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贾茗 编

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• 微积分
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• 函数
• 极限

出版社： 中南大学出版社

ISBN：9787548705970

版次：1

商品编码：11121813

包装：平装

开本：32开

出版时间：2012-09-01

用纸：胶版纸

页数：467

正文语种：中文

内容简介

　　《高等学校教材：微积分》在抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力和运用所学知识分析解决问题能力等方面给予了重点训练。在材料处理上，作者从感性认识入手，上升到数学理论，突出重点，删去枝节，降低难度，删去纯理论证明，加强基本训练，对强化学生的数学思维很有帮助。

内页插图

目录

第1章 函数、极限与连续
1.1 函数
习题1-1
1.2 初等函数
习题1-2
1.3 数列的极限
习题1-3
1.4 函数的极限
习题1-4
1.5 无穷小与无穷大
习题1-5
1.6 极限运算法则
习题1-6
1.7 极限存在准则两个重要极限
习题1-7
1.8 无穷小的比较
习题1-8
1.9 函数的连续与间断
习题1-9
1.1 0闭区间上连续函数的性质
习题1-10
1.1 1 常用经济函数
习题1-11

第2章 导数与微分
2.1 导数的概念
习题2-1
2.2 函数的求导法则
习题2-2
2.3 高阶导数
习题2-3
2.4 隐函数的导数
习题2-4
2.5 函数的微分
习题2-5
2.6 导数和微分在经济学中的简单应用
习题2-6

第3章 微分中值定理与导数的应用
3.1 微分中值定理
习题3-1
3.2 洛必达法则
习题3-2
3.3 泰勒公式
习题3-3
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
习题3-4
3.5 函数的极值与最大值、最小值
习题3-5
3.6 函数图形的描绘
习题3-6
3.7 极值在经济学中的应用
习题3-7

第4章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
习题4-1
4.2 换元积分法
习题4-2
4.3 分部积分法
习题4-3
4.4 有理函数的积分
习题4-4

第5章 定积分
5.1 定积分的概念
习题5-1
5.2 定积分的性质
习题5-2
5.3 微积分基本公式
习题5-3
5.4 定积分的换元法和分部积分法
习题5-4
5.5 广义积分
习题5-5
5.6 定积分的几何应用
习题5-6
5.7 积分在经济分析中的应用
习题5-7

第6章 多元函数微分学
6.1 多元函数的基本概念
习题6-1
6.2 偏导数
习题6-2
6.3 全微分
习题6-3
6.4 复合函数微分法
习题6-4
6.5 隐函数微分法
习题6-5
6.6 多元函数的极值及其求法
习题6-6

第7章 二重积分
7.1 二重积分的概念与性质
习题7-1
7.2 在直角坐标系下二重积分的计算
习题7-2
7.3 在极坐标系下计算二重积分
习题7-3

第8章 无穷级数
8.1 常数项级数的概念和性质
习题8-1
8.2 正项级数的判别法
习题8-2
8.3 一般常数项级数
习题8-3
8.4 幂级数
习题8-4
8.5 函数展开成幂级数
习题8-5

第9章 微分方程
9.1 微分方程的基本概念
习题9-1
9.2 可分离变量的微分方程
习题9-2
9.3 一阶线性微分方程
习题9-3
9.4 可降阶的二阶微分方程
习题9-4
9.5 二阶线性微分方程解的结构
习题9-5
9.6 二阶常系数线性齐次微分方程
习题9-6
9.7 二阶常系数线性非齐次微分方程
习题9-7
习题参考答案
附录
附录Ⅰ 预备知识
附录Ⅱ 基本初等函数简介
附录Ⅲ常用曲线
附录Ⅳ常用曲面
附录Ⅴ数学家简介

