近代组合学 [Modern Combinatorics] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王天明 著

图书标签:

• 组合数学
• 离散数学
• 数学
• 算法
• 图论
• 排列组合
• 数学建模
• 高等数学
• 计算机科学
• 理论计算机科学

出版社： 大连理工大学出版社

ISBN：9787561142653

版次：1

商品编码：10717230

包装：平装

丛书名： 高等学校理工科数学类规划教材

外文名称：Modern Combinatorics

开本：16开

出版时间：2008-09-01

用纸：胶版纸

页数：362

正文语种：中文

内容简介

在出版社组织讨论该书内容时，徐利治教授将本书定名为《近代组合书》。原因是有关组合数学的著作基本上蟡书名界定其内容，书名较易重复，到目前为止还没有用时间确定书名的，而本书的主要内容是近现代成果，所以使用“近代组合学”是合适的。
我们对《高等组合学》进行了重组，去掉了Stirling数一章，增加了发生函数，组合反演和枢机化方法三章。将Stirling数的相关内容加到发生函数一章中。其余各章虽然保留了原有的名字，但是内容都有不同程度的变化，增加了一些新内容和我们的一些研究成果。补充与练习部分是原书的特色，认真钻研，系统地做某一专题的练习，对增加知识和提高研究能力很有好处。由于量大面广，不能要求一个人做完所有练习，可是做比不做好，多做比少做好。本着这种想法，我们保留了原书的绝大多数的练习，也增加了一部分新内容。

作者简介

王天明，大连理工大学数学系教授，博士生导师。已出版《高等组合学》一书。

内页插图

目录

1 组合数学基本术语��1
1.1 集合及其运算��1
1.2 排列与组合��6
1.3 二项式恒等式与多项式恒等式��13
1.4 图的初步知识��21
1.5 ［n］��的子集��28
1.6 一些约定��33
1.7 形式级数��39
补充和练习��45

2 发生函数��56
2.1 发生函数的定义��56
2.2 常见的发生函数��59
2.3 加括号问题��68
2.4 第二类Stirling数与集合的划分��73
2.5 第一类Stirling数与置换��78
2.6 Stirling数的概率表示��82
2.7 指数公式��86
2.8 发生函数的应用��92
补充和练习��98

3 整数分拆��113
3.1 整数分拆的定义��113
3.2 具有禁用被加数的分拆��118
3.3 Ferrers图��125
3.4 经典分拆恒等式��127
3.5 分拆与Gauss二项式系数��133
3.6 Durfee矩形��136
补充和练习��139

4 恒等式与展开式��150
4.1 形式级数之积与Leibniz公式��150
4.2 Bell多项式��152
4.3 FaadiBruno公式��156
4.4 Bell多项式的取值��161
4.5 形式级数的分式迭代��166
4.6 Riordan阵与组合恒等式��169
4.7 广义Riordan阵��174
补充和练习��178

5 组合反演��193
5.1 经典Mobius反演公式��193
5.2 偏序集上的Mobius反演公式��196
5.3 一般互反公式��203
5.4 Gould-Hsu反演与Carlitz反演��210
5.5 Gould-Hsu反演的推广形式��216
5.6 Lagrange反演��221
补充和练习��226

6 筛法公式��231
6.1 并集或交集的元素个数��231
6.2 偶遇问题和夫妇问题��235
6.3 由子集系生成的布尔代数��238
6.4 线性不等式的Rényi方法及应用��242
6.5 积和式��248
补充和练习��250

7 置换��255
7.1 置换与对称群��255
7.2 ［n］��的置换的逆序��261
7.3 Eulerian数与置换的升数��264
7.4 循环指标多项式与Burnside定理��270
7.5 Pólya定理��273
补充和练习��277

8 不等式与渐近计数��288
8.1 组合序列的单峰性��288
8.2 q-错排数序列的旋转性��291
8.3 Ramsey定理��294
8.4 随机置换��298
8.5 渐近计数一��302
8.6 渐近计数二��305
8.7 渐近计数三��307
补充和练习��312

