高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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過伯祥 著

圖書標籤:

• 高中數學
• 競賽數學
• 平麵幾何
• 解題思想
• 解題策略
• 數學輔導
• 學習方法
• 技巧總結
• 思維訓練
• 難題攻剋

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308083874

版次：1

商品編碼：10538320

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2011-02-01

用紙：膠版紙

頁數：211

內容簡介

　　《高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略》重視平幾題的解法思路的探索發現，非但特闢專章，給予探討研究，多個例題的“分析”中，也力求有所體現。《高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略》的“分析”是與眾不同的，
　　平麵幾何新題真是韆變萬化、變幻無窮的，這也是它被確定為各屆奧林匹剋競賽必考的一類試題的一個背景，但在這韆變背後不變的要素，就是基本圖形，基本結論；種種解法與常用的探索分析方法。

目錄

引言 作為中學數學學科之一的“平麵幾何”的特殊性
第一章 奧林匹剋平幾的探索分析法
1.1 從最簡單的情形入手
1. 從粗略的估計開始，從熟悉的地方開始
2. 從特款（特殊情形）入手
3. 從簡單的情形開始
4. 輪換對稱性的利用
1.2 充分利用已有信息
1. 從結論逆溯
2. 同時從條件與結論齣發，雙嚮夾擊互推
3. 量與關係的分析
4. 不斷地提齣你的問題，以問題引導你的思考與探索的方嚮
1.3 基本問題與引理的發現
1. 注視基本的東西——分析齣基本圖形
2. 抓住主要矛盾——關注之點要分清主與次
3. 引理的發現
1.4 “老鼠尾巴”與切入點
1. 形式上的“老鼠尾巴”
2. 數據上的“老鼠尾巴”
3. 方嚮上的“老鼠尾巴”
4. 任意性的利用——一種切入點
5. 對稱性的利用——又一種切人點
1.5 發現題目及解法的本質
1.6 幾何試題的來源揭秘
1. A.Engel（德國）關於數學競賽問題的論述
2. 提齣逆命題再引申，類比、擴展加推廣
3. 移植轉換至異域，陳題改換成新景
4. 追求一種新趣嚮，達到一個新境界
5. 多角度追索提問，增加解題的層次
第二章 奧林匹剋平幾中的常用定理——幾何基本圖形與基本結論之一
2.1 梅涅勞斯定理與塞瓦定理
2.2 三角形的五心
2.3 三角形幾何學中的一些常用結論
2.4 西摩鬆定理與托勒密定理
2.5 圓冪，等冪軸與圓的位似
2.6 圓幾何學中的一些常用結論
2.7 平麵幾何題的錯解與幾何錯題瀏覽
1. 錯解迴眸
2. 錯題分析
第三章 解奧林匹剋平幾題的常用方法
3.1 三角法“乙”
3.2 解析法
3.3 四點共圓與角弧法
3.4 比例綫段與代數法
3.5 幾何蠻椽決
3.6 同一法與反證法
3.7 嚮量法與復數法
3.8 麵積方法，構造法等
第四章 解平幾題的其他方法
4.1 仿射變換與用仿射法解平幾題
4.2 射影變換與用射影法解平幾題
4.3 反演變換與用反演法解平幾題
4.4 嚮量法與復數法的一些拓展
4.5 三角形幾何學的新方法與新成果——論共軛點、共綫點與一些幾何不等式
練習題的提示與參考解答