精彩书摘

　　拉普拉斯对纯粹数学并不是很感兴趣，他爱好应用，数学只是一种手段，而不是目的，使人们为了解决科学问题而必须精通的一种工具。拉普拉斯的虚荣心较强，经常不交代他的结果的来源，给人的印象好像都是他自己的，事实上，他利用了拉格朗日的许多概念而未做声明。
　　五、最富创造性的数学家——黎曼
　　黎曼：黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）德国数学家，1826年9月生于德国汉诺斯的布雷斯赛伦茨，1866年7月卒于意大利塞拉斯卡。黎曼出身于一个生活困难的牧师家庭，从小就表现出如饥似渴的学习欲望，幼年时他的数学天赋就显露出来。
　　1846年，19岁的黎曼进入格丁根大学学习哲学和神学，不久转向数学，成为高斯晚年的学生。次年，黎曼转到柏林大学，在那里受到狄利克莱、雅可比、施泰纳和爱森斯坦等数学家的影响。1849年，黎曼又回到格丁根，两年后年获格丁根大学博士学位。1859年人格丁根大学担任教授，同年当选德国科学院院士。
　　黎曼在36岁时结婚，他的妻子是他妹妹的一个朋友。婚后不到一个月，黎曼就得了肋膜炎，由于康复不完全，结果导致肺结核，并且病情不断加重。病痛一直折磨着黎曼，直到他去世。
　　黎曼一生的著述不多，公开发表的论文共有18篇，连同12篇遗稿由韦伯和黎曼的学生戴德金于1876年编辑出版了《黎曼全集》。黎曼的每篇著作都异常深刻，极具创造和想象性，是数学的众多领域的奠基性、创造性的工作。黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，几乎他的每一篇论文都对20世纪的数学和物理产生了重要影响。
　　黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命。他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系一黎曼几何，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。对于微积分学，黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终搞清了连续与可微的关系，建立了如今微积分教科书所讲的黎曼积分的严密概念，并给出了这种积分存在的必要充分条件。另外他用自己独特的方法研究傅立叶级数，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理，对完善分析理论产生深远的影响。此外，黎曼还是复变函数论奠基者、组合拓扑的开拓者，在傅立叶级数、几何学基础、素数分布、微分方程、数学物理等许多领域都取得了辉煌成就，做出了重要贡献。黎曼还提出了一个至今未解决的重要猜想，即黎曼猜想。
　　六、家族数学家——雅各布·贝努利雅各布·贝努利（Jacob Bernoulli.1654一l705）1654年l2月出生于瑞士巴塞尔的一个商人世家。他毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位，后来遵照父亲的意愿又取得神学硕士学位，但他却不顾父亲的反对，自学了数学和天文学。
　　雅各布·伯努利在1678年和1681年的两次学习旅行，使他接触了许多数学家和科学家，丰富了他的知识，拓宽了他的兴趣。1687年，雅各布成为巴塞尔大学的数学教授，直到1705年去世。
　　……