9 机械化方法��324
9.1 Gosper算法��324
9.2 WZ对方法��330
9.3 反演关系的证明��333
9.4 非交换代数中的消元法��335
9.5 可终止超几何恒等式的证明��340
9.6 q-恒等式的证明��345
9.7 发生函数的自动求解��351
补充和练习��356
参考文献��360

前言/序言

　　记得全国第一次组合数学学术讨论会是于1983年在大连举行的，那时已迎来了“科学的春天”。当年的情景真可以引用欧洲一位几何学家的名言说“正好像春天的紫罗兰处处开放那样”。自此以后，中国组合数学的教学与科研就生气勃勃地在东南西北各地区几乎同时开展起来。时至今日，中国已有许多个教研中心了，培养出来的组合学硕士、博士总人数，猜想很可能已经超过美国和俄国了。（对此感兴趣的数学史研究者，或可作番调查研究。）
　　作为组合学教学科研中心之一的大连理工大学，从上世纪80年代以来，就一直为教材建设作努力。特别，在王天明教授积极主持下，有研究生们的集体合作，曾于1991年首次由大连理工大学出版社编译出版了L Comtet名著《高等组合学》。此书概述了上世纪70年代前的许多经典成果，内容丰富多彩，例习题引人人胜，故颇为国内从事“离散数学”教学与研究的人们所欢迎。据我所知，有些年青人正是从此书获取必要的知识和有用的工具后，就能较顺利地阅读国内外组合学方面的文献资料，并能逐步走上科研创作之路。
　　但Comtet的原著也确实存在不足之处。一是命题论证往往过分简短，缺乏画龙点睛之笔，致使初学者难以既见树又见林；二是未能反映和适应计算机时代算法设计爱好者的兴趣和要求。又由于原书出版年代较早，自然不可能讲述近30多年来出现的一系列重要而有用的新题材。所以王天明教授在弟子们的精诚协作下，重新编写这本以“近代组合学”命名的新教材是完全必要的。

