计数组合学（第1卷） [Enumerative Combinatorics,Volume 1] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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[美] 斯坦利 著，付梅 等 译

图书标签:

• 组合数学
• 排列组合
• 计数原理
• 离散数学
• 数学
• 组合论
• 数学教材
• 高等数学
• 算法
• 数学分析

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040265484

版次：1

商品编码：10126330

包装：平装

丛书名： 组合数学丛书

外文名称：Enumerative Combinatorics,Volume 1

开本：16开

出版时间：2009-06-01

用纸：胶版纸

页数：342

字数：470000

正文语种：中文

编辑推荐

　　本书是《计数组合学》第一卷的中文版，共分为四章。第一章介绍了计数组合学的基本知识，包括生成函数、集合与重集、排列统计量以及组合计数的十二模式等；第二章介绍了计数组合学的筛法理论，包括容斥原理及其在限位排列问题、Ferrers棋盘问题、V-分拆以及单峰序列中的应用，另外还有对合原理及其在行列式中的应用；第三章介绍了偏序集理论，包括偏序集的基本概念、Mobius反演理论、二项型偏序集理论等。第四章介绍了有理生成函数理论，包括单变量有理幂级数、P-分拆、齐次线性Diophantine方程组和转移矩阵法等。本书的选材几乎覆盖了基本计数组合学的所有理论，参考文献非常翔实。特别值得一提的是，书中提供了大量的不同难度的习题，其中包括一些未解决的公开问题，可以帮助读者更好地学习和理解相关的理论。

内容简介

　　两卷本计数组合学基础导论中的第一卷，适用于研究生和数学研究人员。《计数组合学（第1卷）》主要介绍生成函数的理论及其应用，生成函数是计数组合学中的基本工具。《计数组合学（第1卷）》共分为四章，分别介绍了计数（适合高年级的本科生），筛法（包括容斥原理），偏序集以及有理生成函数。《计数组合学（第1卷）》提供了大量的习题，并几乎都给出了解答，它们不仅是对《计数组合学（第1卷）》正文的极大扩充，而且对书中没有直接涉及的许多领域提供了入门途径。《计数组合学（第1卷）》的选材覆盖了计数组合学中应用广泛以及与其它数学领域关联密切的部分。中文版根据英文修订版译出，包括内容的更新和习题的补充。对于希望把组合数学应用到工作中的研究生和数学工作者来.说，《计数组合学（第1卷）》是一本著作。

作者简介

　　Richard P.Sta rlley现任美国麻省理工学院数学系教授，是国际组合学界的领军人物之一。1971年获得美国哈佛大学博士学位，1988年当选美国艺术与科学院院士，1995年当选美国科学院院士。1975年获得工业与应用数学学会George Polya奖，2001年因两卷本《计数组合学》获得美国数学会Leroy P.Steele奖，2003年获得瑞典皇家科学院Rolf Sctlock奖，2006年被邀请在国际数学家大会上作一小时学术报告。
　　Stanley教授在组合数学及其与其它数学学科交叉的领域中做出很多原创性的研究工作。他的研究成果清晰简明、深刻全面、极富创造力，促进了数学诸多方向的决定性进展。同时，他非常注重扶持和培养年轻学者，由他撰写的包括本书在内的研究生教科书已成为同类书籍中的范本。

精彩书评

　　“Stanley的书具有很强的可读性，是一座资料的宝库。”
　　——E.Keith Lloyd，Journal of the LMS
　　“……每一位打开本书的数学工作者都会乐于通篇阅读。”
　　——Gian-Carlo Rota
　　“……本书无疑会成为组合数学领域研究生入门教材的范本。”
　　——George E.Andrews，Bulletin of the AMS