前言/序言

经典之作的延伸阅读：拓宽您微积分视野的推荐书目 高等教育阶段的数学学习，如同攀登一座巍峨的山峰，而微积分正是这座山峰的基石与核心。 如果您已经深入研读了《高等学校教材：微积分》，对其理论框架、基本概念和解题技巧已然掌握，那么接下来的挑战，便是如何将这些知识融会贯通，并应用于更广阔的领域，领略数学思想的深度与广度。 以下推荐的书目，旨在作为您学习《高等学校教材：微积分》后的有力补充，它们并非简单地重复您已学的内容，而是从不同角度深化理解、拓展应用，甚至触及更高阶的数学前沿。 --- 第一部分：夯实基础，深化理解（概念的精炼与严谨性） 即便是最优秀的教材，也可能在某些角度的阐述上略显简略。这部分推荐的书籍，侧重于提升您对微积分基础概念——极限、连续性、导数与积分——的逻辑严谨性和几何直观的把握。 1. 《托马斯微积分》（Thomas' Calculus）/ 或其他经典权威教材的进阶版本 尽管您已使用教材，但不同作者的侧重点和叙事方式会带来新的启发。托马斯系列（或其他国际公认的权威教材，如斯皮瓦克（Spivak）的《微积分学》或福德斯（Foude's）的《微积分原理》）的优势在于其体系的完备性和例题的经典性。 深入的几何解释： 这类教材往往会花费更多篇幅来解释泰勒定理背后的几何意义，以及多重积分在不同坐标系下的物理图像。它们通常会提供更丰富的插图和更详细的证明步骤，帮助读者建立“为什么成立”的深刻认识，而非仅仅停留在“如何计算”。 严谨的证明推导： 对于那些对$epsilon-delta$语言感到困惑的读者，权威教材会提供更细致的逻辑链条，帮助读者理解极限定义的数学美感和绝对性。 2. 《数学分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）—— 沃尔特·鲁丁（Walter Rudin） 这本书是许多数学系学生心中的“圣经”。它并非面向初学者，而是面向那些希望将微积分提升到数学分析高度的学习者。 从实数系开始的重建： 鲁丁的分析学从最基本的实数集构造开始，重新审视了极限、连续性、收敛性。它能让您清晰地看到，我们日常使用的微积分运算，其背后的公理基础是何等坚实。 抽象思维的训练： 相比应用导向的教材，鲁丁的书籍更注重证明的简洁和优雅。阅读它，您将学会如何用最少的假设，推导出最普适的结论，这对于培养严密的数学思维至关重要。 --- 第二部分：拓展应用，跨学科融合（从理论到实践） 微积分的真正力量在于其无所不能的应用性。这部分推荐的书籍将引导您如何利用微分和积分工具解决物理、工程乃至经济学中的实际问题。 3. 《常微分方程》（Ordinary Differential Equations）—— 经典教材（如博迪-迪特里希，Boyce & DiPrima） 微积分是求解微分方程的“语言”。掌握了导数和积分，下一步自然是研究微分方程，它们是描述自然界中变化率的数学模型。 建立模型的能力： 这类书籍会展示如何将诸如人口增长、放射性衰变、电路振动、弹簧振动等物理场景，转化为一阶或二阶线性/非线性微分方程。 求解方法的系统性： 您将学习到更高级的求解技术，如拉普拉斯变换、级数解法、常数变易法等，这些都是微积分工具箱的强大延伸。 4. 《向量微积分与多元微积分》（Vector Calculus and Multivariable Calculus）—— 侧重于物理应用的版本 如果您的微积分教材只是简单引入了偏导数和多重积分，那么专门的向量微积分书籍将是进入物理世界（电磁学、流体力学）的钥匙。 三大基本定理的直观理解： 重点在于格林定理（Green's Theorem）、斯托克斯定理（Stokes' Theorem）和高斯散度定理（Gauss' Theorem）。这些定理是连接场论、线积分、面积分和体积分的桥梁。 物理图像的对应： 例如，理解散度（Divergence）如何代表流体的源或汇，旋度（Curl）如何代表流体的旋转趋势。这将彻底改变您对梯度、散度和旋度的理解，使它们不再是简单的算子符号，而是描述空间变化的物理量。 --- 第三部分：探索更广阔的数学疆域（通向高等数学的阶梯） 一旦您对单变量和多元微积分感到游刃有余，就可以开始探索更抽象、更广阔的数学领域，微积分是许多现代数学分支的起点。 5. 《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications） 线性代数与微积分是现代科学的两大支柱。虽然两者看似不同，但在许多领域（如偏微分方程的数值解、多元函数的优化）中，它们是紧密结合的。 理解高维空间： 微积分中的多变量函数可以被视为在$n$维空间中的行为。线性代数提供了描述和操作这些高维空间的框架（向量、矩阵、变换）。 特征值与稳定性分析： 通过学习特征值和特征向量，您可以分析常微分方程组的长期行为和系统的稳定性，这是微积分在工程控制领域的核心应用。 6. 《傅里叶分析导论》（Introduction to Fourier Analysis） 傅里叶分析是连接连续世界（微积分）和离散世界（数字信号处理）的桥梁。 级数与积分的升华： 它将您熟悉的泰勒级数推广为傅里叶级数，用三角函数来逼近任意周期函数。这展示了周期性的强大力量。 应用到偏微分方程： 傅里叶方法是求解热传导方程、波动方程等重要偏微分方程的标准工具。您会发现，许多看起来复杂的物理问题，在傅里叶域中变得异常简洁。 总结 您的《高等学校教材：微积分》为您提供了“如何做”（How to do）的技能。而上述推荐的书目，则旨在提供“为什么”（Why it works）的深刻理解，以及“还能做什么”（What else can it do）的广阔前景。通过选择性地深入研读这些延伸材料，您可以将微积分从一门课程，升华为一种强大的、应用于整个科学与工程领域的思维方式。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直打开了我的新世界！一直以来，我对微积分这个学科总是望而却步，感觉它像是数学王国里最遥远、最难以攀登的山峰。然而，当我翻开《高等学校教材：微积分》时，这种恐惧感瞬间烟消云散。作者的叙述方式太亲切了，就像一位经验丰富的向导，耐心地指引我一步步探索微积分的奥秘。他没有上来就抛出一堆复杂的公式和定义，而是从生活中常见的现象入手，比如物体的运动速度、曲线的形状等等，将抽象的概念变得鲜活起来。我记得其中一个章节，通过一个关于“追及问题”的生动案例，让我一下子理解了导数的概念，原来它就是描述事物变化率的工具。更让我惊喜的是，书中穿插了大量历史故事和名人轶事，比如牛顿和莱布尼茨在微积分创立过程中的趣闻，这不仅增加了阅读的趣味性，更让我意识到，这些看似高深的数学理论，背后蕴含着人类智慧的闪光。我尤其喜欢那些充满启发性的思考题，它们不像简单的练习题，而是鼓励我去独立思考，去挖掘更深层次的理解。这本书不仅仅是一本教材，更像是一本引导我去探索数学世界、培养逻辑思维的启蒙读物，我强烈推荐给所有对微积分感到好奇但又害怕的人。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，这是一本让我从“不得不学”变成了“想要学”的神奇教科书。作为一名工科生，微积分是我学习生涯中绕不开的一道坎，但过去接触的教材往往枯燥乏味，充斥着冰冷的符号，让我提不起丝毫兴趣。直到我遇到了《高等学校教材：微积分》。这本书的编排逻辑非常清晰，它不是简单地堆砌知识点，而是层层递进，循序渐进地引导读者进入微积分的殿堂。每一章的开头都会有一个引人入胜的“引入”，让我对接下来的内容产生浓厚的兴趣。书中对于概念的解释也力求深入浅出，图文并茂，特别是那些精心绘制的示意图，将抽象的函数图像、积分区域等具象化，让我能够一目了然地理解。我还发现，这本书非常注重数学思想的传达，它不仅仅告诉我们“怎么做”，更重要的是解释“为什么这么做”，这让我对微积分的本质有了更深刻的认识。例如，在讲解积分时，它并没有急于给出计算公式，而是先通过分割、近似、极限的思想，让我们理解积分的几何意义和物理意义，这种“授人以渔”的方式让我受益匪浅。我强烈推荐这本书给所有希望扎实掌握微积分基础，并且真正理解其背后数学思想的学生。

