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内容简介

　　 《经济学中的数学》主要介绍高等数学在经济学中的应用。主要包括八个部分。第一部分为导论（第1-5章），主要介绍一元微积分及其应用。第二部分（第6-11章）介绍线性代数及其在经济学中的应用，包括线性方程组及其解法、矩阵代数、行列式等内容。第三部分（第12-15章）介绍多元微分并重点应用于比较静态分析。第四部分（第16-22章）主要是优化方面的内容，包括无约束优化和约束优化等问题。第五部分（第23-25章）介绍特征值与动态学，引入差分方程解决动态经济学的有关问题。第六部分（第26-28章）介绍高等线性代数。第七部分（第29-30章）的高等数学分析是对前面经济学数学方法的进一步深化。第八部分重点介绍数学本身的方法论问题。在《经济学中的数学》的最后，我们提供了部分习题的答案。

作者简介

卡尔·P·西蒙，密歇根大学数学、经济学、制度经济学、公共政策研究领域教授，记忆凤凰能源研究所社会科学部副主任，制度经济学研究中心创始主任（1999—2009年）。西蒙毕业于西北大学，获博土学位，曾在加利福尼亚大学、伯克利大学和北卡罗来纳大学任教过。他获得过许多教学荣誉，包括密歇根大学最佳教授奖和教学卓越奖。

目录

第Ⅰ篇 导论
第1章 引言
1.1 经济理论中的数学
1.2 消费者选择模型
消费者选择的二维模型
消费者选择的多维模型
第2章 一元微积分：基础
2.1 r1上的函数
2.2 线性函数
2.3 非线性函数的斜率
2.4 求导
导数的运算法则
2.5 可微与连续
2.6 高阶导数
2.7 微分近似
第3章 一元微积分：应用
3.1 用一阶导数作图
3.2 二阶导数与凸性
3.3 有理函数作图
3.4 尾部和水平渐近线
3.5 极大值与极小值
3.6 经济应用
第4章 一元微积分：链式法则
4.1 复合函数与链式法则
4.2 反函数及其导数
第5章 指数与对数
5.1 指数函数
5.2 无理数e
5.3 对数
5.4 指数与对数的导数
5.5 指数与对数的导数
5.6 应用

第Ⅱ篇 线性代数
第6章 线性代数导论
6.1 线性方程组
6.2 线性模型举例
第7章 线性方程组
7.1 高斯消元法和高斯-约当消元法
7.2 初等行变换
7.3 多解或无解方程组
7.4 秩——基本准则
7.5 线性隐函数定理
第8章 矩阵代数
8.1 矩阵的运算
8.2 几种形式特殊的矩阵
8.3 初等矩阵
8.4 方阵的运算
8.5 投入-产出矩阵
8.6 分块矩阵（选学）
8.7 分解矩阵（选学）
第9章 行列式概论
9.1 矩阵的行列式
9.2 行列式的应用
9.3 克莱姆法则的应用：is-lm模型分析
第10章 欧几里德空间
10.1 欧几里德空间的点和向量
10.2 向量
10.3 向量代数
10.4 rn中的长度和内积
10.5 线
10.6 平面
10.7 经济应用
第11章 线性无关
11.1 线性无关
11.2 生成集
11.3 rn中的基和维数
11.4 结语

第Ⅲ篇 多元微分
第12章 极限和开集
12.1 序列和实数
12.2 rm中的序列
12.3 开集
12.4 闭集
12.5 紧集
12.6 附注
第13章 多元函数
13.1 欧几里德空间中的函数
13.2 函数的几何作图
13.3 几类特殊的函数
13.4 连续函数
13.5 函数术语
第14章 多元微分
14.1 偏导数的定义和举例
14.2 偏导数的经济意义
14.3 偏导数的几何意义
14.4 全导数
14.5 链式法则
14.6 定向导数和梯度向量
14.7 从rn到rm的显函数
14.8 高阶导数
14.9 附注
第15章 隐函数及其导数
15.1 隐函数
15.2 阶层曲线及其切线
15.3 隐函数方程组
15.4 应用：比较静态分析
15.5 反函数定理（可选）
15.6 应用：辛普森悖论