目录

序
前言
译者序
记号
第一章 什么是计数组合学
§1.1 如何计数
§1.2 集合与重集
§1.3 排列统计量
§1.4 十二模式
注记
参考文献
关于习题的注记
习题
习题解答
第二章 筛法
§2.1 容斥
§2.2 例子和特殊情况
§2.3 限制位置的排列
§2.4 Ferrers棋盘
§2.5 V-分拆与单峰序列
§2.6 对合
§2.7 行列式
注记
参考文献
习题
习题解答
第三章 偏序集
§3.1 基本概念
§3.2 从已知偏序集构造新偏序集
§3.3 格
§3.4 分配格
§3.5 分配格中的链
§3.6 局部有限偏序集的关联代数
§3.7 Mobius反演公式
§3.8 计算Mobius函数的技巧
§3.9 格及其Mobius代数
§3.10 半模格的Mobius函数
§3.11 ζ多项式
§3.12 秩选取
§3.13 R-标号
§3.14 Euler偏序集
§3.15 二项型偏序集与生成函数
§3.16 在排列计数中的一个应用
注记
参考文献
习题
习题解答
第四章 有理生成函数
§4.1 单变量有理幂级数
§4.2 进一步的细分
§4.3 多项式
§4.4 准多项式
§4.5 P-分拆
§4.6 齐次线性Diophantine方程
§4.7 转移矩阵法
注记
参考文献
习题
习题解答
附录 图论术语
名词索引
补充习题

前言/序言

　　令人遗憾的是，一本书一经出版并开始它自己的生命之旅，就无法再见证作者写作过程中曾遇到的各种痛苦的选择。面向哪类读者？内容能否经得起推敲？能否得到专家的认可？是每一本书的作者必须面对的难题。多数作者常会面对书的内容清单陷入苦思冥想而迟迟不能落笔，这些书也许永远不为人知。事实上，此类突发奇想的作品在某些国家也能交付印刷f虽然它们也未必列入作者的出版物中）。
　　压力是如此之大，选择是如此的痛苦，以至于作者要有莫大的勇气才能完成数学书籍的撰写。这其中又以组合数学最为困难，即便是面向的读者乐意阅读且毫无偏见。一个孤立的特殊结果能否自成一节？一个应用甚少初具雏形的新理论能否放心地插入到某一章中？作者更应该注重什么，生动有趣还是严谨刻板；或者更应该强调算法？
　　Richard Stanley很成功地突破了重重阻碍。他的书反驳了有人关于组合数学定理多，理论却相对较少的看法。凭借对当前阶段热点理论的睿智判断，从拓扑到计算机科学，从代数到复变函数，他选取各类大众化的例子并加以融合。相信读者永远不会对书中一个说明性的例证，或是一个不符合G.H.Hardy惊喜标准的证明感到茫然无措。
　　对于那些带着组合问题来寻求我们帮助的同事，Stanley选择的习题一定能为他们提供满意的参考资料。最值得称道的是，Stanley的写作手法非常成功，使得该书十分引人人胜，每一位数学工作者都会乐于通篇阅读。

