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陈维桓 著

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 例题
• 习题
• 教材
• 学习
• 参考书
• 大学教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040187731

版次：1

商品编码：10002542

包装：平装

开本：大32开

出版时间：2010-01-01

用纸：胶版纸

页数：316

字数：290000

正文语种：中文

内容简介

　　《微分几何例题详解和习题汇编》是数学专业和相关专业微分几何课程的教学参考书，也是与作者编著的普通高等教育“十五”国家规划教材《微分几何》(北京大学出版社，2006年)相配套的教学辅助参考书。《微分几何例题详解和习题汇编》是作者在北京大学长期从事微分几何课程教学经验的积累，反映了微分几何学科从外在理论到内在理论的发展趋势，在方法上使用了向量分析、活动标架和外微分等各种工具，与同类教学辅助参考书相比较，《微分几何例题详解和习题汇编》内容的选择是独创的，填补了有关出版物的空白。
　　《微分几何例题详解和习题汇编》内容包括：三维欧氏空间中的曲线论和曲面论、内蕴微分几何的要点复述、例题详解、习题汇编、解法提示或答案，其中“例题详解”为选修微分几何课程的学生提供了解题的范例，“要点复述”提供了本课程的复习要点，同时“习题汇编”提供了众多的练习题。《微分几何例题详解和习题汇编》对于学生学习微分几何课程有帮助，对于教师备课微分几何课程有参考价值，同时也为备考基础数学等相关专业研究生的学生提供了充分的复习资料。由于《微分几何例题详解和习题汇编》的叙述注意了与现代微分几何课程的衔接，所以《微分几何例题详解和习题汇编》对于学习现代微分几何等课程的学生也有帮助。

作者简介

　　陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊先生读研究生。长期从事子流形微分几何的研究，包括浸入子流形的积分公式，极小曲面，自共轭极小曲面，线性Weingarten曲面的Backlund变换，以及可积系统在子流形微分几何中的应用。在长期从事微分几何教学和研究的基础上，撰写和出版了微分几何类的系统教材，包括本科生和研究生所用的各种教材。

内页插图

目录

第一章 向量代数复习
§1．1 要点和公式
§1．2 例题详解
第二章 曲线论
§2．1 要点和公式
§2．2 例题详解
§2．3 习题
第三章 曲面的第一基本形式
§3．1 要点和公式
§3．2 例题详解
§3．3 习题
第四章 曲面的第二基本形式
§4．1 要点和公式
§4．2 例题详解
§4．3 习题
第五章 曲面论基本定理
§5．1 要点和公式
§5．2 例题详解
§5．3 习题
第六章 测地曲率和测地线
§6．1 要点和公式
§6．2 例题详解
§6．3 习题
第七章 活动标架和外微分法
§7．1 要点和公式
§7．2 例题详解
§7．3 习题
习题答案或提示

前言/序言

　　在作者编写的“十五”国家级规划教材《微分几何》由北京大学出版社在2006年出版后，受到许多兄弟院校同行的关注，有一些学校要采用该书作为微分几何课的教材。任课老师常常向我索要讲授该课的课件，不少老师和同学也问我一些比较困难的习题的答案和做法。恰好在此时，高等教育出版社赵天夫编辑征求我关于出版微分几何方面的习题集的意见。我想，要使这本《微分几何》能够得到比较广泛的使用，一本适用的教材参考书或习题集是不可或缺的，于是我萌发了写作《微分几何例题详解和习题汇编》的想法。我把这个想法和赵天夫编辑透露之后，很快得到他的热情支持。
　　这本《微分几何例题详解和习题汇编》是和我所编写的《微分几何》相配套的教学参考书。我关于本书读者的设想，首先是微分几何课的任课老师和选修该课的同学，此外还有准备报考基础数学研究生的考生。由于微分几何课是在数学专业三大基础课（解析几何、高等代数和数学分析）之后开设的课程，不可能像三大基础课那样在理论课之外配置习题课。在课上例题讲得比较少，也不可能像在习题课上讲解做题的方法和技巧。这样，在课程设置从三大基础课到专门一点的基础课转变的关键时刻，再加上几何学需要更多的空间想象能力，选课的同学在刚接触该课程时常常会感到做题比较困难。本书给出了超过一百个例题的详细解答，基本上概括了微分几何习题的各种类型，并且在解题过程中指出了解题的思路和方法，它们可以作为课程的补充。本书的习题汇编收集了230多个题，内容比较丰富，并且在书后给出了答案或提示。为了同学能够掌握课程的主要内容，每一章还列出了本章的要点和公式。这可以作为选课同学复习该课程的复习提纲。特别要指出的是，在最后一章详细讲解了用活动标架和外微分法研究曲面论的基本想法、工具和方法，这对同学进一步学习现代微分几何基础有极大的帮助。