前言/序言

高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略 內容簡介 本書旨在為廣大高中生提供一套係統、深入的平麵幾何解題思想與策略指導，是備戰各類數學競賽的優秀輔導材料。平麵幾何作為數學競賽中的重要組成部分，不僅考察學生紮實的幾何基礎知識，更考驗其邏輯思維能力、空間想象能力以及靈活運用各種解題方法的綜閤素質。本書緊扣這一目標，從基礎概念的梳理到高深技巧的剖析，層層遞進，力求幫助讀者建立起一套科學、高效的解題體係。 本書結構與特色 本書打破瞭傳統教材按知識點羅列的模式，而是以“解題思想”和“解題策略”為主綫，將相關的幾何知識點巧妙地融入其中，使讀者在學習方法的同時，也鞏固瞭基礎知識。全書內容詳實，涵蓋瞭平麵幾何中的核心內容，並輔以大量精心挑選的例題和習題，力求做到理論與實踐相結閤。 第一部分：平麵幾何基礎與思維啓濛 本部分將從最基礎的幾何概念入手，但並非簡單的復述定義，而是著重於這些概念在解題中的實際意義和應用。 點、綫、麵、角、三角形、四邊形、圓等基本概念的深刻理解： 我們將深入探討這些基本概念的本質屬性，以及它們之間相互關聯的方式。例如，在講解三角形時，不僅僅是介紹邊、角關係，更會強調三角形的穩定性、共軛性等在解題中的潛在應用。 公理、定理的思維轉化： 重要的不是記住所有定理，而是理解定理的證明思路和其背後蘊含的數學思想。我們將引導讀者思考“為什麼是這樣？”，並學會如何將抽象的定理轉化為具體的解題工具。例如，相似三角形的判定與性質，我們會從其幾何意義齣發，探討如何通過構造相似三角形來解決一些看似復雜的問題。 幾何直觀與邏輯推理的融閤： 強調數學問題的解決需要直觀的想象和嚴謹的邏輯推理並重。書中將通過大量圖形分析，培養讀者的空間想象能力，同時也會詳細講解如何將直觀的想法轉化為嚴密的數學論證。 從已知到未知： 引導讀者養成審題習慣，準確把握已知條件和所求結論，並思考已知條件之間以及已知條件與結論之間的邏輯聯係。 第二部分：核心解題思想深度剖析 本部分將聚焦於平麵幾何中最具影響力的幾種解題思想，並進行細緻入微的講解。 化歸思想： 這是數學競賽中最普遍、最核心的思想之一。我們將講解如何將復雜問題轉化為簡單問題，將未知問題轉化為已知問題。 降維化歸： 將立體幾何問題轉化為平麵幾何問題，或者將高維問題轉化為低維問題。 等價轉化： 將待求量轉化為等價的已知量，或者將復雜的圖形關係轉化為簡單的圖形關係。 特殊化與一般化： 通過研究特殊情況下的解法，來尋找一般情況下的解題思路。 構造法： 許多平麵幾何問題，尤其是涉及求長度、求角度、證明恒等關係等，往往需要巧妙地構造輔助綫或輔助圖形。 構造全等三角形： 利用已知條件，通過添加一條或幾條輔助綫，使得齣現全等三角形，從而利用全等三角形的性質解決問題。 構造相似三角形： 類似於構造全等三角形，通過添加輔助綫，使得齣現相似三角形，從而利用相似三角形的性質解決問題。 構造特殊圖形： 例如，構造正方形、矩形、圓、等邊三角形等，利用這些特殊圖形的性質來簡化問題。 構造平行綫、垂綫： 平行綫和垂綫在幾何問題中扮演著重要角色，它們常常能帶來角度、長度上的便利。 構造等腰三角形： 在處理角度問題時，等腰三角形的底角相等性質非常有用。 對稱思想： 利用圖形的對稱性來簡化問題。 軸對稱： 構造對稱圖形，利用對稱性來簡化論證。 中心對稱： 利用中心對稱的性質，例如對稱點到中心的距離相等，對稱連綫的中點為對稱中心等。 運動與變換思想： 將幾何圖形視為可以運動的整體，通過平移、鏇轉、翻摺等變換來研究圖形的性質。 鏇轉： 發現圖形中的鏇轉對稱性，或者通過鏇轉構造全等三角形。 平移： 將平行的綫段或圖形進行平移，以便進行比較或構造。 翻摺（軸對稱）： 利用翻摺來使得圖形重閤，從而證明相等關係。 整體思想： 將圖形中的多個部分看作一個整體來考慮。 整體代換： 將多個式子或長度視為一個整體進行代換。 整體分析： 從圖形整體的性質齣發，來分析局部的關係。 第三部分：精選解題策略與技巧 本部分將聚焦於具體問題的解決策略和常用的幾何技巧。 坐標法的應用： 介紹如何利用坐標係來解決幾何問題，包括點的坐標錶示、直綫方程、圓的方程，以及利用嚮量坐標進行距離、角度、垂直、平行等計算。 嚮量法的應用： 講解嚮量的基本概念、運算以及在幾何問題中的應用，例如利用嚮量的模長錶示長度，利用嚮量的內積錶示角度和垂直關係，以及利用嚮量的綫性組閤錶示點的位置。 三角函數的應用： 探討如何利用正弦定理、餘弦定理以及三角函數的其他性質來解決幾何問題，尤其是在涉及長度和角度的計算中。 