《离散数学基础：集合、关系与函数》 第一部分：集合论的严谨基石 本书旨在为读者构建一个坚实、清晰的离散数学知识体系，重点聚焦于集合论的严格定义、操作及其在逻辑推理中的应用。我们摒弃了对高等组合学中排列组合等复杂计数方法的直接探讨，转而深耕于构建数学语言的基石——集合本身。 第一章：集合的严格定义与基本运算 本章从集合论的公理化视角出发，而非仅停留在直观理解。我们详细阐述了朴素集合论（Naive Set Theory）的局限性，并引入了ZFC公理系统（Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice）的关键思想，特别是外延性公理、分离公理和幂集公理，为后续的严格证明打下基础。 集合的表示法被细致讲解，包括枚举法、描述法，以及通过特定属性构建集合的技巧。核心内容集中在集合间的基本运算：并集、交集、差集、补集的操作及其性质（如分配律、德摩根定律）。通过大量的图示和代数推导，确保读者能够熟练地在符号层面和视觉层面理解这些操作。 特别地，本章引入了集合的笛卡尔积，将其定义为有序对的集合，这为后续的二元关系奠定了不可或缺的结构基础。 第二章：函数的本质与性质 函数被视为集合论中的一种特殊关系。本章首先回顾了函数作为一种特殊二元关系的正式定义，强调其“唯一像”的性质。 我们深入探讨了函数的分类：单射（Injectivity，一对一）、满射（Surjectivity，映上）和双射（Bijectivity，一一对应）。对于每一种性质，我们都提供了严谨的数学证明方法，例如如何通过构造反例来否定单射性。 函数的复合运算及其性质被细致分析。此外，本书独立开辟一节，详细讨论了反函数的存在条件、构造方法及其与原函数的关系。对于双射，我们强调了它在集合之间建立“大小”等价性（基数）的直观意义，尽管我们暂时避开无穷基数的具体计算。 第二部分：关系代数与结构 本部分将集合间的关系提升到核心地位，这是理解代数结构和图论的基础。 第三章：二元关系的拓扑与运算 二元关系 $R subseteq A imes B$ 的形式化定义是本章的起点。我们探讨了关系的表示方法，包括使用有序对、关系矩阵（仅作为辅助工具，不涉及复杂的矩阵运算）以及关系图。 关系运算，如逆关系 $R^{-1}$、关系的交、并和复合，被清晰界定。重点在于关系的传递性（Transitivity）的理解，通过链式结构展示关系的延续性。 第四章：特殊关系的分类与应用 本章的核心是对具有特定结构的关系进行分类和深入研究。 1. 自反性、对称性与反对称性：这些性质的定义和它们之间的相互排斥或兼容性进行了详细的比较分析。 2. 等价关系（Equivalence Relations）：等价关系是本章的重中之重。我们证明了等价关系可以将一个集合“划分”（Partition）成互不相交的子集，即等价类。等价类的概念及其性质（如任意两个等价类要么相等要么不相交）通过规范化的例子（如模 $n$ 的同余关系）得到了充分的阐释。 3. 偏序关系（Partial Orderings）：偏序关系与等价关系形成对比，引入了“可比性”与“不可比性”的概念。我们引入了哈斯图（Hasse Diagrams）作为可视化偏序结构的主要工具，并探讨了极小元、极大元、最小元和最大元等关键概念，为后续的格理论（未深入）打下基础。 第三部分：逻辑推理与证明技巧 本部分致力于训练读者的严谨数学思维，重点不在于计数，而在于如何构建一个无懈可击的证明。 第五章：命题逻辑与谓词逻辑基础 我们从形式逻辑的符号系统入手，定义了命题变量、连接词（$ eg, wedge, vee, ightarrow, leftrightarrow$）。逻辑等价性的概念通过真值表被严格验证，特别是条件语句和双条件语句的复杂性被剖析。 随后，我们引入了一阶谓词逻辑，定义了量词（全称 $forall$ 和存在 $exists$）。本章的核心是量词的否定规则和作用域的明确界定，这是避免逻辑错误的必要步骤。 第六章：数学证明的结构化方法 本章是方法论的总结。我们系统地介绍了主要的证明范式： 1. 直接证明：基于定义和已知定理的线性推理。 2. 反证法（Proof by Contradiction）：通过假设结论不成立导致逻辑矛盾来确立原结论的正确性。 3. 数学归纳法（Mathematical Induction）：严格区分了基础步骤和归纳步骤，并强调了强归纳法和弱归纳法的等价性，重点用于证明与自然数相关的陈述（如序列性质、递归定义的结构等）。 4. 构造法：通过直接给出一个实例来证明存在性。 本书强调，所有的计数问题在逻辑上都可以归结为集合的基数比较和结构分析，而非专注于复杂的组合公式的应用。通过对集合论、关系和逻辑推理的深入理解，读者将掌握在所有数学领域中进行精确思考和表达的能力。

评分☆☆☆☆☆

刚拿到这本书的时候，就被它厚实的封面和严谨的排版吸引了。翻开扉页，作者的名字如雷贯耳，立刻就充满了期待。这本书真的不是那种可以随意翻阅的书，它需要你沉下心来，一步一步地跟着作者的思路走。里面的内容，从目录上看就知道了，涵盖了计数组合学的各个重要分支。我最喜欢的部分是关于生成函数和多项式理论的那几章，作者用一种非常精妙的方式将它们联系起来，让我对这些工具有了全新的认识。那些令人惊叹的恒等式和定理，在作者的解读下，不再是冰冷的符号，而是充满生命力的数学思想。虽然有些地方的证明过程确实需要反复揣摩，甚至借助其他资料，但这正是学习的乐趣所在。我感觉自己不仅仅是在学习知识，更是在学习一种严谨的数学推理能力。这本书就像一座富矿，每一次挖掘都能发现新的宝藏，每一次重读都能有新的领悟。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的难度不小，但它带来的回报也是巨大的。它更像是一本“武功秘籍”，需要你付出极大的努力去练习，但一旦掌握，就能解锁很多强大的数学工具。我个人觉得，这本书最出彩的地方在于它将抽象的计数问题与具体的代数结构巧妙地结合起来。比如，它对于某些组合对象的计数，能够通过对某个代数结构的分析来解决，这种跨领域的联系，实在令人拍案叫绝。书中对某些复杂定理的证明，虽然一开始让人望而生畏，但经过反复研读，你会发现其中精妙绝伦的数学技巧。我特别喜欢书中那些“陷阱”式的习题，它们能够让你在解决问题的过程中，深刻地认识到概念的边界和注意事项。对于那些有一定数学基础，并且希望挑战自己、深入探索计数组合学前沿的读者，这本书绝对是一个不容错过的选择。