第Ⅳ篇 最优化
第16章 二次型和定矩阵
16.1 二次型
16.2 二次型的定义
16.3 线性约束与加边矩阵
16.4 附录
第17章 无约束最优化
17.1 定义
17.2 一阶条件
17.3 二阶条件
17.4 总体极大值和总体极小值
17.5 经济应用
第18章 约束最优化i：一阶条件
18.1 举例
18.2 等式约束
18.3 不等式约束
18.4 混合约束条件
18.5 约束条件下的最小化问题
18.6 库恩-塔克条件
18.7 举例及应用
第19 章约束最优化ii
19.1 乘子的意义
19.2 包络线定理
19.3 二阶条件
19.4 对参数的平滑依赖
19.5 约束限制条件
19.6 一阶条件的证明
第20章 齐次函数和位似函数
20.1 齐次函数
20.2 函数的齐次化
20.3 基数效用与序数效用
20.4 位似函数
第21章 凹函数与准凹函数
21.1 凹函数与凸函数
21.2 凹函数的性质
21.3 准凹函数与准凸函数
21.4 假凹函数
21.5 凹函数的最优化
21.6 附录
第22章 经济应用
22.1 效用与需求
22.2 经济应用：利润与成本
22.3 帕累托最优
22.4 福利理论基础

第Ⅴ篇 特征值与动态学
第23章 特征值与特征向量
23.1 定义与举例
23.2 解线性差分方程
23.3 特征值的性质
23.4 重复特征值
23.5 复数特征值和特征向量
23.6 马可过程
23.7 对称矩阵
23.8 二次型的定性
23.9 附录
第24章 常微分方程：纯量方程
24.1 定义和举例
24.2 显性解
24.3 线性二阶方程
24.4 解的存在性
24.5 r1上的相位图与均衡
24.6 附录：应用
第25章 常微分方程：方程组
25.1 平面方程组介绍
25.2 线性方程组与特征值
25.3 替代法求解线性方程组
25.4 稳态与稳定性
25.5 平面方程组的相位图
25.6 初积分
25.7 李雅普诺夫函数
25.8 附录：线性化

第Ⅵ篇 高等线性代数
第26章 行列式：详述
26.1 行列式的定义
26.2 行列式的性质
26.3 行列式的应用
26.4 经济应用
26.5 附录
第27章 矩阵的子空间
27.1 向量空间与子空间
27.2 子空间的基和维度
27.3 行空间
27.4 列空间
27.5 零空间
27.6 抽象向量空间
27.7 附录
第28章 线性无关的应用
28.1 方程组的几何性质
28.2 资产组合分析
28.3 投票悖论
28.4 活动分析：可行性
28.5 活动分析：有效性

第Ⅶ篇高等分析
第29章 极限和紧集
29.1 柯西序列
29.2 紧集
29.3 连通集
29.4 欧几里德范数
29.5 附录
第30章 多变量微积分ii
30.1 威尔斯特拉斯定理和中值定理
30.2 r1上的泰勒多项式
30.3 rn上的泰勒多项式
30.4 二阶最优化条件
30.5 约束条件下的最优化

第Ⅷ篇附录
附录a1 集合、数与证明
a1.1 集合
a1.2 数
a1.3 证明
附录a2 三角函数
a2.1 三角函数的定义
a2.2 三角函数曲线
a2.3 毕达哥拉斯定理
a2.4 三角函数的值
a2.5 多角公式
a2.6 实值函数
a2.7 三角函数的微积分
a2.8 泰勒级数
a2.9 对定理a2.3的证明
附录a3 复数
a3.1 背景
a3.2 多项式方程的解
a3.3 复数的几何式
a3.4 复数的指数式
a3.5 差分方程
附录a4 微积分
a4.1 反导数
a4.2 微积分基本定理
a4.3 府用
附录a5 概率导论
a5.1 事件的概率
a5.2 期望和方差
a5.3 连续随机变量
附录a6 部分习题的答案
索引

