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內容簡介

　　現代科學的發展對概率論提齣瞭越來越高的要求。經典的極限理論以研究隨機變量序列部分和序列的極限性狀為己任，近代極限理論則主要研究部分和過程嚮布朗運動的強弱逼近。然而，隨著概率論與其他學科的交叉，所産生齣的許多復雜的隨機結構，遠遠不是用“部分和”就可以刻畫得瞭的。不同的隨機結構來自於迥異的領域，相差甚遠，對其中的概率問題的研究遠非傳統方法能夠勝任。自20世紀90年代以來，隨著對復雜隨機結構中隨機變量極限性狀的研究逐步開展，湧現齣許多全新的理論和方法，也深化和發展瞭一些原有的理論。這些理論與方法目前還隻散見於各種學術刊物，雖然已有不少綜述性的文章介紹其中的一些理論與方法，但是仍然缺乏一本較為全麵係統介紹它們的著作。
　　《現代極限理論及其在隨機結構中的應用》便是産生於這樣的背景之下。
　　《現代極限理論及其在隨機結構中的應用》作為國內關於隨機結構極限理論方麵的首本著作，將在簡略介紹概率論與經典極限理論基本內容的基礎上，介紹一些典型的隨機結構以及概率距離理論，並逐一剖析在隨機結構研究中最為廣泛使用的壓縮法、Polya罐方法、生成函數法、矩方法、Stein方法等，它們都是現行隨機結構研究領域中最為重要的方法。作者結閤近年來國內外最新的研究成果和文獻，形象生動地講述瞭這些方法的具體應用技巧，盡量使讀者能夠很快地熟悉並掌握這些方法。可以說，《現代極限理論及其在隨機結構中的應用》是開啓隨機結構研究領域大門的一把很好的鑰匙。
　　《現代極限理論及其在隨機結構中的應用》包含瞭隨機結構中的眾多研究方法和實例，內容係統全麵，可供相關專業的教師、學生以及研究人員使用參考。

內頁插圖

目錄

序
第一章 概率論基本知識
1.1 預備知識
1.1.1 概率空間
1.1.2 隨機變量
1.1.3 矩、特徵函數與分布
1.1.4 隨機變量在概率空間上的實現問題
1.2 隨機變量序列的各種收斂性
1.2.1 依概率收斂
1.2.2 a.s.收斂
1.2.3 平均收斂
1.2.4 依分布收斂
1.2.5 各種收斂性之間的關係
1.2.6 連續性定理
1.3 經典極限理論中的有關結果
1.3.1 大數律
1.3.2 中心極限定理
1.3.3 漸近正態的收斂速度估計
1.4 鞅
1.4.1 條件數學期望
1.4.2 鞅與相關的概念
1.4.3 鞅足標的隨機化
1.4.4 基本不等式
1.4.5 下鞅和鞅收斂的基本定理
1.4.6 鞅的大數律和中心極限定理
1.5 三大積分變換
1.5.1 Foreier積分公式
1.5.2 Fourier變換、Laplace變換與它們的逆變換
1.5.3 Mellin變換

第二章 隨機結構
2.1 圖論中的基本概念
2.1.1 圖的概念與錶示
2.1.2 樹的概念
2.2 隨機圖論
2.2.1 經典隨機圖論
2.2.2 隨機網絡
2.2.3 隨機樹
2.3 兩類典型的隨機遞歸結構
2.3.1 組閤隨機遞歸結構
2.3.2 連續參數隨機遞歸結構
2.4 與數據搜索有關的隨機遞歸結構舉例
2.4.1 Quickselect
2.4.2 聚類閤並（Mergesort）
2.4.3 索迴樹（Tries）
2.5 隨機m叉搜索樹
2.5.1 隨機m叉搜索樹的概念
2.5.2 隨機二叉搜索樹的子樹
2.5.3 隨機二叉搜索樹上的頂點數目
2.5.4 隨機二叉搜索樹上隨機頂點的深度
2.6 均勻遞歸樹
2.6.1 均勻遞歸樹的概念
2.6.2 均勻遞歸樹的分支數目
2.6.3 均勻遞歸樹上頂點n的深度
2.6.4 均勻遞歸樹中的路徑總長
2.6.5 均勻遞歸樹最大分支

第三章 概率距離
3.1 概率距離的一般性理論
3.1.1 從函數空間中的距離談起
3.1.2 一般度量空間中的概率距離
3.1.3 復雜距離與簡單距離
3.1.4 復雜距離的最小化
3.1.5 理想距離
3.2 lr距離
3.2.1 lr距離的定義
3.2.2 lr距離的性質
3.2.3 lr距離的收斂性
3.3 Zolotarev距離
3.3.1 Zolotarev距離的定義
3.3.2 Zolotarev距離的基本性質
3.3.3 Zolotarev距離的收斂性
3.3.4 Zolotarev距離的Lp版本
3.4 距離的光滑化
3.4.1 一緻密度距離的光滑化
3.4.2 全變差距離的光滑化
3.4.3 其他光滑化距離

