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周治国 编

图书标签:

• 组合数学
• 离散数学
• 数学建模
• 算法
• 图论
• 排列组合
• 计数原理
• 数学分析
• 高等数学
• 应用数学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560332888

版次：1

商品编码：10978150

包装：平装

丛书名： ACM-ICPC程序设计系列

开本：16开

出版时间：2012-03-01

页数：200

正文语种：中文

编辑推荐

《组合数学及应用》结合一些ACM-ICPC竞赛的经典试题，以程序设计思想和方法为主线，介绍了ACM-ICPC中所需要的组合数学基础知识和基本理论，重点地、系统地介绍和ACM-ICPC竞赛密切相关的概念、定理以及算法。

内容简介

《组合数学及应用》属于ACM-ICPC程序设计竞赛数学基础丛书。《组合数学及应用》以程序设计思想和方法为主线，由浅入深地介绍组合数学的基础知识，并以经典的ACM-ICPC竞赛题目为例讲解组合数学在竞赛中的具体应用问题。
全书共分6章，分别介绍了排列组合、母函数、容斥原理与鸽巢原理、群和Polya定理、组合计数与编码、线性规划的基本知识及其应用。
《组合数学及应用》既可以作为组合数学的人门教程，也可作为参加ACM-ICPC程序设计竞赛的培训教材，还可供ACM-ICPC程序设计竞赛培训教师或相关专业研究人员参考。

目录

第1章 排列组合
1.1 排列与组合
1.2 两个基本计数原理
1.2.1 加法原理
1.2.2 乘法原理
1.3 特殊排列组合
1.3.1 重复排列
1.3.2 重复组合
1.3.3 不全相异的全排列
1.3.4 圆周排列
1.4 排列的生成算法
1.4.1 序数法
1.4.2 字典序法
1.4.3 邻位互换法
1.5 组合的生成
1.6 练习题

第2章 母函数
2.1 普通母函数
2.2 整数的拆分
2.3 Ferrers图像
2.4 指数型母函数
2.5 递推关系
2.6 斐波那契数列
2.7 Stirling数
2.8 Catalan数
2.9 练习题

第3章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 容斥原理
3.1.1 De Morgan定理
3.1.2 容斥原理的定义
3.2 容斥原理的应用
3.2.1 错排问题
3.2.2 棋盘多项式与有禁区的排列
3.3 Mobius反演定理
3.4 鸽巢原理
3.5 Ramsey数
3.5.1 Ramsey问题
3.5.2 Ramsey数
3.6 应用实例
3.7 练习题

第4章 群和Polya定理
4.1 等价关系、群与置换群
4.1.1 等价关系
4.1.2 群和置换群
4.2 循环与对换
4.3 Burnside引理
4.3.1 共扼类
4.3.2 k不动置换类和等价类
4.3.3 Burnside引理
4.4 Polya定理
4.5 Polya定理应用举例
4.6 练习题

第5章 组合计数与编码
5.1 均衡不完全区组设计
5.1.1 均衡不完全区组设计
5.1.2 基本性质
5.1.3 由对称BIBD构造BIBD
5.2 拉丁方
5.2.1 拉丁方的定义
5.2.2 拉丁方的构造
5.2.3 正交拉丁方
5.3 Hadamard矩阵
5.3.1 Hadamard矩阵
5.3.2 由Hadamard矩阵构造SBIBD （4t-1 ,2t-1,t-1)
5.4 编码理论基础
5.4.1 基本概念
5.4.2 Hamming码
5.5 应用实例
5.6 练习题

第6章 线性规划
6.1 线性规划问题及其表示
6.1.1 线性规划问题
6.1.2 线性规划问题的一般形式
6.1.3 线性规划问题的标准形式
6.1.4 一般形式向标准形式的转化
6.2 单纯性算法
6.2.1 松弛变量技术
6.2.2 线性规划定理
6.2.3 单纯性算法
6.2.4 特殊情况的处理
6.2.5 算法流程
6.2.6 算法实现
6.3 练习题
附录：参考程序
参考文献