解析幾何技巧： 結閤代數方法，例如韋達定理、判彆式等，來解決涉及直綫與圓、圓與圓等相交問題的幾何問題。 麵積法： 利用圖形的麵積關係來解決問題，例如通過計算同一圖形的麵積的兩種不同方式來建立等式。 反證法： 在某些情況下，直接證明睏難時，可以考慮反證法，即假設待證明的命題不成立，然後推齣矛盾。 分類討論： 當問題涉及多種可能性時，需要進行分類討論，確保解題的完備性。 構造比例式與射影定理： 在處理相似三角形相關問題時，如何利用比例式進行轉化，以及射影定理在直角三角形中的應用。 第四部分：專題突破與競賽真題解析 本部分將精選各類數學競賽中齣現的經典平麵幾何題目，並結閤前幾部分介紹的解題思想與策略進行深入解析。 圓的綜閤題： 涉及圓的切綫、割綫、弦、圓周角、圓心角等性質的綜閤運用。 三角形的綜閤題： 涉及三角形的重心、外心、內心、垂心等重要點的性質，以及中綫、高綫、角平分綫等性質的應用。 多邊形的綜閤題： 涉及平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形等特殊四邊形的性質，以及一般多邊形的內角和、外角和等。 幾何不等式與最值問題： 運用幾何方法證明不等式，或者求解幾何量在一定條件下的最值。 動態幾何問題： 隨著圖形的運動，研究幾何量之間的關係變化，以及特殊位置的分析。 如何使用本書 本書內容循序漸進，建議讀者按照章節順序進行學習。在學習每個部分時，務必仔細閱讀講解，理解其中的思想方法，並認真研習例題。對於例題，不要急於看答案，先嘗試獨立思考，實在睏難再參考解析。在完成每個部分的學習後，應認真完成配套的習題，並對照答案進行反思，找齣自己的薄弱環節。 結語 平麵幾何的學習是一個不斷探索、不斷實踐的過程。希望本書能夠成為您在平麵幾何學習道路上的得力助手，幫助您掌握解題的精髓，培養齣色的數學思維，在未來的數學競賽中取得優異的成績。相信通過係統的學習和不懈的努力，您一定能駕馭平麵幾何的魅力，享受解題的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，《高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略》這本書，在眾多數學輔導書中，顯得尤為獨特和珍貴。它不像一些教材那樣，上來就堆砌復雜的公式和證明，而是非常有意識地引導讀者去思考“為什麼”和“怎麼做”。我曾一度認為平麵幾何的解題就是一套固定的流程，但這本書徹底顛覆瞭我的認知。它讓我明白，很多時候，解題的關鍵在於觀察、分析和聯想，以及如何靈活運用各種幾何工具。書中關於“角平分綫與中綫性質的綜閤運用”的章節，令我印象深刻。作者通過對幾個典型例題的拆解，層層深入地分析瞭如何根據題目中給齣的已知條件，逐步構建齣解題的邏輯鏈條，並在其中巧妙地融入瞭多種幾何定理。讓我覺得特彆受用的是，書中提到瞭“類比法”在幾何猜想中的作用，雖然這並非直接的解題技巧，但對於培養幾何直覺和發現隱藏的性質非常有幫助。此外，書中還花瞭相當大的篇幅來討論“圖形的動態分析”，比如當圖形中的某些元素發生變化時，結論是否依然成立，以及如何通過分析這些變化來找到不變的性質，這對於處理一些參數化的題目非常有啓發。總的來說，這本書不僅教會瞭我如何解題，更重要的是，它培養瞭我獨立思考和探索幾何問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學競賽充滿熱情的高中生，在接觸《高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略》之前，我對平麵幾何的理解可以說是一知半解，遇到稍微復雜一點的題目就顯得力不從心。這本書的齣現，無疑是我數學學習旅途中的一個重要裏程碑。它並沒有給我提供現成的“答案”，而是教會瞭我如何去“找答案”。我非常欣賞作者在講解不同幾何專題時的切入點，他總是能從最基本的概念齣發，然後逐步引導讀者去發現更深層次的規律和技巧。例如，在講解“三角形內切圓與外接圓”的性質時，他不是簡單地給齣公式，而是通過對圖形的細緻分析，展示瞭如何通過“點綫麵”的轉化，將復雜的計算轉化為簡單的幾何關係。更讓我驚喜的是，書中還涉及瞭一些關於“共點”、“共綫”等問題的證明思路，這對於解決一些看起來非常規的題目非常有幫助。我特彆喜歡書中“化繁為簡”的解題策略，它教會我如何通過引入適當的輔助元素，將一個復雜的問題分解成若乾個更易於處理的小問題，從而層層遞進，最終找到問題的答案。閱讀這本書，我感覺自己的幾何思維能力得到瞭質的飛躍。

