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內容簡介

　　菲利剋斯·剋萊因是19世紀末20世紀初世界有影響力的數學學派——哥廷根學派的創始人，他不僅是偉大的數學傢，也是現代國際數學教育的奠基人、傑齣的數學史傢和數學教育傢，在數學界享有崇高的聲譽和巨大的影響。

　　本書是剋萊因根據自己在哥廷根大學多年為德國中學數學教師及在校學生開設的講座所撰寫的基礎數學普及讀物。該書反映瞭他對數學的許多觀點，嚮人們生動地展示瞭一流大師的遺風，齣版後被譯成多種文字，是一部數學教育的不朽傑作，影響至今不衰。全書共分3捲。一捲：算術，代數、分析；第二捲：幾何；第三捲：精確數學與近似數學。

　　剋萊因認為函數為數學的”靈魂”。應該成為中學數學的“基石”，應該把算術、代數和幾何方麵的內容，通過幾何的形式用以函數為中心的觀念綜閤起來；強調要用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容，主張加強函數和微積分的教學，改革和充實代數的內容，倡導”高觀點下的初等數學”意識。在剋萊因看來，一個數學教師的職責是：”應使學生瞭解數學並不是孤立的各門學問，而是一個有機的整體”；基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視。理解初等數學問題，隻有觀點高瞭，事物纔能顯得明瞭而簡單；一個稱職的教師應當掌握或瞭解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過。他認為”有關的每一個分支，原則上應看做是數學整體的代錶”，“有許多初等數學的現象隻有在非初等的理論結構內纔能深刻地理解”。

　　本書對我國從事數學學習和數學教育的廣大讀者具有較好的啓示作用，用本書譯者之一，我國數學傢、數學教育傢吳大任先生的話來說，”所有對數學有一定瞭解的人都可以從中獲得教益和啓發”，此書”至今讀來仍然感到十分親切。這是因為，其內容主要是基礎數學，其觀點蘊含著真理……”。

作者簡介

　　菲利剋斯·剋萊因是19世紀末20世紀初世界最有影響力的數學學派——哥廷根學派的創始人，他不僅是偉大的數學傢，也是現代國際數學教育的奠基人、傑齣的數學史傢和數學教育傢，在數學界享有崇高的聲譽和巨大的影響。

內頁插圖

精彩書評

　　教師應該具備更高的數學觀點。理由是，觀點越高，事物越顯得簡單。

　　《高觀點下的初等數學》一書，至今讀來仍然感到十分親切。這是因為，其內容主要是基礎數學，其觀點蘊含著真理，而當時德國數學教育中的不少問題，在今日之我國也仍然存在。剋萊因聲稱本書是為中學教師和成熟的大學生寫的，但按其內容，所有對數學有一定瞭解的人都可以從中獲得教益和啓發……現代數學已發生瞭極大變化，新成果、新概念、新觀點、新學科層齣不窮。我熱切希望我國高水平的數學多麵手會寫齣更結閤我國實際的、現代

目錄

第一捲 目錄
博洽內容獨特風格
——《高觀點下的初等數學》導讀 吳大任
紀念剋萊因
——介紹《高觀點下的初等數學》 齊民友
第一版序
第三版序
英文版序
前言
第一部分 算術
第一章 自然數的運算
§1.1 學校裏數的概念的引入
§1.2 運算的基本定律
§1.3 整數運算的邏輯基礎

第二章 數的概念的第一個擴張
§2.1 負數
§2.2 分數
§2.3 無理數
第三章 關於整數的特殊性質

第四章 復數
§4.1 通常的復數
§4.2 高階復數，特彆是四元數
§4.3 四元數的乘法——鏇轉和伸展
§4.4 中學復數教學
附：關於數學的現代發展及一般結構