评分☆☆☆☆☆

这本《高等学校教材：微积分》完全颠覆了我对微积分教材的固有印象。我一直觉得数学教材就应该是严肃、呆板的，但这本书却充满了活力和人性化的关怀。作者在讲解过程中，仿佛一位耐心而睿智的长者，时刻关注着读者的理解程度。他善于运用类比和比喻，将复杂的概念转化成我们日常生活中熟悉的场景，比如用“河流的流量”来解释积分，用“速度的变化”来类比加速度，这些鲜活的例子让微积分不再是枯燥的符号运算，而是与现实世界紧密相连的强大工具。书中不仅提供了大量的例题，而且每道例题都带有详细的解题思路和步骤分析，这对于我这种基础薄弱的学生来说，简直是福音。更让我惊喜的是，这本书在数学严谨性的基础上，并没有牺牲掉可读性。它用一种非常流畅的语言，将复杂的数学理论娓娓道来，即使是初学者也能轻松跟上节奏。我尤其欣赏作者在章节末尾设置的“思考与讨论”环节，这些问题往往具有开放性，引导我们跳出书本的框架，去进行更深入的探索和创新。这本书让我真正体会到了学习微积分的乐趣，也提升了我对数学学习的信心。

评分☆☆☆☆☆

作为一个曾经对数学感到头疼的学生，我曾一度认为微积分是我学习道路上的“滑铁卢”。然而，这本《高等学校教材：微积分》却彻底改变了我的看法。它的叙述方式极其接地气，就像一位循循善诱的老师，将原本令人望而生畏的微积分知识，转化为一个个生动有趣的故事和场景。我记得在学习“导数”的概念时，书中用一个关于“跑车速度”的比喻，将瞬时变化率的抽象概念形象化，让我立刻就抓住了问题的核心。而且，这本书非常注重数学的应用性，它并没有孤立地讲解数学理论，而是将微积分的概念与物理学、经济学、工程学等多个领域的实际问题巧妙地结合起来。这让我明白了学习微积分的真正意义，它不仅仅是为了应付考试，更是为了解决现实世界中的各种挑战。书中还包含了大量的练习题，难度适中，覆盖面广，能够帮助我们巩固所学知识，并且熟悉各种解题技巧。这本书让我深刻地体会到，数学并非高高在上，而是与我们的生活息息相关的强大工具。我强烈推荐给所有对微积分感到困惑，但又渴望掌握它的人。

评分☆☆☆☆☆

我不得不说，这本《高等学校教材：微积分》是为数不多的让我愿意反复翻阅的教材之一。它最大的特点在于其深厚的理论功底和出色的教学设计完美结合。在数学的严谨性方面，这本书做得无可挑剔，每一个定义、每一个定理的推导都清晰到位，逻辑链条严密。但与许多过于学院派的教材不同的是，这本书在保持严谨性的同时，又充分考虑到了学习者的接受能力。它的语言风格非常精炼，但又不失温度，能够准确地传达出数学的美感和力量。我特别喜欢书中关于“极限”的讲解，它循序渐进地展示了极限的思想是如何一步步构建起来的，从直观的理解到严格的定义，让我对这个微积分的基石有了深刻的认识。此外，书中对于各种函数性质的讨论，也分析得非常透彻，不仅教会了我们如何计算，更重要的是让我们理解了这些性质的含义以及它们在实际应用中的价值。每次学习完一个章节，我都能感觉到自己的数学思维得到了极大的提升，对问题的理解也更加深入。这本书无疑是为那些想要真正掌握微积分精髓，并且培养扎实数学功底的学生量身定做的。

评分☆☆☆☆☆

这本书一般吧，主要孩子想先熟悉一下

评分☆☆☆☆☆

满意

评分☆☆☆☆☆

不错

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很好

评分☆☆☆☆☆

总体不错。

评分☆☆☆☆☆

内容很好，但纸质不是很好

评分☆☆☆☆☆

内容很好，但纸质不是很好

评分☆☆☆☆☆

内容很好，但纸质不是很好

评分☆☆☆☆☆

内容很好，但纸质不是很好