评分☆☆☆☆☆

作为一名资深的数学爱好者，我对组合学领域一直有着特别的情感。这本书，毫不夸张地说，是我近年来读过的最令人印象深刻的数学书籍之一。它不仅仅是一本教科书，更像是一次深入的学术对话。作者的笔触流畅而富有逻辑，即使是那些最深奥的定理，在他的阐释下也变得触手可及。我特别欣赏书中对每个概念的定义和解释都极为到位，并且在后续的章节中不断地将其延展和应用，形成一个有机的整体。书中的某些段落，读起来仿佛是在聆听一位大师在娓娓道来，那种智慧的光芒让人沉醉。对于那些渴望在计数组合学领域进行深入研究的读者，这本书无疑是必不可少的参考。它不仅提供了必要的知识储备，更重要的是，它教会了我如何以一种更深刻、更系统的方式去思考和解决组合学问题。

评分☆☆☆☆☆

一本数学巨著，它以一种令人难以置信的深度和广度，探索了计数组合学的核心概念。从最基础的杨表和李代数，到更高级的谢弗多项式和对称群表示，作者以一种系统而又富有洞察力的方式，层层递进地揭示了这些概念之间的内在联系。阅读这本书的过程，就像是在一场精心设计的数学迷宫中穿行，每一步都充满了惊喜和挑战。我特别欣赏作者在解释抽象概念时所使用的清晰和直观的比喻，这极大地降低了理解门槛，让我能够更专注于数学本身的美妙。书中大量的例子和习题，不仅巩固了所学知识，更激发了我进一步探索的兴趣。对于任何希望深入了解计数组合学，特别是对代数组合学领域有浓厚兴趣的读者来说，这本书无疑是一份宝贵的财富。它不只是一个知识的集合，更是一种思考数学问题的方式的引导，教会我如何去构建和理解更复杂的数学结构。

评分☆☆☆☆☆

我是一个对计数组合学一直很感兴趣的初学者，一直想找一本能够系统入门的书。在朋友的推荐下，我入手了这本《计数组合学（第1卷）》。这本书的优点在于它由浅入深，从最基本的计数原理开始，逐步引入更复杂的概念。作者的语言非常精确，但又不失幽默感，读起来不会觉得枯燥。我尤其喜欢书中的一些“逸闻趣事”，它们不仅增加了阅读的趣味性，也让我对这些数学概念的历史和发展有了更深的了解。书中给出的证明，逻辑清晰，推理严密，让我能跟得上作者的思路。当然，对于初学者来说，有些地方还是会有些吃力，需要花时间和精力去理解。但这本书的优点在于，它提供了足够的资源和引导，让你能够克服这些困难。完成其中的一些习题，真的会有一种成就感。这本书为我打开了计数组合学的大门，让我对这个领域充满了好奇心。