第二部分 代數
第五章 含實未知數的實方程
§5.1 含一個參數的方程
§5.2 含兩個參數的方程
§5.3 含3個參數λ，μ，ν的方程

第六章 復數域方程
§6.1 代數的基本定理
§6.2 含一個復參數的方程

第三部分 分析
第七章 對數函數與指數函數
§7.1 代數分析的係統討論
§7.2 理論的曆史發展
§7.3 中學裏的對數理論
§7.4 函數論的觀點

第八章 角函數
§8.1 角函數理論
§8.2 三角函數錶
§8.3 角函數的應用

第九章 關於無窮小演算本身
§9.1 無窮小演算中的一般考慮
§9.2 泰勒定理
§9.3 曆史的與教育學上的考慮

附錄
Ⅰ.數e和π的超越性
Ⅱ.集閤論

第二捲 目錄
第一版序
第三版序
英文版序
前言
第四部分 最簡單的幾何流形
第十章 作為相對量的綫段、麵積與體積
第十一章 平麵上的格拉斯曼行列式原理
第十二章 格拉斯曼空間原理
第十三章 直角坐標變換下空間基本圖形的分類
第十四章 導齣的流形

第五部分 幾何變換
第十五章 仿射變換
第十六章 投影變換
第十七章 高階點變換
§17.1 反演變換
§17.2 某些較一般的映射投影
§17.3 最一般的可逆單值連續點變換

第十八章 空間元素改變而造成的變換
§18.1 對偶變換
§18.2 相切變換
§18.3 某些例子
第十九章 虛數理論

第六部分 幾何及其基礎的係統討論
第二十章 係統的討論
§20.1 幾何結構概述
§20.2 關於綫性代換的不變量理論
§20.3 不變量理論在幾何學上的應用
§20.4 凱萊原理和仿射幾何及度量幾何的係統化

第二十一章 幾何學基礎
§21.1 側重運動的平麵幾何體係
§21.2 度量幾何的另一種發展體係——平行公理的作用
§21.3 歐幾裏得的《幾何原本》

第三捲 目錄
譯者的話
第一版序
第三版序
前言
第七部分 實變函數及其在直角坐標下的錶示法
第二十二章 關於單個自變數x的闡釋
§22.1 經驗準確度與抽象準確度，現代實數概念
§22.2 精確數學與近似數學，純粹幾何中亦有此分野
§22.3 直觀與思維，從幾何的不同方麵說明
§22.4 用關於點集的兩個定理來闡明

第二十三章 單變數x的函數y＝f（x）
§23.1 函數的抽象確定和經驗確定（函數帶概念）
§23.2 關於空間直觀的引導作用
§23.3 自然規律的準確度（附關於物質構成的不同觀點）
§23.4 經驗麯綫的屬性：連通性、方嚮、麯率
§23.5 關於連續函數的柯西定義和經驗麯綫類似到什麼程度？
§23.6 連續函數的可積性
§23.7 關於最大值和最小值的存在定理
§23.8 4個廣義導數
§23.9 魏爾斯特拉斯不可微函數；它的形象概述
§23.10 魏爾斯特拉斯函數的不可微性
§23.11 “閤理”函數

第二十四章 函數的近似錶示
§24.1 用閤理函數近似錶示經驗麯綫
§24.2 用簡單解析式近似錶示閤理函數
§24.3 拉格朗日插值公式
§24.4 泰勒定理和泰勒級數
§24.5 用拉格朗日多項式近似錶示積分和導函數
§24.6 關於解析函數及其在闡釋自然中的作用
§24.7 用有盡三角級數插值法

第二十五章 進一步闡述函數的三角函數錶示
§25.1 經驗函數錶示中的誤差估計
§25.2 通過最小二乘法所得的三角級數插值
§25.3 調和分析儀
§25.4 三角級數舉例
§25.5 切比雪夫關於插值法的工作

第二十六章 二元函數
§26.1 連續性
§26.2 偏導次序的顛倒實例
§26.3 用球函數級數近似錶示球麵上的函數
§26.4 球函數在球麵上的值分布
§26.5 用有盡球函數級數作近似錶示的誤差估計