評分☆☆☆☆☆

作為一名長期關注高中數學競賽的傢長，我一直在尋找一本能夠真正幫助孩子提升平麵幾何解題能力的書籍。《高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略》這本書，絕對是我的不二之選。我仔細翻閱瞭內容，發現它最大的特點在於其“思想性”和“策略性”。它不像市麵上一些充斥著大量公式和例題的教輔，而是更加注重引導孩子理解幾何問題的本質，以及如何運用不同的思維方式去解決問題。書中關於“利用已知條件反推”的章節，讓我眼前一亮。它教會孩子如何從題目所給的條件齣發，一步步推導齣可能存在的結論，而不是被動地等待題目給齣綫索。這種主動探索式的解題方法，對於培養孩子的獨立思考能力非常有益。此外，書中對於“幾何變換”在解題中的應用，也有著非常獨到的見解。通過對圖形的平移、鏇轉、對稱等變換，能夠發現隱藏的幾何關係，從而簡化解題過程。我特彆欣賞書中“化歸思想”的運用，它教會孩子如何將一個難以直接解決的問題，轉化為一個已知的問題，或者一個更簡單的問題，從而找到突破口。這本書，不僅為孩子提供瞭解決平麵幾何問題的“方法論”，更重要的是，它激發瞭孩子對數學的興趣和探索精神。

評分☆☆☆☆☆

這本《高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略》的齣現，無疑是一場及時雨，正當我為如何係統性地提升平麵幾何解題能力而苦惱時，它便如期而至。我原本以為會是一本枯燥乏味的定理匯編或者習題集，但事實證明，我的擔憂是多餘的。這本書最大的亮點在於它獨闢蹊徑，將重點放在瞭“解題思想”和“策略”上，這恰恰是我最需要的部分。作者通過大量的實例，深入淺齣地闡述瞭多種經典的幾何解題思路，例如，在講解“燕尾定理”的應用時，他不僅給齣瞭定理的證明，更重要的是，分析瞭在什麼樣的情況下可以聯想到使用燕尾定理，以及如何通過對圖形的分析來“發現”符閤燕尾定理的條件。這種“點撥式”的教學方式，比單純的知識灌輸更為有效。書中對於“鏇轉不變性”、“對稱性”等抽象概念的講解，也運用瞭非常巧妙的圖示和類比，讓我能夠更直觀地理解這些概念在解題中的妙用。我尤其贊賞書中關於“反證法”在幾何證明中的應用分析，這是一種我之前很少接觸到的解題思路，在這本書的引導下，我開始嘗試運用反證法來解決一些看似難以直接證明的問題，並取得瞭意想不到的效果。閱讀這本書的過程，就像是在與一位經驗豐富的幾何大師對話，學習他深厚的解題功力。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為我量身打造的！我一直對平麵幾何的證明題感到頭疼，總覺得解題思路飄忽不定，即使掌握瞭一些基本定理，遇到復雜的題目也束手無策。這本《高中數學競賽專題講座：平麵幾何解題思想與策略》就像一盞明燈，照亮瞭我前行的道路。它沒有直接羅列大量的習題和公式，而是著重於講解解題背後的“思想”和“策略”。作者用非常生動形象的比喻，將抽象的幾何概念具象化，比如在講解相似三角形的運用時，不是簡單地給齣判定定理，而是深入剖析瞭如何通過“放大縮小”、“鏇轉平移”等直觀的手段來找到相似的圖形。更讓我驚喜的是，書中對於一些經典幾何題的解法，並非隻有一種標準答案，而是展示瞭多種不同的思路，從不同角度去分析問題，這讓我意識到，數學解題並非死闆的套用，而是充滿創造力的過程。我特彆喜歡其中關於“構造法”的章節，它教會我如何在看似無關的圖形中巧妙地添加輔助綫，從而打開解題的突破口。以前總覺得輔助綫是憑空齣現的，看完這部分內容，纔明白原來輔助綫的添加是有章可循，背後蘊含著深刻的幾何直覺。總而言之，這本書極大地提升瞭我對平麵幾何的理解深度和解題的信心，絕對是備賽高中數學競賽必備的寶藏。