精彩书摘

第Ⅰ篇 导论
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第1章 引 言 1.1 经济理论中的数学 近30年来，数学作为一门“经济学语言”兴起了。今天的经济学家在从事 经济研究的时候都会把数学作为一种必备的工具，无论他们是在用统计数据来 表达现实世界的变化发展趋势，还是在发展完全抽象的经济制度。本书将对数 学和经济学之间的这种密切联系进行更加深入的介绍。 从最基本的层面上看，数学是我们围绕相关的经济变量得出经验性命题的 依据。我们可以说“汽油价格上升10 %将导致汽油需求量下降5%”，用数学的 形式把这种关系表达出来就是需求函数。我们也可以把上述的观察结论概括为 “汽油的需求弹性是-0.5”。为了了解汽油价格与汽油需求量之间的这种关系， 我们只需使用统计技术，这种技术本身就是数学的一门分支。利用统计技术， 经济学家把来自现实世界的原始数据加工成上面提到的需求函数和需求弹性那 样的抽象数学表达式。 进一步讲，这种统计关系一旦形成，就能够与同类型的其他关系相关联。 这使经济学家逐步构建起了一个由各种相互联结的关系组成的整体关系网，有 了这个关系网，经济学家就能对那些相互之间只存在间接性关系的经济变量进 行推断。例如，从“汽油需求量（在某个特定的社会中）下降的百分比是它的 价格上升的百分比的一半”这样的信息出发，经济学家可以考察汽油的价格与 石油的价格、生活成本或电的需求之间的关系。 当然，统计技术仅仅是数学对于经济学的重要性的一个表现。例如， 为了更深入地了解现实中的市场和商品，经济学家构建了各种数学表达式， 并以此建立模型将现实中的各种经济关系用数学方式加以表达。建模过程 一旦完成，就可以为进一步的研究提供基础框架。毕竟，人无论在什么时 候都不可能彻底地了解现实世界社会、文化和经济等方面的所有信息，而4
数学模型能帮助我们把现实世界的复杂性压缩到可以对其进行分析处理的 比例上。 显然，如果我们只是把建模当作是对研究对象的压缩和组织的话，模型不 是数学分析所特有的。即使是社会学和人类学这样的社会科学也在很大程度上 依赖于某些类型的模型，无论它们是在考察还是在表达它们的研究内容，尽管 它们的研究技术带有更浓厚的“文学”色彩。不过，数学建模对经济学来说是 特别有用的，为什么会这样呢?这有很多原因。 首先，借助数学模型，经济学家可以对经济学术语进行更加精确的定 义。经济学家在从事复杂的思维工作之前，必须明确地表达出潜在的假设 前提条件。显然，经济学家以抽象思维生成的精确内涵，不应该只是为经 济学家本人所理解，还应该考虑到那些研读他的研究成果的人。这使我们 很可能会集中在某一个方面讨论模型与现实世界的相关性，甚至可能会把 理论模型转化为统计公式，好让模型的有效性可以用现实世界的数据来加 以检验。 数学不仅被用来对事实进行组织，而且被用来积极地生成和考察新的理 论观点。有时候，往往为了获取适用于各种经济状况而不只是某个特定地区 或国民经济体的定理，经济学家采用了逻辑演绎这样的数学方法。例如，考 虑这样一个定理———对资源进行竞争性的市场配置就是帕累托最优，这是许 多中级微观经济学教材里极为重要的定理。这个定理用一个简化了的形式强 调，在一个竞争性的制度里，当市场处于供求均衡的出清状态时，消费或生 产的任一可能的变动都会使某些人的境况改善，同时也会让其他人的境况恶 化。不过，这个定理显然与“汽油需求量下降的百分比是它的价格上升的百 分比的一半”这样的表达不同，它不是来自对日常世界的直接观察，也并非 来自对日常世界的统计技术表达。相反，它是一个在逻辑上产生于对各种市 场的理想化数学表达的普遍适用的原理。由于被用来生成定理的数学与直接 观察到的是如此的不同，以至于我们不可能对定理最终的正确性进行经验测 试。只有定理具有对于世界经济或某个特定的国家或地区经济的可适用性， 才可以拿来进行公开地检验和测试。 数学不仅能帮助我们从经济模型中提取理论观点，更是我们拓展经济模型 的适用范围所必需的，除非模型本身过于狭隘而不能普遍适用。例如，在初级 经济学教材里的习题，通常出于简化的目的把模型本身限定为两物品的生产或 销售。而高级微观经济学的学生或研究工作中的经济学家则用数学来拓展这些 初级教材里的模型，好让模型可以一次性地包含更多的信息———比如通货膨 胀、附加产品、附加竞争者或任一数量的其他因素。从这一点出发，我们接下 来将用一个具体的例子来说明，数学是如何被用来拓展那些我们所熟知的简单 几何模型的适用范围的。 5