评分☆☆☆☆☆

好书。。。。

评分☆☆☆☆☆

好书。。。。

评分☆☆☆☆☆

我看了亚马逊，当当，只有在京东，又便宜，第二天就收到了，书很好，是学组合数学的必看之书。

评分☆☆☆☆☆

很喜欢（:..美1.美）:..斯坦利1.斯坦利，他的每一本书几本上都有，这本计数组合学（第1卷）很不错，本书是计数组合学第一卷的中文版，共分为四章。第一章介绍了计数组合学的基本知识，包括生成函数、集合与重集、排列统计量以及组合计数的十二模式等第二章介绍了计数组合学的筛法理论，包括容斥原理及其在限位排列问题、棋盘问题、-分拆以及单峰序列中的应用，另外还有对合原理及其在行列式中的应用第三章介绍了偏序集理论，包括偏序集的基本概念、反演理论、二项型偏序集理论等。第四章介绍了有理生成函数理论，包括单变量有理幂级数、-分拆、齐次线性方程组和转移矩阵法等。本书的选材几乎覆盖了基本计数组合学的所有理论，参考文献非常翔实。特别值得一提的是，书中提供了大量的不同难度的习题，其中包括一些未解决的公开问题，可以帮助读者更好地学习和理解相关的理论。两卷本计数组合学基础导论中的第一卷，适用于研究生和数学研究人员。计数组合学（第1卷）主要介绍生成函数的理论及其应用，生成函数是计数组合学中的基本工具。计数组合学（第1卷）共分为四章，分别介绍了计数（适合高年级的本科生），筛法（包括容斥原理），偏序集以及有理生成函数。计数组合学（第1卷）提供了大量的习题，并几乎都给出了解答，它们不仅是对计数组合学（第1卷）正文的极大扩充，而且对书中没有直接涉及的许多领域提供了入门途径。计数组合学（第1卷）的选材覆盖了计数组合学中应用最为广泛以及与其它数学领域关联最为密切的部分。中文版根据英文修订版译出，包括内容的更新和习题的补充。对于希望把组合数学应用到工作中的研究生和数学工作者来.说，计数组合学（第1卷）是一本权威著作。令人遗憾的是，一本书一经并开始它自己的生命之旅，就无法再见证作者写作过程中曾遇到的各种痛苦的选择。面向哪类读者内容能否经得起推敲能否得到专家的认可是每一本书的作者必须面对的难题。多数作者常会面对书的内容清单陷入苦思冥想而迟迟不能落笔，这些书也许永远不为人知。事实上，此类突发奇想的作品在某些国家也能交付印刷虽然它们也未必列入作者的物中）。压力是如此之大，选择是如此的痛苦，以至于作者要有莫大的勇气才能完成数学书籍的撰写。这其中又以组合数学最为困难，即便是面向的读者乐意阅读且毫无偏见。一个孤立的特殊结果能否自成一节一个应用甚少初具雏形的新理论能否放心地插入到某一章中作者更应该注重什么，生动有趣还是严谨刻板或者更应该强调算法很成功地突破了重重阻碍。他的书反驳了有人关于组合数学定理多，理论却相对较少的看法。凭借对当前阶段热点理论的睿智判断，从拓扑到计算机科学，从代数到复变函数，他选取各类大众化的例子并加以

评分☆☆☆☆☆

计数组合学是组合数学的重要研究方向之一,主要研究有限集合上的组合结构在给定条件下的计数问题。本文的主要工作包括以下几个方面: 在第一章,定义了两族广义p-Stirling数,将二项式系数和经典Stirling数统一起来。讨论广义p-Stirling数的组合意义,将一维的有限集合分拆和排列推广到p-维情形;得到p-Stifling数的封闭形式的差分恒等式;并研究p-Stirling矩阵的行列式性质。 在第二章,研究一种简单而又重要的组合结构——Dyck路,这是近几年国内外的组合学者研究的一个热点课题。首先刻画了波谷严格递增的Dyck路与整数有序分拆之间的关系;然后利用双射、生成树以及Riordan阵的方法来对集合D_m的一些子集进行计数,得到一些以经典的序列如Catalan数、Narayana数、Motzkin数、Fibonacci数、Schr(?)der数以及第一类无符号Stirling数来计数的组合结构。特别地,给出两个新的Catalan结构,它们并没有出现在Stanley所给的关于Catalan结构的列表中。最后定义一种新的有禁排列模式,并讨论关联Dyck路与这种有禁排列之间的一些问题。 在第三章,研究广义Fibonacci多项式的代数性质,包括广义Fibonacci多项式的系数组成的矩阵的性质;广义Fibonacci多项式系数的组合意义;以及广义Fibonacci多项式的普通型卷积求和公式。 在第四章,基于MacMahon分拆技巧,将Sellers关于整数分拆的一个定理推广到更一般的情形(即将向量限制形式推广到矩阵限制形式),并给出了大量有益的应用,其中涉及到许多经典的序列如Bell数、Fibonacci数、Lucas数和Pell数等。利用二叉表示之间的变换来研究将整数N表示成不同Fibonacci数之和的表示法的公式R(N),得到了R(N)的新的递推关系式,通过这些关系,很容易计算R(N)在N很大时的值　本书是《计数组合学》第一卷的中文版，共分为四章。第一章介绍了计数组合学的基本知识，包括生成函数、集合与重集、排列统计量以及组合计数的十二模式等；第二章介绍了计数组合学的筛法理论，包括容斥原理及其在限位排列问题、Ferrers棋盘问题、V-分拆以及单峰序列中的应用，另外还有对合原理及其在行列式中的应用；第三章介绍了偏序集理论，包括偏序集的基本概念、Mobius反演理论、二项型偏序集理论等。第四章介绍了有理生成函数理论，包括单变量有理幂级数、P-分拆、齐次线性Diophantine方程组和转移矩阵法等。本书的选材几乎覆盖了基本计数组合学的所有理论，参考文献非常翔实。特别值得一提的是，书中提供了大量的不同难度的习题，其中包括一些未解决的公开问题，可以帮助读者更好地学习和理解相关的理论。