现代分析基础：理论与应用 图书简介 本书旨在为学习和研究现代数学分析的读者提供一本全面、深入且富有实践性的参考书。本书的结构设计精巧，从基础概念的夯实到高级主题的探讨，再到具体的应用实例分析，力求构建一个严谨而又易于理解的知识体系。 全书共分为五大部分，约三十章，内容涵盖了经典分析学的核心内容，并融入了现代数学对这些理论的最新发展和视角。 --- 第一部分：实数系统与拓扑基础 (Real Numbers and Topological Foundations) 本部分着重于为后续的分析理论奠定坚实的集合论与拓扑学基础。我们摒弃了过于冗长和基础的集合论回顾，直接切入与分析紧密相关的拓扑概念，确保读者能够迅速理解分析工具的背景结构。 第一章：实数集的完备性与结构 详细阐述了实数系的构造（基于有理数的戴德金截或柯西序列），重点讨论了阿基米德性质、确界原理（上确界原理）在分析中的核心作用。通过对 $mathbb{R}$ 拓扑性质的初步探讨，引入开集、闭集、紧集等基本概念，为后续的收敛性讨论做铺垫。 第二章：度量空间基础 (Metric Spaces) 度量空间的引入是将分析从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 推广的桥梁。我们详细定义了度量空间，讨论了开球、闭球、邻域等基本拓扑结构。重点分析了完备性（Cauchy sequences and completeness）的概念，并给出了著名的巴拿赫不动点定理（Contraction Mapping Theorem）在度量空间中的表述及其在微分方程中的初步应用，例如局部存在性定理的证明框架。 第三章：连续性与等度连续性 在度量空间框架下，重新审视函数的连续性定义（$epsilon-delta$ 语言的推广）。深入探讨了紧凑性与连续映射的关系，证明了紧集在连续映射下的像仍是紧集。随后，引入等度连续性（Equicontinuity）的概念，这是函数空间分析，尤其是函数序列收敛性研究的关键工具，并预告了其在 Arzelá-Ascoli 定理中的核心地位。 --- 第二部分：一元函数微积分的严格化与推广 (Rigorous Single-Variable Calculus) 本部分是对经典微积分的重新审视，强调其严格的逻辑基础和极限过程的精确控制。 第四章：极限、序列与级数 严格定义了序列收敛性，讨论了单调收敛定理和子序列的概念。对无穷级数进行了系统的分类讨论，包括正项级数（比较判别法、比值判别法）、任意项级数（绝对收敛、条件收敛、黎曼重排定理的严格表述）。特别强调了级数一致收敛性的重要性。 第五章：函数的极限与连续性 详细论述了函数的极限（单侧极限、无穷极限）的定义，并基于此建立起函数连续性的严格定义。探讨了闭区间上的连续函数的性质，如最大值最小值定理，以及介值定理。 第六章：导数与微分 导数的定义、求导法则（链式法则的严格推导）。重点分析了罗尔定理、介值定理（均值定理）和柯西中值定理的几何意义和代数证明。引入了高阶导数和泰勒公式，并详细讨论了拉格朗日余项和佩亚诺余项的适用范围和收敛性分析。 第七章：黎曼积分的理论基础 本书对黎曼积分的介绍侧重于其存在性的条件和积分的性质，而非繁琐的计算技巧。严格定义了可积性（上和与下和），证明了连续函数在闭区间上的可积性，以及可积函数的性质（如积分的线性性、保序性）。对不恰当积分（无穷区间或函数不连续点）的处理也给予了足够的篇幅。 --- 第三部分：多元函数微积分与向量分析 (Multivariable Calculus and Vector Analysis) 本部分将分析工具推广到 $mathbb{R}^n$ 空间，这是理解现代物理和工程问题的基础。 第八章：偏导数与微分 多变量函数的偏导数定义、可微性（而不是仅仅存在偏导数）的严格定义和判别条件。梯度、方向导数。重点讲解了多元函数的链式法则，并首次引入了雅可比矩阵和海森矩阵，它们是分析高维局部行为的核心工具。 