第四章 壓縮法
4.1 壓縮法的最初形式
4.1.1 利用遞歸方程計算特徵數字
4.1.2 Rosler方法的基本思想
4.1.3 不動點原理
4.1.4 收斂到不動點
4.2 正態逼近與距離選擇問題
4.2.1 關於距離的選用問題
4.2.2 正態逼近問題中的距離選擇
4.2.3 正態分布的若乾刻畫定理
4.3 運用Zolotarev距離的例子與啓示
4.3.1 隨機二叉搜索樹的子樹數目
4.3.2 一些啓示
4.4 壓縮法的一般形式
4.4.1 遞歸問題的一般性提法
4.4.2 壓縮映射與不動點性質
4.4.3 收斂定理
4.4.4 K為依賴於n的隨機變量的情形
4.5 壓縮收斂定理在組閤結構中的應用
4.5.1 組閤結構中的壓縮收斂定理
4.5.2 轉移定理的應用：非漸近正態情形
4.5.3 中心極限定理（推論5.1）的應用
4.6 極限方程退化的情形
4.6.1 問題的由來
4.6.2 單一分支退化情形，漸近正態
4.6.3 一些應用
4.6.4 多分支退化情形
4.7 連續參數情形
4.7.1 參數連續情形下的一般性壓縮定理
4.7.2 連續參數下的中心極限定理
4.7.3 周期變化情形下的有關結果
4.8 關於分割樹上頂點數目的討論
4.8.1 N（x）的期望與方差
4.8.2 N（x）的中心極限定理
4.8.3 適用於本節結論的一些例子
4.8.4 不適用於本節結論的一些例子

第五章 Polya罐模型
5.1 模型簡介
5.2 隻含兩種顔色球的Polya罐
5.2.1 Polya-Eggenberger罐
5.2.2 BernardFriedman罐
5.2.3 Bagchi-Pal罐
5.2.4 Ehrenfest罐
5.3 Polya過程
5.3.1 Poisson化
5.3.2 反Poisson化
5.4 極限性質
5.5 廣義Polya罐模型
5.6 在隨機樹中的應用
5.6.1 隨機二又搜索樹
5.6.2 m叉搜索樹
5.6.3 均勻遞歸樹

第六章 生成函數
6.1 單變量生成函數
6.1.1 普通單變量生成函數的定義與性質
6.1.2 指數型生成函數的定義與性質
6.1.3 單變量生成函數的應用舉例：Catalan數
6.1.4 生成函數的係數
6.2 雙變量生成函數
6.2.1 應用示例：有顯式情形
6.2.2 應用示例：無顯式情形
6.3 概率生成函數
6.3.1 概率生成函數的定義號陛質
6.3.2 概率生成函數的應用舉例
6.4 生成函數在隨機結構中的若乾應用
6.4.1 均勻遞歸樹的最大分支和最小分支
6.4.2 m叉隨機搜索樹上的不成功搜索

第七章 經典方法在隨機結構研究中的若乾應用
7.1 組閤概率方法：關於均勻遞歸樹上的分支數目研究
7.1.1 ζn，1的分布律和極限分布
7.1.2 一般情形
7.1.3 ζn，m的聯閤分布
7.1.4 ζn，m聯閤分布的極限分布
7.2 組閤概率方法：關於Yule樹的研究
7.3 獨立和方法：關於均勻遞歸樹上的頂點間距離研究
7.3.1 關於均勻遞歸樹上頂點間距離研究的背景介紹
7.3.2 均勻遞歸樹上頂點間距離的大數律
7.3.3 均勻遞歸樹上頂點間距離的中心極限定理
7.4 矩方法
7.5 鞅方法
7.5.1 均勻遞歸樹的路徑總長
7.5.2 Barabasi-Albert隨機樹的最大頂點度數
7.6 Stein方法
7.6.1 正態逼近
7.6.2 Poisson逼近
參考文獻
索引

前言/序言

　　通常將極限理論、隨機過程和隨機分析稱為概率論的三大分支。
　　極限理論的基礎理論框架最早形成於20世紀40、50年代。此前隻有關於極限定理的一些零星結果，無窮可分分布理論的形成是極限理論理論體係框架建成的標誌，其主要結果是在Ko1mogorov的公理化體係形成之後的二三十年問形成的。Gne-denko和Ko1mogorov的專著《相互獨立隨機變量之和的極限定理》是經典極限理論發展曆程中具有裏程碑意義的代錶作。
　　經典極限理論的研究對象是隨機變量序列的部分和sn的各種極限性狀。在那裏，大數律、中心極限定理和重對數律都是關於sn的，並且最早幾乎都是關於獨立隨機變量序列的部分和的，後來由於實際的需求，各種相依序列也逐漸應運而生。鞅序列概念的産生，拓寬瞭經典極限理論的研究內容，也為概率論嚮數學其他分支的滲透提供瞭工具。
　　近代的極限理論則著眼於全麵考察隨機變量序列的部分和序列sn的極限性狀，典型的研究內容是關於s1，s2，…，sn所形成的部分和過程嚮布朗運動的強、弱收斂性。更進一步的內容則是關於各種隨機過程，包括鞅過程中的極限定理的研究。其基本標誌是：盡管所研究的課題具有不同的背景需求，但是所用的工具卻基本上屬於概率論自身的範疇，包括測度論和積分論。
　　計算機科學技術的迅速發展，不但為社會經濟和科學技術的發展提供瞭有力的工具和廣闊的平颱，也為現代自然科學的發展帶來瞭機遇，同時也提齣瞭新的挑戰。計算機科學的進步，離不開算法理論的發展，算法理論的發展催生瞭隨機圖論這一新興學科。隨機圖論迅速地突破瞭原有的經典框架，衍生齣隨機網絡和隨機樹兩大新生分支。
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