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印刷质量很好，讲解很细致

评分☆☆☆☆☆

健康快乐健康快乐了就

评分☆☆☆☆☆

很喜欢（:..美1.美）:..斯坦利1.斯坦利，他的每一本书几本上都有，这本计数组合学（第1卷）很不错，本书是计数组合学第一卷的中文版，共分为四章。第一章介绍了计数组合学的基本知识，包括生成函数、集合与重集、排列统计量以及组合计数的十二模式等第二章介绍了计数组合学的筛法理论，包括容斥原理及其在限位排列问题、棋盘问题、-分拆以及单峰序列中的应用，另外还有对合原理及其在行列式中的应用第三章介绍了偏序集理论，包括偏序集的基本概念、反演理论、二项型偏序集理论等。第四章介绍了有理生成函数理论，包括单变量有理幂级数、-分拆、齐次线性方程组和转移矩阵法等。本书的选材几乎覆盖了基本计数组合学的所有理论，参考文献非常翔实。特别值得一提的是，书中提供了大量的不同难度的习题，其中包括一些未解决的公开问题，可以帮助读者更好地学习和理解相关的理论。两卷本计数组合学基础导论中的第一卷，适用于研究生和数学研究人员。计数组合学（第1卷）主要介绍生成函数的理论及其应用，生成函数是计数组合学中的基本工具。计数组合学（第1卷）共分为四章，分别介绍了计数（适合高年级的本科生），筛法（包括容斥原理），偏序集以及有理生成函数。计数组合学（第1卷）提供了大量的习题，并几乎都给出了解答，它们不仅是对计数组合学（第1卷）正文的极大扩充，而且对书中没有直接涉及的许多领域提供了入门途径。计数组合学（第1卷）的选材覆盖了计数组合学中应用最为广泛以及与其它数学领域关联最为密切的部分。中文版根据英文修订版译出，包括内容的更新和习题的补充。对于希望把组合数学应用到工作中的研究生和数学工作者来.说，计数组合学（第1卷）是一本权威著作。令人遗憾的是，一本书一经并开始它自己的生命之旅，就无法再见证作者写作过程中曾遇到的各种痛苦的选择。面向哪类读者内容能否经得起推敲能否得到专家的认可是每一本书的作者必须面对的难题。多数作者常会面对书的内容清单陷入苦思冥想而迟迟不能落笔，这些书也许永远不为人知。事实上，此类突发奇想的作品在某些国家也能交付印刷虽然它们也未必列入作者的物中）。压力是如此之大，选择是如此的痛苦，以至于作者要有莫大的勇气才能完成数学书籍的撰写。这其中又以组合数学最为困难，即便是面向的读者乐意阅读且毫无偏见。一个孤立的特殊结果能否自成一节一个应用甚少初具雏形的新理论能否放心地插入到某一章中作者更应该注重什么，生动有趣还是严谨刻板或者更应该强调算法很成功地突破了重重阻碍。他的书反驳了有人关于组合数学定理多，理论却相对较少的看法。凭借对当前阶段热点理论的睿智判断，从拓扑到计算机科学，从代数到复变函数，他选取各类大众化的例子并加以

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