现代组合学：理论与应用新视野 作者：[作者姓名，可虚构] ISBN：[ISBN号，可虚构] --- 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代组合学导论，涵盖该学科的核心理论、新兴分支以及其在当代科学与工程领域中的广泛应用。组合学，作为数学的一个重要分支，关注有限结构及其计数、存在性和构造问题。随着计算科学和信息技术的发展，组合学的重要性日益凸显，本书正是在这一背景下应运而生，力求在严谨的数学基础与前沿的研究动态之间架起一座桥梁。 本书的结构精心设计，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论框架，确保即便是初次接触该领域的读者也能建立起坚实的知识体系。我们并未将重点局限于传统的计数理论，而是着力展现现代组合学如何与其他数学分支，如图论、代数组合学、概率组合学以及离散几何，进行深度融合与相互启发。 第一部分：基础与核心概念的重塑 本部分奠定了全书的理论基石。我们首先回顾了经典的计数原理，如二项式系数、容斥原理的现代演绎，并引入了生成函数的强大工具。不同于传统教材的侧重，本书对生成函数的处理更加强调其在解决复杂递归关系和结构编码中的应用。 图论基础的深化： 图论是组合学的核心骨架。我们详细探讨了连通性、图的嵌入、对偶图的概念，并引入了更现代的图结构，例如超图和有向图的拓扑性质。着重分析了著名的图着色问题（如四色定理的现代证明思路）以及匹配理论（Hall定理及其在网络流中的应用）。特别值得一提的是，我们对极值图论进行了详尽的阐述，包括Turán定理的严谨推导及其在 Ramsey 理论中的先导作用。 编码与设计： 组合设计理论是确保结构存在的关键。本部分详细介绍了平衡不完全区块设计（BIBD）、正交阵列和拉丁方阵。我们不仅讨论了这些设计的存在性条件，还深入探讨了构造性方法，例如利用有限域和伽罗瓦场构造出特定的设计，这些设计在实验设计和密码学中具有直接的实用价值。 第二部分：代数组合学的前沿探索 现代组合学的核心特征之一是其与抽象代数的紧密结合。本部分专门辟出章节，聚焦于代数组合学的核心议题。 群作用与计数： 我们利用群论的强大工具来解决计数问题，特别是Burnside引理和Pólya计数定理。这些定理使得在存在对称性的情况下进行准确计数成为可能，极大地拓宽了我们处理计数问题的视野。对这些定理的讲解，将结合具体的计数实例，如不同类型的项链、立方体染色等，以增强读者的直观理解。 代数编码理论的组合基础： 现代通信和数据存储严重依赖于代数组合学。本书介绍了几种重要的代数结构在编码理论中的应用，包括线性分组码、汉明码和循环码。我们着重解释了如何利用有限域上的多项式环来构造具有良好纠错能力的码，并分析了它们的最小距离和最小生成多项式。 第三部分：概率组合学与随机结构 随着计算能力的大幅提升，研究随机组合结构成为一个蓬勃发展的领域。本部分关注如何利用概率方法来分析复杂组合对象的性质。 概率方法的应用： 我们详细介绍了“概率论的移除法”（Probabilistic Method），即利用证明一个随机结构的存在性来间接证明一个非随机结构的必然存在。这部分内容将涵盖著名的Erdős-Rényi随机图模型 $G(n, p)$ 的深入分析，包括其阈值现象（如连通性、最大团的出现）。 期望与方差的分析： 概率组合学不仅依赖于证明“存在性”，更需要量化这些结构的行为。因此，本书详细讨论了线性期望法和第二矩方法的精确应用，特别是在分析图的稠密子图、Ramsey数界限等问题上的有效性。 第四部分：组合优化与离散结构 组合优化是组合学与运筹学的交叉点，其目标是从有限集合中找到最优的子结构。 网络流与匹配的拓扑分析： 在对网络流理论进行回顾后，本书将其提升到拓扑组合的层面。我们深入探讨了最大流/最小割定理的证明，并将其应用于更复杂的网络结构，如多商品流问题和动态网络流。此外，对一般图和二分图上的完美匹配的分析，将引入阴影和弧的理论概念。 离散几何中的组合视角： 组合学在描述空间结构方面也扮演关键角色。本部分探讨了凸包、平面分割（Arrangements of Lines and Curves）等离散几何问题，并展示了如何使用组合工具（如欧拉公式的推广和胞腔分解）来解决这些几何计数和结构问题。我们还将触及全纯多面体和其在计算几何中的应用。 总结与展望 本书的最终目标是培养读者利用组合思维解决问题的能力。我们力求通过大量的、精心挑选的例题和现代化的习题集，帮助读者掌握从抽象理论到实际建模的转化过程。书中的每一章节都融入了对最新研究方向的点评，例如量子组合学、大数据环境下的组合算法设计，引导有志于进一步深造的读者找到未来的研究方向。 本书适合于数学、计算机科学、统计学、物理学以及工程学的高年级本科生和研究生使用，同时也是相关领域研究人员的有力参考工具书。它不仅是一门课程的教科书，更是一份探索离散世界无限可能性的路线图。

评分☆☆☆☆☆

从阅读体验的角度来看，这本书的排版质量高得惊人，这对于阅读数学著作至关重要。纸张的质感厚实而不反光，印刷的清晰度极佳，即便是复杂的公式和希腊字母也毫无模糊感。更重要的是，这本书的索引做得非常详尽和实用，当我需要快速定位某个特定定理或定义时，能迅速找到对应的页码，大大提高了学习效率。作者在章节末尾设置的“进一步阅读”推荐清单也极其专业，它不仅列出了经典文献，还包括了一些近十年来涌现出的重要论文，这无疑为希望将学习成果转化为研究的读者提供了宝贵的资源。总之，从装帧设计到内容组织，从理论深度到应用广度，这本书都展现出一种对知识的敬畏和对读者的尊重，它绝对是值得在书架上占据一个非常显眼位置的精品。

