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内容简介

　　前三章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率．详细研究了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容，此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度、体积的极小性．在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace．Be|trami算子△的特征值估计以及谱理论．进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理．作为比较定理的应用，我们有著名的拓扑球面定理．这些内容视作近代微分几何必备的专业基础知识．在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点），坐标观点（古典观点）和活动标架法．无疑，对阅读文献和增强研究能力会起很大作用．书中第4、第5章是我们25年中关于特征值的估计，等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集．它将引导读者如何去阅读文献，如何去作研究，如何作出高水平的成果。《近代微分几何：谱理论与等谱问题、曲率与拓扑不变量》可作理科大学数学系几何拓扑方向硕士生、博士生的教科书，也可作相关数学研究人员的参考书。

内页插图

目录

总序
序言
第l章 Levi-Civita联络和Riemann截曲率
1.1 向量丛上的线性联络
1.2 切丛上的线性联络、向量场的平移和测地线
1.3 Levi.Civita联络和Riemann流形基本定理
1.4 Riemann截曲率、Ricci曲率、数量曲率和常截曲率流形
1.5 C浸入子流形的Riemann联络
1.6 活动标架
1.7 C函数空间
1.8 全测地、极小和全脐子流形
1.9 Euclid空间和Euclid球面中的极小子流形
1.10指数映射、Jacobi场、共轭点和割迹
1.11长度和体积的第1、第2变分公式

第2章 Laplace算子△的特征值、Hodge分解定理、谱理论和等谱问题
第3章 Riemann几何中的比较定理
3.1 Rauch比较定理、Htessian比较定理、Laplace算子比较定理、体积比较定理
3.2 拓扑球面定理

第4章 特征值的估计和等谱问题的研究
第5章 曲率与拓扑不变量
5.1 具有非负Ricci曲率和大体积增长的开流形
5.2 完备非紧流形上射线的excess函数
5.3 具有非负Ricci曲率的开流形的拓扑
5.4 具有非负曲率完备流形的体积增长及其拓扑
5.5 小excess与开流形的拓扑
5.6 曲率下界与有限拓扑型
5.7 Excess函数的一个应用
5.8 小excess和Ricci曲率具有负下界的开流形的拓扑
5.9 具有非负Ricci曲率的开流形的基本群(I)
5.10 具有非负Ricci曲率的开流形的基本群(Ⅱ)
5.11 渐近非负Ricci曲率和弱有界几何的完备流形
5.12 曲率与Betti数
5.13 球面同伦群的伸缩不变量
5.14 积分Ricci曲率有下界对基本群和第1Betti数的限制
5.15 具有有限调和指标的极小超曲面

前言/序言

　　大学最重要的功能是向社会输送人才．大学对于一个国家、民族乃至世界的重要性和贡献度，很大程度上是通过毕业生在社会各领域所取得的成就来体现的．
　　中国科学技术大学建校只有短短的50年，之所以迅速成为享有较高国际声誉的著名大学之一，主要就是因为她培养出了一大批德才兼备的优秀毕业生．他们志向高远、基础扎实、综合素质高、创新能力强，在国内外科技、经济、教育等领域做出了杰出的贡献，为中国科大赢得了“科技英才的摇篮”的美誉．
　　2008年9月，胡锦涛总书记为中国科大建校五十周年发来贺信，信中称赞说：半个世纪以来，中国科学技术大学依托中国科学院，按照全院办校、所系结合的方针，弘扬红专并进、理实交融的校风，努力推进教学和科研工作的改革创新，为党和国家培养了一大批科技人才，取得了一系列具有世界先进水平的原创性科技成果，为推动我国科教事业发展和社会主义现代化建设做出了重要贡献．
　　据统计，中国科大迄今已毕业的5万人中，已有42人当选中国科学院和中国工程院院士，是同期（自1963年以来）毕业生中当选院士数最多的高校之一．其中，本科毕业生中平均每1，000人就产生1名院士和。700多名硕士、博士，比例位居全国高校之首．还有众多的中青年才俊成为我国科技、企业、教育等领域的领军人物和骨干．在历年评选的“中国青年五四奖章”获得者中，作为科技界、科技创新型企业界青年才俊代表，科大毕业生已连续多年榜上有名，获奖总人数位居全国高校前列．鲜为人知的是，有数千名优秀毕业生踏上国防战线，为科技强军做出了重要贡献，涌现出20多名科技将军和一大批国防科技中坚．

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