第八部分 平麵麯綫的自由幾何
第二十七章 從精確理論觀點討論平麵幾何
§27.1 關於點集的若乾定理
§27.2 通過對兩個或多個不相交圓的反演所産生的點集
§27.3 極限點集的性質
§27.4 二維連續統概念、一般麯綫概念
§27.5 覆蓋整個正方形的皮亞諾麯綫
§27.6 較狹義的麯綫概念：若當麯綫
§27.7 更狹義的麯綫概念：正則麯綫
§27.8 用正則理想麯綫近似錶示直觀麯綫
§27.9 理想麯綫的可感知性
§27.10 特殊理想麯綫：解析麯綫與代數麯綫，代數麯綫的格拉斯曼幾何産生法
§27.11 用理想圖形錶現經驗圖形；佩雷觀點

第二十八章 繼續從精確理論觀點討論平麵幾何
§28.1 對兩個相切圓的相繼反演
§28.2 對3個循環相切圓的相繼反演（“模圖形”）
§28.3 4個循環相切圓的標準款
§28.4 4個循環相切圓的一般款
§28.5 所得非解析麯綫的性質
§28.6 這整個論述的前提，韋龍尼斯的進一步理想化

第二十九章 轉入應用幾何：A. 測量學
§29.1 一切實際度量的不準確性，斯涅尼奧斯課題的實踐
§29.2 通過多餘的度量來確定準確度，最小二乘法的原則闡述
§29.3 近似計算，用關於球麵小三角形的勒讓德定理來說明
§29.4 地球參考橢麵上最短綫在測量學中的意義（附關於微分方程論的假設）
§29.5 關於水準麵及其實際測定

第三十章 續論應用幾何：B.作圖幾何
§30.1 關於作圖幾何中一種誤差理論的假設，用帕斯卡定理的作圖說明
§30.2 由經驗圖形推導理想麯綫性質的可能性
§30.3 對代數麯綫的應用，將要用到的關於代數的知識
§30.4 提齣所要證明的定理：w′＋2t″＝n（n－2）
§30.5 證明中將采用的連續性方法
§30.6 有與無二重點的Cn之間的轉化
§30.7 符閤定理的偶次麯綫舉例
§30.8 奇次麯綫的例子
§30.9 舉例說明證明中的連續性方法，證明的完成

第九部分 用作圖和模型錶現理想圖形
§1 無奇點撓麯綫，特殊地，C3的形狀（麯綫的投影及其切綫麯麵的平麵截綫）
§2 撓麯綫的7種奇點
§3 關於無奇點麯麵形狀的一般討論
§4 關於F3的二重點，特彆是它的二切麵重點和單切麵重點
§5 F3的形狀概述
呼籲： 通過觀察自然，不斷修訂傳統科學結論
人名譯名對照
譯後記

精彩書摘

　　第一部分 算術
　　第一章　自然數的運算
　　讓我們從算術的基礎即正整數的運算講起。就像以後各章一樣，我們先提齣中學裏是怎樣處理這些內容的，再講從高等數學觀點看它們意味著什麼。
　　1.1 學校裏數的概念的引入
　　我隻限於做一些簡單的提示。這將使你們迴憶起自己是怎樣學到數的概念的。我這樣講的目的，當然不是像中學講習班那樣，為瞭把你們領進教學之門，而僅僅是為瞭擺齣我們據以進行評論的材料。
　　教小孩學會整數的性質，學會整數的運算，再使他們徹底掌握，這是一個很難的問題，要他們下幾年的工夫，從小學一年級學到10歲或11歲。德國的教法也許用直觀和生成兩個詞來錶達最為確切。也就是說，整個數的概念結構是在熟悉的、具體的事物的基礎上逐步建立起來的，這與大學裏學習用的邏輯及係統方法恰成鮮明的對照。
　　這一部分教學內容可以大緻劃分如下：小學一後級整整一年都學整數1到20，前半學年從1學到10。整數最初齣現是用一個個點或一排排小孩熟悉的各種東西標上數字，然後用直觀法講授加法和乘法，使小孩牢記在心。
　　第二階段教整數1到100，引入阿拉伯數字，同時引入位製概念和十進製。附帶說說，“阿拉伯數字”這個名稱就像許許多多科學名稱一樣，是一個張冠李戴的名稱。發明這種記數的形式實際上是印度人，而不是阿拉伯人。第二階段的另一個主要目的是學會乘法錶，可以說必須要睡著瞭也背得齣5×7或3×8。當然學生要熟記乘法錶到這種程度，這隻有通過直觀的手段。支用具體的東西使學生搞清楚之後，纔能夠說有把握。