評分☆☆☆☆☆

從特款（v特殊v情形）入手

評分☆☆☆☆☆

1過兩點有且隻有一條直綫 2 兩點之間綫段最短 3 同角或等角的補角相等 4 同角或等角的餘角相等 5 過一點有且隻有一條直綫和已知直綫垂直 6 直綫外一點與直綫上各點連接的所有綫段中，垂綫段最短 7 平行公理 經過直綫外一點，有且隻有一條直綫與這條直綫平行 8 如果兩條直綫都和第三條直綫平行，這兩條直綫也互相平行 9 同位角相等，兩直綫平行 10 內錯角相等，兩直綫平行 11 同旁內角互補，兩直綫平行 12兩直綫平行，同位角相等 13 兩直綫平行，內錯角相等 14 兩直綫平行，同旁內角互補 15 定理 三角形兩邊的和大於第三邊 16 推論 三角形兩邊的差小於第三邊 17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於180° 18 推論1 直角三角形的兩個銳角互餘 19 推論2 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和 20 推論3 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角 21 全等三角形的對應邊、對應角相等 22邊角邊公理 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 23 角邊角公理 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 24 推論 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 25 邊邊邊公理 有三邊對應相等的兩個三角形全等 26 斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 27 定理1 在角的平分綫上的點到這個角的兩邊的距離相等 28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分綫上 29 角的平分綫是到角的兩邊距離相等的所有點的集閤 30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 31 推論1 等腰三角形頂角的平分綫平分底邊並且垂直於底邊 32 等腰三角形的頂角平分綫、底邊上的中綫和高互相重閤 33 推論3 等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊） 35 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形 37 在直角三角形中，如果一個銳角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中綫等於斜邊上的一半 39 定理 綫段垂直平分綫上的點和這條綫段兩個端點的距離相等 40 逆定理 和一條綫段兩個端點距離相等的點，在這條綫段的垂直平分綫上 41 綫段的垂直平分綫可看作和綫段兩端點距離相等的所有點的集閤 42 定理1 關於某條直綫對稱的兩個圖形是全等形 43 定理 2 如果兩個圖形關於某直綫對稱，那麼對稱軸是對應點連綫的垂直平分綫 44定理3 兩個圖形關於某直綫對稱，如果它們的對應綫段或延長綫相交，那麼交點在對稱軸上 45逆定理 如果兩個圖形的對應點連綫被同一條直綫垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直綫對稱 46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方，即a+b=c 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關係a+b=c，那麼這個三角形是直角三角形 48定理 四邊形的內角和等於360° 49四邊形的外角和等於360° 50多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等於（n-2）×180° 51推論 任意多邊的外角和等於360° 52平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等 53平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等 54推論 夾在兩條平行綫間的平行綫段相等 55平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角綫互相平分 56平行四邊形判定定理1 兩組對角分彆相等的四邊形是平行四邊形 作者：60.20.246.* 2006-10-25 19:43 迴復此發言 -------------------------------------------------------------------------------- 2 初中幾何公式、定理 57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分彆相等的四邊形是平行四邊形 58平行四邊形判定定理3 對角綫互相平分的四邊形是平行四邊形 59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角 61矩形性質定理2 矩形的對角綫相等 62矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形 63矩形判定。

評分☆☆☆☆☆

高中數學競賽專題講座：初等數論

評分☆☆☆☆☆

基本上是上午兩個老師，下午一個老師，一天三節數學課和一節自習，每人教一節，每個老師分彆教不同的內容。所以一開始就用到高二的課本也不要太驚奇。。晚自習差不多每兩天考一次試，然後老師會記錄學生的成績，綜閤學生的上課錶現來評價學生的學習能力和新知識接受能力。

評分☆☆☆☆☆

味著善於解題”

評分☆☆☆☆☆

1.4

評分☆☆☆☆☆

在書店看上瞭這本書一直想買可惜太貴又不打摺，迴傢決定上京東看看，果然有摺扣。毫不猶豫的買下瞭，京東速度果然非常快的，從配貨到送貨也很具體，快遞非常好，很快收到書瞭。書的包裝非常好，沒有拆開過，非常新，可以說無論自己閱讀傢人閱讀，收藏還是送人都特彆有麵子的說，特彆精美；各種十分美好雖然看著書本看著相對簡單，但也不遑多讓，塑封都很完整封麵和封底的設計、繪圖都十分好畫讓我覺得十分細膩具有收藏價值。書的封套非常精緻推薦大傢購買。 打開書本，書裝幀精美，紙張很乾淨，文字排版看起來非常舒服非常的驚喜，讓人看得欲罷不能，每每捧起這本書的時候 似乎能夠感覺到作者毫無保留的把作品呈現在我麵前。

評分☆☆☆☆☆

反演變換與用反k演法k解平幾題

評分☆☆☆☆☆

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