1.2 消费者选择模型 消费者选择的二维模型 当我们在中级微观经济学课程里学习有关消费者选择的新古典模型时，我 们通常假设消费者只有两种物品———比如出于讨论的目的，以小机件（gadget） 和小器具（widget）为例———可以选择。如果用x 1 表示消费者购买小机件的数 量，x 2 代表消费者购买的小器具数量。那么，（x 1 ，x 2 ）就代表消费者对这两 种物品购买量的各种可行的选择，我们把（x 1 ，x 2 ）称为“商品束”。如果再假 设x 1 和x 2 是任意的非负值，那么我们就可以用几何的形式把一个由所有可能 存在的商品束组成的集合表示在平面的非负象限里。我们把该象限称为“商品 空间”。例如在图1.1中，商品束里的小机件的数量用水平坐标轴来表示，小器 具的数量则用垂直坐标轴来表示。 图1.1 商品空间里的两物品商品束 消费者对商品空间里的商品束有一定的偏好:给定任意两个商品束，消费 者要么认为其中的一个比另一个好，要么觉得两个商品束对他来说一样好。如 果消费者的偏好满足特定的一致性假设，那么这些偏好就可以用一个效用函数 来表示。效用函数赋予每个商品束真实的数值。如果消费者认为（x 1 ，x 2 ）优 于（y 1 ，y 2 ），那么效用函数将赋予（x 1 ，x 2 ）大于（y 1 ，y 2 ）的效用值。我们 用U x 1 ，x 2 表示效用函数赋予（x 1 ，x 2 ）的效用值。我们通常把这些效用值 用一系列的无差异曲线描绘在商品空间里，就像图1.2所显示的。在效用函数 赋予给定的无差异曲线上所有的商品束具有相同的效用值。换句话说，在同样 一条无差异曲线上，消费者会认为任 意两个商品束对他来说都一样好。图1.2 里的箭头表示偏好变动的方向:无差异曲线上的商品束越是远离坐标轴的原6
点，就越被消费者认为优于那些靠近原点的无差异曲线上的商品束，这体现了 消费者“越多越好”的偏好观。 图1.2 商品空间里的无差异曲线 我们用效用函数这种表达式来描述消费者的选择行为。假如一个消费者面 对商品束的集合B，并被要求在B中选择他想要的商品束。消费者将根据他或 她在集合B上的效用函数的最大化原则来选择商品束。在特定的集合上最大化 特定的函数是一个数学问题。 到此为止，我们只是描述了一个非常简单的有关消费者选择的数学模型。 这个模型把消费者选择的许多方面的因素都抽象或忽略掉了，而这些因素在某 些情况下被认为是非常重要的。例如，消费者如何“了解”到足够多的信息? 如何利用这些信息来做出诸如购买多少数量物品等抉择?消费者的偏好来自哪 些方面?它们又是如何受到决策所处环境的影响?能够肯定的是，某些选择活 动可能是习惯养成的，例如点燃香烟的方式，而我们在模型里却忽略了习惯方 面的所有信息。某些选择受社会习俗影响，例如公司管理者选择工作服的款 式，而社会习俗的作用在我们的模型中没有被明确地指出。通过略去这些和其 他方面的选择因素，我们构建了一个简单、容易理解的行为选择模型。然而， 潜在的重要因素被忽略的事实可能会让这个模型的适用性受到限制，因为对某 些应用来说，一个更加复杂的模型可能是必需的。 所幸的是，我们无意用这个简单的模型去解释所有的选择行为。我们只想了 解那些产生于市场的选择。我们把这些选择的情况描述如下:与每个商品相联系 的是商品束里的商品价格，其中p 1 代表小机件的价格，p 2 代表小器具的价格。 我们的消费者有M美元的收入在这两种物品中进行支出。消费者的支出不能超过 他或她所拥有的收入。 具体来说，商品束（x 1 ，x 2 ）的成本是p 1 x 1 +p 2 x 2 ，这个 成本不能超过M。我们的简单模型只需适用于如下形式的集合选择: B= x 1 ，x 2 :x 1 ≥0，x 2 ≥0，p 1 x 1 +p 2 x 2 ≤M 这就是消费者所能想象得到的可能要面对的 预算集合 。 ①
7
预算集合易于直观分析。在商品空间里，我们可以根据方程p 1 x 1 +p 2 x 2 = M画一条预算线。在这条预算线中或下面的点都是消费者可以用他或她的收入 M支付得起的商品束。这些点位于图1.3中的三角形OAD里。 图1.3 预算集合 OAD和无差异曲线 最大化问题同样也可以直观地进行分析。消费者将从预算集合里选择那些 能让他或她的无差异曲线尽可能高的商品束。例如在图1.3里，c点代表消费 者可以在OAD里选择的能够给他或她带来最大效用的商品束。它构成了消费 者的最优商品束，该商品束———有时候也被称为消费者在价格p 1 和p 2 上的 需 求束 ———的主要特点是，包含c点的无差异曲线u除了c点以外，完全位于预 算集合的外面，而在c点上，无差异曲线u与预算线相切。这通常可以表述为: 在c点，消费者的边际替代率（无差异曲线在c点的斜率）正好等于两种物品 的价格比（预算线的斜率）。 在这个二维的框架下，我们可以做如下的各种实验:当小机件的价格上升 时，小器具的需求量将发生怎样的变化?当消费者的收入增加或小器具的价格 上升时，情况又会怎样?这些实验有时候也被称为 比较静态 问题。增加消费者
的收入M和提高小机件的价格p 1 所产生的效应见图1.4和图1.5。 图1.4 M的增长效应 8
图1.5 p 1 的增长效应 经济学中的数学 电子书 下载 mobi epub pdf txt

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