前言/序言

组合数学及应用：导读与探寻 本书聚焦于现代数学的基石之一——组合学，并深入探讨其在各个领域的广泛应用。本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的学习体验，不仅传授核心的计数原理、图论基础和组合设计，更强调如何利用这些工具解决现实世界中的复杂问题。 第一部分：计数世界的基石——组合数学的原理与方法 本书的开篇将读者引入组合数学的宏大殿堂，从最基本的计数原理出发，逐步构建起解决复杂排列组合问题的理论框架。 第一章：基础计数原理的精妙 本章详细阐述了加法原理、乘法原理的直观理解与严谨应用。我们不仅讨论简单的排列与组合公式，更着重于“捆绑法”、“插空法”等高级技巧，用以处理包含限制条件或重复元素的计数问题。例如，如何精确计算一个特定长度的密码中，至少包含一个数字和至少一个字母的不同组合方式。此外，容斥原理作为处理“或”关系的利器，将通过一系列经典的鸽巢原理（抽屉原理）的应用实例，展示其强大的穿透力，例如在网络路由延迟分析中的应用。 第二章：生成函数的魔力 生成函数被誉为组合数学的“微积分”。本章系统地介绍了普通生成函数（OGF）和指数生成函数（EGF）的构建方法、性质及其在解决递推关系中的核心作用。我们将展示如何利用生成函数来求解斐波那契数列、Catalan数以及Stirling数的显式公式，并探讨它们在概率论中对独立随机变量之和分布的描述能力。内容深入到利用其在母函数理论中对特定组合结构进行编码。 第三章：递归关系的深入剖析 递推关系是描述系统动态演化的核心语言。本章将分类讨论线性常系数齐次与非齐次递推关系，并教授如何利用特征方程法、母函数法求解这些关系。重点关注如何将实际问题（如资源分配、棋盘覆盖问题）准确地转化为数学上的递归模型，并进行有效的求解和验证。对于非线性递推关系，则会引入近似解法和迭代分析。 第四章：恒等式与证明艺术 组合恒等式是连接不同计数公式的桥梁。本章集中探讨几种重要的组合恒等式，如著名的Vandermonde恒等式。更重要的是，本章将全面介绍组合证明的艺术，包括直接计数法、双边计数法（双黑天鹅定理）以及消极归纳法。通过对这些证明方法的细致剖析，培养读者从不同角度审视和验证数学结论的能力。 第二部分：结构之美——图论的广阔视野 图论是组合数学中研究离散结构关系最重要分支。本书将图论的基础概念提升至理论研究和实际建模的高度。 第五章：图论基础与连通性分析 本章从图的定义、表示方法（邻接矩阵、关联矩阵）入手，详细阐述了子图、路径、回路、连通性等基本概念。我们将深入探讨欧拉图、哈密顿图的判定定理及其在交通网络、物流路径优化中的应用。对树（Tree）的结构特性，如生成树的计数（利用Kirchhoff矩阵树定理），将给予重点的讲解。 第六章：图的着色与匹配理论 图的着色问题是组合优化中的经典难题。本章介绍图着色多项式及其应用，探讨四色定理的历史背景和现代意义。在匹配理论方面，本书详细阐述了二分图的最大匹配（Hopcroft–Karp算法）和一般图的最大匹配（Edmonds' Blossom 算法的原理概述）。这些内容直接关联到任务分配和资源调度等实际问题。 第七章：图的流与网络优化 网络流理论是图论在运筹学中最直接的体现。本章系统介绍最大流最小割定理、Ford-Fulkerson算法及其高效实现（如Dinic算法）。我们会通过讲解如何将运输问题、最小成本流问题转化为标准的网络流模型，展示其在供应链管理和数据传输中的决定性作用。 第三部分：设计的智慧——组合设计与编码理论的交汇 本部分将组合学的理论应用于构建高效、平衡的系统结构。 第八章：有限域与平衡不完全区组设计（BIBD） 本章将组合设计理论与代数基础相结合。在介绍有限域（伽罗瓦域）的基本运算后，我们将重点研究平衡不完全区组设计（BIBD）的存在性条件和构造方法，例如Kirkman的“十五行人问题”。这些设计在农业试验、统计抽样和试验设计中具有无可替代的价值。 第九章：正交阵列与实验设计 正交阵列（Orthogonal Arrays）是处理多因素实验的强大工具。本书解释了正交阵列的定义、特性，以及如何利用它们在最少的实验次数下，有效地评估多个因子对实验结果的影响。我们将通过工业质量控制和工程优化案例，说明如何利用正交性原理减少冗余试验。 第十章：组合与编码理论的桥梁 本章探讨组合数学在信息论中的前沿应用。我们将介绍分组码的基础概念，包括汉明距、校验和的构建。重点讲解费诺平面与线性码（如Hamming码）的构造，展示如何利用组合结构来设计具有纠错能力的信道编码方案，确保数据在传输过程中的可靠性。 第四部分：应用前沿与计算挑战 第十一章：组合优化与NP完全性 本章将组合数学的建模能力推向优化领域。我们介绍经典的组合优化问题，如旅行商问题（TSP）、背包问题和最大割问题。重点讨论P类与NP类的区别，对NP完全性问题进行深入的剖析，并介绍近似算法和启发式算法（如模拟退火法）在处理不可行精确求解问题时的策略。 第十二章：离散概率与随机组合模型 本书的最后一部分将组合学的计数能力与概率论相结合。我们探讨随机图（Erdos-Rényi模型）的性质，分析大数定律和中心极限定理在随机组合结构中的体现。重点分析组合随机过程，如随机搜索算法的效率分析和随机排列的逆序数分布等，为读者理解现代复杂系统的随机行为打下坚实基础。 总结： 本书不仅是一本理论教材，更是一本解决问题的工具箱。通过严谨的数学推导和丰富的工程实例，读者将掌握从微观的计数技巧到宏观的系统设计，运用组合数学的智慧，有效应对当代科学、工程、管理等领域中的复杂挑战。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在校的计算机科学专业的学生，我一直在寻找能够拓展我知识边界的辅助读物。这次有幸接触到这本书，虽然我还没有来得及仔细研读，但从目录和扉页的介绍来看，它似乎涵盖了许多我感兴趣的领域。我一直觉得，在计算机科学中，算法的设计、数据结构的优化，乃至许多问题的求解，都与组合数学有着千丝万缕的联系。例如，图论中的路径查找、排列组合在程序计数中的应用，还有概率在算法分析中的作用，都让我觉得组合数学是一个非常重要的理论基础。我希望这本书能够帮助我更系统地梳理这些知识点，提供一些更深入的视角和更严谨的证明。如果书中能有相关的算法示例或者编程实现的讨论，那对我来说将是莫大的帮助。我对这本书寄予厚望，希望能它能成为我学习道路上的一块坚实的垫脚石。

