.1.2若乾模型假設 . 257
9.1.3模型符號說明 . 257
9.1.4基於描述性統計量的我國高等教育學費的現狀分析 258

9.1.5高等教育學費標準確定的三種主要模型 259
9.1.6高等教育學費標準確定的三種主要模型的實證分析 264

9.1.7模型的優缺點分析 267
9.1.8高等教育學費的若乾政策建議 267

9.2公交查詢係統的最佳乘車方案研究與設計 269
9.2.1問題分析 270
9.2.2模型假設 270
9.2.3符號說明 270
9.2.4公汽站點之間綫路選擇模型 271

9.2.5同時考慮公汽與地鐵最佳綫路選擇模型 280
9.2.6已知站點間步行時間的綫路選擇模型 . 289
9.3 DVD租賃優化方案 293
9.3.1問題的重述 294
9.3.2模型假設及符號說明 .294
9.3.3模型的建立及求解 295
9.3.4結果分析 304
9.3.5模型的優缺點 . 304參考文獻 306

精彩書摘

1.1數學模型的概念及其特點
數學模型的曆史可以追溯到人類開始應用數學的時代 .自從人類使用數字開始 ,人們就不斷地建立各種數學模型 ,以解決各種各樣的實際問題 .在科學技術迅速發展的今天 ,隨著各類實際問題的需要 ,數學模型越來越多地齣現在人們的生産和生活中 ,如企業管理者、電氣工程師、氣象工作者、生物醫學專傢等 ,他們經常需要利用數學的工具去解決企業管理、人工智能、天氣預報、藥物療效分析等各行各業的專業性問題.用數學工具處理實際問題的方法就是在閤理假設的基礎上 ,通過建立相關的數學模型 ,來實現對實際問題的求解 .因此 ,建立數學模型是實際問題與數學工具之間聯係的一座不可或缺的橋梁 .
我們通過曆史上著名的哥尼斯堡七橋問題為例 ,瞭解如何從實際問題提取和抽象齣恰當的數學模型 ,來實現對實際問題的求解 .在哥尼斯堡的一個公園裏 ,有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來 .當時産生瞭這樣一個問題 ,即某人是否可能從這四塊陸地中任何一塊齣發 ,恰好通過每座橋一次 ,再迴到起點？
偉大的瑞士數學傢歐拉 (LeonhArd Euler)1736年發錶論文完滿迴答瞭這一問題 ,並將問題一般化為 “任意河道圖和任意多座橋 ,能否一條路綫通過每座橋恰好一次？ ”.歐拉在論文中將陸地抽象成點 ,橋抽象成綫 .4塊陸地區域及 7座橋被簡化和抽象成 4個點 (A, B, C,D)及連接這 4個點的 7條綫 .這樣就將問題轉化成瞭圖論中的一筆畫問題 ,即能否找到一個恰好包含瞭所有的綫 (或邊 ),並且沒有重復的路徑 .在圖論中定義 ,凡是經過一點的關聯綫 (或邊 )條數為奇數 ,則稱該點為奇點 ;凡是經過一點


的關聯綫 (或邊 )條數為偶數 ,則稱該點為偶點 .歐拉在論文中做瞭如下論證：
(1)
若圖中奇點隻有一個或超過兩個以上 ,不能實現一筆畫 ;

(2)
若圖中奇點僅有兩個 ,則由任一奇點齣發 ,可實現一筆畫而停在另一奇點上 ;

(3)
若圖中每個點都是偶點 ,則從任一點齣發 ,可實現一筆畫而迴到齣發點 .


根據上述三條結論 ,圖哥尼斯堡七橋問題所抽象齣的圖中的四個點均為奇點 ,因此不能實現一筆畫 .也就是說 ,沒有一條綫路能經過每座橋恰好一次 .進而我們可以根據上述三條結論判斷任意一個網絡圖能否實現一筆畫 .
所謂數學模型 ,是指針對或參照現實世界中某類事物係統的主要特徵、主要關係 ,經過簡化與抽象 ,用形式化的數學語言概括或近似地加以錶述的一種數學結構 .一般錶現為數理邏輯的邏輯錶達式、各種數學方程 (如代數方程、微分方程、積分方程等 )及反映量與量之間相互關係的圖形、錶格等形式 .它或者能解釋特定現象的現實狀態 ,或者能預測對象的未來狀態 ,或者能提供處理對象的最優決策與控製 .
一般地 ,好的數學模型應具備可靠性和可解性 (也叫適用性 )兩個方麵的特點 .可靠性是指在允許的誤差範圍內 ,能反映齣該係統有關特性的內在聯係 ;可解性是指易於數學處理與計算 .數學模型方法將復雜的研究對象簡單化、抽象化 ,撇開對象的一些具體特徵 ,減少其參數 ,隻抽取其主要量、量的變化及量與量之間的相互關係 ,在 “純粹 ”的形態上進行研究 ,突齣主要矛盾 ,忽略次要矛盾 ,用數學語言刻畫齣客觀對象量的規律性 ,簡潔明瞭地描述現實原型 ,揭示齣其本質的規律 ,並在對模型修正、求解的基礎上使原問題得以解決 .
因而 ,數學模型是對現實原形的一種理想化處理 ,是一個科學的抽象過程 ,因而具有高度的抽象性與形式化特徵 .這一特徵使其成為一種經典的方法工具 ,並隨著科學技術的數學化趨勢 ,大大超越瞭數學範疇 ,廣泛地應用於自然科學、工程技術和社會科學的一切領域 .它將現實問題歸結為相應的數學問題 ,並在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究 ,一方麵它從定性或定量的角度來刻畫實際問題 ,並為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導 ,另一方麵它是研究和掌握係統運動規律的有力工具 ,是分析、設計、預報或預測、控製實際係統的基礎 .

1.2數學模型的分類
數學模型可以根據不同的方式分類 ,下麵介紹一些分類方法 .
(1)
根據數學模型的應用領域 ,可分為人口模型、生物數學模型、醫學數學模型、經濟數學模型、生態模型、交通模型、數量經濟學模型、數量社會學模型等 .

(2)
根據建立數學模型的方法 ,可分為初等模型、微分方程模型、圖論模型、規劃模型、概率統計模型、幾何模型等 .


(3)根據人們對事物發展過程的瞭解程度 ,分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型 .


白箱模型是指那些內部規律比較清楚的模型 ,如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題 ;灰箱模型是指那些內部規律尚不十分清楚 ,在建立和改善模型方麵都還不同程度地有許多工作要做的問題 ,如氣象學、生態學、經濟學等領域的模型 ;所謂的黑箱模型 ,是指一些其內部規律還很少為人們所知的現象 ,如生命科學等方麵的問題 ,由於因素眾多、關係復雜 ,也可簡化為灰箱模型來研究 .
(4)
根據實際問題是否考慮不確定因素的影響 ,可分為確定性模型、隨機性模型和模糊性模型等 .

(5)
根據模型是否考慮時間因素的動態變化 ,可分為靜態模型和動態模型 .

(6)
根據模型中變量取值的性質 ,可以分為離散型模型和連續性模型 .



(7)
根據模型中參數的確定性情況 ,分為參數與非參數模型 .一般地 ,用代數方程、微分方程、微分方程組以及傳遞函數等描述的模型都是參數模型 ,建立參數模型就在於確定已知模型結構中的各個參數 ,通常通過理論分析總是得齣參數模型 .非參數模型是直接或間接地從實際係統的實驗分析中得到的響應 ,如通過實驗記錄到的係統脈衝響應或階躍響應就 數學模型與數學建模 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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