评分☆☆☆☆☆

我特别欣赏这本书在结构布局上的匠心独运。它不是那种简单地堆砌章节和定理的参考书，而是构建了一个逻辑严密的知识体系。从最基础的计数原理开始，逐步过渡到生成函数和递归关系，然后引入更抽象的图论基础，最后才触及到一些更前沿的主题，比如设计理论的入门。这种从具象到抽象的递进，使得知识点的衔接异常流畅自然。举个例子，在讲解容斥原理时，作者不仅给出了经典的证明，还用一个非常巧妙的例子——如何计算没有固定点的排列（错排问题）——来展示这个原理的强大威力。更让我印象深刻的是，每当引入一个新的概念，作者都会立刻给出几道精心设计的练习题，这些题目既有检验基础理解的，也有引导深入思考的。这些练习题的难度控制得非常好，不会让人感到气馁，反而会激发一种“我能行”的探索欲。这本书的边注和脚注也做得非常出色，经常会引用一些历史典故或者其他领域的应用，极大地丰富了阅读的层次感。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我最看重一本专业书籍的还是它的论证严谨性和符号的一致性。在这本《近代组合学》中，我几乎找不到可以诟病的地方。作者在定义每一个术语时都极其审慎，确保没有歧义。比如，在涉及对称性群论和组合对象对应时，他使用的符号系统高度一致，这对于反复查阅和回顾的读者来说简直是福音——你不需要花时间去猜测某个符号在这本书的不同章节里是否有微妙的含义差异。在证明过程中，逻辑链条清晰可见，每一步推导都基于前文已经建立的公理或定理，很少有那种“显然如此”的跳跃。我记得有一段关于Schur多项式在计数问题中应用的论述，内容涉及代数结构，难度陡增，但作者通过分步拆解和引入辅助函数的方法，把一个原本晦涩难懂的证明过程讲解得条理分明，让人不得不佩服其深厚的数学功底和高超的表达能力。对于追求数学精确性的读者而言，这本书无疑是一部典范之作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计真是让人眼前一亮，那种深沉的蓝色调配上简洁有力的白色字体，立刻就给我一种“硬核”的感觉，仿佛预示着里面蕴含的知识密度不容小觑。我本来以为这会是一本那种只适合科班出身的数学专业学生研读的枯燥教材，但翻开扉页后，发现作者在引言部分就非常坦诚地阐述了组合学在现代科学，尤其是在信息论和离散数学中的核心地位。他没有一开始就抛出复杂的定理和证明，而是从一些非常生活化的问题入手，比如如何最优地安排生产线，或者如何构建一个高效的通信网络，以此来引导读者进入组合学的世界。这种循序渐进的教学方法，让一个非数学专业的读者，比如我，也能大致跟上思路，不至于在第一章就被复杂的符号淹没。作者对基本概念的讲解非常细致，对鸽巢原理、容斥原理这些基础工具的阐述，可以说是深入浅出，配图和例子都恰到好处，让人感觉自己不是在啃理论，而是在解谜。总体来说，这本书的开篇就展现出极高的专业水准和优秀的教学设计，让我对后续内容的期待值飙升。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“近代”二字名副其实，它并没有沉溺于纯粹的古典计数问题，而是非常恰当地引入了现代组合学的一些核心工具和视角。例如，在处理一些涉及随机过程或大数定律的组合问题时，作者会毫不避讳地引入概率方法（Probabilistic Method），并用简洁的语言解释这种方法背后的哲学思想。此外，关于极值组合学的介绍也令人耳目一新，特别是对Turán定理的阐述，作者不仅给出了证明，还探讨了这些结果在网络鲁棒性分析中的潜在应用。这种前瞻性使得这本书不仅仅是一份知识的总结，更像是一张通往当前研究热点的地图。它让读者在掌握基础的同时，也对组合学正在发生哪些激动人心的新进展有了一个直观的认识，这对于渴望进一步深造或进行跨学科研究的读者来说，具有无可替代的价值。

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