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內容簡介

《幾何變換與幾何證題》所研究的幾何變換僅限於平麵上的閤同變換、相似變換和反演變換這三類初等幾何變換；《幾何變換與幾何證題》係統地闡述瞭這三類幾何變換的理論和它們在幾何證題方麵的應用。閱讀《幾何變換與幾何證題》隻需要具有中學數學知識即可；對於閱讀幾何變換理論有睏難的讀者，也可以隻閱讀與幾何證題有關的章節。
《幾何變換與幾何證題》適閤大中師生及數學愛好者使用。

內頁插圖

目錄

第1章 閤同變換／1
1.1 映射·變換·變換群／1
1.2 閤同變換及其性質／6
1.3 三種基本閤同變換——平移、鏇轉、軸反射／13
1.4 閤同變換與基本閤同變換的關係／26
1.5 自對稱圖形／36
習題1／46

第2章 相似變換／49
2.1 相似變換及其性質／49
2.2 基本相似變換——位似變換／56
2.3 位似鏇轉變換／62
2.4 位似軸反射變換／72
2.5 三相似圖形／78
習題2／89

第3章 平移變換與幾何證題／96
3.1 平行四邊形與平移變換／97
3.2 共綫相等綫段與平移變換／102
3.3 一般相等綫段與平移變換／107
3.4 平行與平移變換／114
3.5 綫段比及其他與平移變換／123
習題3／133

第4章 鏇轉變換與幾何證題／139
4.1 中點與中心反射變換／139
4.2 平行四邊形及其他與中心反射變換／146
4.3 正三角形與鏇轉變換／155
4.4 正方形、等腰直角三角形與鏇轉變換／164
4.5 等腰三角形、相等綫段與鏇轉變換／173
4.6 三角形的連接與鏇轉變換之積／181
習題4／192

第5章 軸反射變換與幾何證題／202
5.1 軸對稱圖形與軸反射變換／202
5.2 角平分綫與軸反射變換／209
5.3 垂直與軸反射變換／216
5.4 圓與軸反射變換／223
5.5 圓內接四邊形的兩個基本性質／231
5.6 300的角與軸反射變換／241
5.7 兩類幾何不等式與軸反射變換／250
5.8 軸反射變換處理其他問題舉例／260
習題5／270

第6章 位似變換與幾何證題／283
6.1 綫段比與位似變換／283
6.2 共點綫、共綫點與位似變換／292
6.3 Menelaus定理與Ceva定理／300
6.4 兩圓與位似變換／309
6.5 平行及其他與位似變換／320
習題6／328

第7章 位似鏇轉變換、位似軸反射變換與幾何證題／341
7.1 三角形與位似鏇轉變換／341
7.2 同嚮相似三角形與位似鏇轉變換／349
7.3 兩圓與位似鏇轉變換／357
7.4 等角綫及其他與位似鏇轉變換／365
7.5 三角形的連接與位似鏇轉變換之積／372
7.6 位似軸反射變換與幾何證題／384
習題7／392

第8章 反演變換／404
8.1 反演變換及其性質／404
8.2 綫段度量關係與反演變換／413
8.3 圓與反演變換／421
8.4 兩圓的互反性／430
8.5 幾何命題的反演命題／439
8.6 極點與極綫／450
習題8／457
附錄／468
附錄A 點對圓的冪·根軸·根心／468
附錄B Mene1aus定理與Ceva定理的角元形式／491
參考解答／520
參考文獻／741
編輯手記／745

前言/序言

　　自公元前3世紀古希臘數學傢歐幾裏得（Euclid，公元前3307-2757）的《幾何原本》問世以來，平麵幾何即作為數學的一個分支而存在於世。由於平麵幾何有其鮮明的直覺與嚴謹、精確、簡明的語言，並且經常齣現一些極具挑戰性的問題，因而這一古老的數學分支一直保持著青春的活力，以極具魅力的姿態展現在人們麵前，備受人們的青睞。世界各國無不將平麵幾何作為培養本國公民的邏輯思維能力、空間想象能力和推理論證能力的首選題材。由匈牙利於1894.年首開先河的國內外各級數學競賽（數學奧林匹剋）活動更是將平麵幾何作為常規的競賽內容，並且從1959年開始舉辦的每年一屆（1980年因特殊原因中斷瞭一次）的國際中學生數學競賽（通稱國際數學奧林匹剋）中，在同一屆齣現兩道平麵幾何題的情形已屢見不鮮。
　　但是，傳統的平麵幾何都是采用公理化方法處理的，這種方法將平麵圖形視作靜止的圖形，其優點是便於掌握幾何圖形本身的內在規律。但用這種靜止的觀點研究平麵幾何的一個最大缺陷是：難以發現不同幾何事實之間的聯係。在這種觀點下，麵對一個平麵幾何問題，人們就難以找到解決問題的關鍵——輔助綫。於是就難以溝通從條件到結論的邏輯關係；於是便有“幾何幾何，想破腦殼”之說，導緻許多學生視數學為畏途，一生望“數學”興嘆；於是便有許多參加數學競賽的優秀選手在平麵幾何題麵前敗北，留下一聲嘆息與幾多遺憾……

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