评分☆☆☆☆☆

这本书的外观设计给我一种现代感和专业感。它没有花哨的装饰，而是以一种沉稳的风格展现。我一直在关注科技发展的趋势，尤其是在人工智能、大数据等领域，我深知组合数学的重要性。很多算法的效率、很多模型的建立，都离不开对组合问题的分析。例如，在机器学习中，特征的选择和组合，就是典型的组合问题；在网络优化中，路径的寻找和计算，也离不开组合数学的工具。我希望这本书能够深入探讨组合数学在这些前沿科技领域的具体应用，提供一些具有实际指导意义的分析方法和理论框架。我期待书中能够包含一些最新的研究成果和技术进展，让我能够对这些领域有更深刻的认识，并且了解组合数学是如何推动这些领域不断进步的。

评分☆☆☆☆☆

当我第一眼看到这本书的时候，它的标题就引起了我的好奇心。虽然我并不是数学专业的背景，但我一直对事物之间奇妙的“组合”关系充满了兴趣。生活中有太多的事情，看起来是随机发生的，但背后却可能隐藏着某种规律性的组合。比如，如何最优地安排旅行路线，如何在有限的空间内摆放最多的物品，甚至是如何组建一个高效的团队。我希望这本书能够用通俗易懂的语言，解释清楚组合数学的基本原理，并且通过一些贴近生活的例子，让我明白这些看似高深的理论，实际上是如何指导我们解决现实生活中的问题的。我不想看到那些晦涩难懂的公式和证明，而是希望能够从中获得一些启发，理解事物运作的内在逻辑，并且能够运用这些知识去解决一些实际的困惑。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，对于我这样一名在教育领域工作的教师来说，无疑是一个福音。我一直在思考如何将抽象的数学概念以更加生动有趣的方式呈现给我的学生们，尤其是在推广数学思维和培养逻辑能力方面。组合数学，尤其是其在解决实际问题中的应用，常常能激发学生的学习兴趣。我希望这本书能够提供丰富的教学案例，比如如何利用组合的原理来解决一些简单的趣味问题，或者如何通过排列组合来理解概率的计算。另外，我也非常关心书中是否有关于如何设计组合数学相关的课程内容或者习题集。一个好的教材，不仅要内容充实，更要易于教师理解和应用，能够真正地帮助学生建立起对数学的信心和兴趣。我很期待这本书能够成为我教学上的得力助手，帮助我将组合数学的魅力带给更多的学生。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就吸引了我。它采用了深邃的蓝色背景，上面点缀着一些抽象的几何图形，好像是星辰大海的缩影，又像是某种复杂的数学结构。书名“组合数学及应用”用一种简洁但很有力量的字体印刷，给人一种严谨而又充满探索感的印象。我是一名对抽象思维和逻辑推理颇感兴趣的业余爱好者，平时也喜欢阅读一些科普读物，而这本书的装帧风格恰好触动了我对知识的向往。收到书的那一刻，我迫不及待地翻开，虽然还没深入阅读，但那种期待感已经油然而生。我希望这本书能像它封面所展现的那样，带我进入一个充满逻辑美和奇妙联系的数学世界，让我能够领略到组合数学的魅力，并对它在现实生活中的应用有更深入的理解。我期待着书中能够有清晰的讲解、生动的例子，让我这个非专业人士也能逐步领悟那些看似高深的理论。