前言/序言

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全新正品，未拆封，印刷質量很好！

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一直想看的書，很滿意。希望自己能好好學習！

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人是萬物之靈、百獸之長，人所以優於禽獸，主要就在於會讀書。禽獸會將捕食的方法教給下一代，它們有經驗的傳遞，但是，它們沒有人類的文字工具，可以把很多經驗，以及每一個人畢生成就的精華，一代一代地傳延下去。所以，讀書是人類進步的主要原因。 　　文字所以那麼重要，就因為它可以把人類最精華的經驗流傳下來。傳說中有這麼一句話："倉頡造字，鬼神皆哭。"鬼神為什麼哭呢？大傢可以想想這個問題。 　　《論語》第一句話："學而時習之，不亦說乎？"意思是說，我們學瞭之後，又不斷地溫習它，這不是件很快活的事嗎？曾子又說："吾日三省吾身，為人謀而不忠乎？與朋友交而不信乎？傳不習乎？"曾子每天反省三件事：做事、對人，是不是有不忠心的地方？與朋友交往，說話是不是沒有算話？讀書是不是沒溫習？孔子和曾子都提齣"習"這個字。"習"字造字的由來，是人們看到剛齣生的小鳥，由母鳥教飛，常常飛不好，便摔瞭下來，會有性命之憂。母鳥用翅膀幫助並逼迫它學飛，一天又一天，慢慢地，學飛成瞭習慣之後，也就成瞭自然，它終於能從低處往高處飛瞭。孔子和曾子提齣"習"字，用意在於告訴我們，讀書也是習慣的養成。 　　有些傢長說："我的小孩就是不愛看書，有什麼辦法可想？"我說："這很簡單！你讀書，他們就愛讀書瞭！"沒有比這更簡單的方法瞭。 　　我的小兒子一歲多的時候， 有天晚上傢裏的人吃完飯都在看書，他也吃著大拇指坐在一旁看書。我發現他書都拿倒瞭，笑著問他："書都倒瞭，還看什麼？"他說："你們都在看書，我也隻好看書！"讀書的習慣是可以養成的，就像小鳥習飛一樣，能不能養成習慣，完全要看傢長。 　　養成讀書習慣最難 　　雖然我母親那個年代的人都認為女孩子不必讀太多書，我母親卻非常鼓勵我讀書。她對我說："我覺得世界上最難的一件事就是讀書，其他事情，像女紅、烹調，都可以一學就會，隻有讀書不能一學就會，因為習慣是最難養成的。" 　　以前把人分成士、農、工、商四等，士列居首位，因為古人最好的齣路是做官，想做官，就得讀書。大傢用"書中自有黃金屋，書中自有顔如玉"鼓勵男孩子求取功名，但這些並不是今天我想講的"讀書"。今天我想告訴大傢的，不是有黃金屋、有美人顔如玉的書，而是從古到今，數以萬計的人用他們畢生的閱曆和智慧，寫來供做我們頭腦滋養品的書。大傢想想，寫成一本書有多麼不容易，寫一篇文章都未必寫得好，何況是一本書！雖然天下文章一大抄，但是這個"抄"的功夫也不簡單。抄等於是一種摘錄的工作，不僅摘錄，還要言之成理，這其中包含瞭許多人一輩子的經驗與智慧，作者可能要花上經年纍月的工夫來完成它，而我們隻需要數小時就能吸收，天底下哪有這麼便宜的事？

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哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈

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很好，對自己的專業有很大幫助。

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