评分☆☆☆☆☆

送货速度真心不给力啊

评分☆☆☆☆☆

书写的不错，正在学习中；适合编程人员学习；大学生参加ACM比赛的重要参考资料。

评分☆☆☆☆☆

很喜欢:..蔡笑晚1.蔡笑晚，他的每一本书几本上都有，这本我的事业是父亲（最新增订版）很不错，一套神奇教子方法三代人共同验证千万家庭从中受益。我的事业是父亲（最新增订版）中阐述的早教、立志、自学的家教原则和特才特教的人才培养理念，是应对当下和未来高等教育大众化、就业竞争日趋激烈的精英家教的明智选择。该书传达的蔡氏家教的教育方法，不艰深、不枯燥，易操作、易掌握，是为望子成龙的父母们开具的理想培养模式和神奇家教方法。我的事业是父亲（最新增订版）是最新增订版，以讲故事的形式全面、系统地阐释蔡氏家教理念，传达生动独特的教育方法。书中数百则家教格言，是蔡笑晚先生家教理念和精英培养经验的精彩总结和完美升华，以言简意赅的形式，画龙点睛地对蔡氏教育的各个方面进行了勾勒和刻画，便于读者快捷、准确地把握其家教理念的精髓和灵魂。我的事业是父亲在介绍我自己之前，我要先介绍我的六个子女，因为对于一个未能亲自成就一番大事业的人来说，父亲就是我的终身事业和人生理想，子女就是我的最大荣耀。如果有一张名片，我一定会在正面印上背面印上长子蔡天文，1967年生，1995年获美国康奈尔大学博士学位，现为美国宾夕法尼亚大学最年轻的终身教授之一次子蔡天武，1970年生，由中科大少年班公派就读美国罗彻斯特大学李政道主办的博士研究生，获激光物理学博士学位，现在美国高盛公司出任副总裁三子蔡天师，北京外国语学院毕业，曾被美国圣约翰大学录取，现在国内发展四子蔡天润，华西医科大学医学系毕业，曾被美国阿肯色州立大学录取为博士生，现正在上海筹备私立医院五子蔡天君，中国科技大学硕士，现在中国建设银行工作小女蔡天西，1977年生，14岁考入中科大少年班，18岁考入麻省理工学院的博士生，22岁获得哈佛大学生物统计学博士学位，现为哈佛大学最年轻的副教授之一。父亲，不得不做的事业有人会奇怪，我的职业分明是医生，在瑞安当地也有些名气，为什么还强调自己的事业是父亲个中缘由，说来话长。没有起点也没有终点，1941年，我出生在一个殷实的知识分子家庭。1962年，父亲病逝，我从杭大物理系退学回家。那时，家中连一日三餐也成了问题。兄弟姐妹十人，留在家中的属我年龄最长，不能不分担家庭的重担。那时我22岁，正是风华正茂、踌躇满志的年龄，但现实让我一次又一次陷入绝境。我一个人跑到父亲坟头，跪在父亲坟前暗暗发誓，身上要有一滴血冷下来，我就不是人！我一定要让自己振作起来，让整个家振作起来！1967年，妻子小湘怀孕了。这是我生命中第一个孩子。从那时起，我决定把希望寄托在下一代身上。让一个二十六岁的热血男儿抛弃自己的人生理想，将希望寄托在还未出生的孩子身上

评分☆☆☆☆☆

图书、音像商品评价积分规则调整啦！

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是正品，不盗版，不过有点微贵了

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专门练习ACM的组合数学这块，我要好好学学

评分☆☆☆☆☆

书还是挺不错的，送的也很快。

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