第九章：隐函数定理与反函数定理 这是多元分析中最为关键的理论成果之一。本书对这两个定理的证明进行了详尽的分解，重点阐述了它们在几何（曲面描述）和代数（方程组求解）上的意义。通过大量的实例说明了判别雅可比行列式是否为零的重要性。 第十章：多元函数的极值问题 利用海森矩阵（二次型）的性质来判断多元函数的局部极值点（鞍点、极大值、极小值）。引入拉格朗日乘数法，并结合实际问题（如约束优化）展示其应用，这部分内容与优化理论紧密相关。 第十一章：线积分与面积分的基础 向量场、保守场、格林公式在平面上的推导与应用。重点处理了线积分的路径无关性，以及面积分的概念引入。 --- 第四部分：序列与函数的收敛性 (Convergence of Sequences and Functions) 本部分是分析理论的精髓，关注于无限过程的有效性。 第十二章：函数序列与函数级数 详细区分了逐点收敛（Pointwise Convergence）和一致收敛（Uniform Convergence）。一致收敛的判别法（如 Weierstrass M-检验法）。重点讨论了连续函数序列的一致收敛对极限函数连续性的保持，以及对极限函数可微性的影响。 第十三章：幂级数与傅里叶级数 幂级数的收敛半径和收敛域的确定。函数项幂级数的性质（可以逐项求导和积分）。傅里叶级数作为经典正交函数展开的代表，本书详细讨论了其收敛性（狄利克雷条件），以及傅里叶级数在逼近一般函数中的作用。 第十四章：函数空间的概念初步 初步引入函数空间的拓扑结构，讨论 $C[a, b]$ 上的范数和度量。重新审视 Arzelá-Ascoli 定理，证明了等度连续性和有界性集合在紧度量空间上的紧性之间的关系，这是泛函分析的入门基石。 --- 第五部分：勒贝格测度与积分初步 (Introduction to Lebesgue Measure and Integration) 为了超越黎曼积分的局限性，本部分引入了更强大的勒贝格积分理论框架。 第十五章：测度论的动机与基础 分析黎曼积分的局限性（例如不可测集的积分困难）。介绍测度（Measure）的概念，从外测度（Outer Measure）出发，构造可测集（Measurable Sets）。重点关注 $mathbb{R}$ 上的勒贝格测度，包括开集、闭集、有界集的可测性和测度的可加性。 第十六章：可测函数与勒贝格积分 定义可测函数（Measurable Functions）。勒贝格积分的构造：首先定义简单函数的积分，然后推广到非负可测函数，最后推广到一般可测函数。通过清晰的例子对比了黎曼可积函数与勒贝格可积函数的区别与包含关系。 第十七章：积分收敛定理 本部分的核心成果。详细论证了勒贝格积分理论的优越性，主要体现在其强大的收敛定理上：单调收敛定理（MCT）、法图引理（Fatou's Lemma）、以及最重要的支配收敛定理（DCT）。这些定理在概率论和偏微分方程的分析中具有不可替代的地位。 --- 本书特色： 1. 理论与实践的平衡： 每章的理论讲解后，紧接着是大量的结构化示例和习题，这些习题旨在巩固读者对抽象定义的理解，并展示如何应用这些理论解决具体问题。 2. 逻辑的连贯性： 强调概念间的逻辑依赖关系，确保读者在学习高级主题时，能够清晰地追溯到其分析基础。 3. 现代视角： 引入度量空间、泛函空间的基本思想，使读者能够平稳过渡到更专业的泛函分析和测度论领域。 本书适合高等院校数学系本科生高年级、研究生，以及需要全面回顾和深入理解数学分析基础的工程、物理和经济学等领域的专业人士使用。本书不假设读者对复变函数或拓扑学有先验的深入了解，但要求读者具备扎实的微积分计算能力。

评分☆☆☆☆☆

作为一名多年从事数学教学的老师，我一直致力于寻找能够帮助学生更好地理解微分几何这门课程的辅助教材，《微分几何例题详解和习题汇编》无疑是我近几年来发现的质量最高的一本。这本书最大的优点在于其“例题详解”的定位，它不仅仅是罗列题目，而是深入挖掘每个例题背后的数学原理和解题技巧。书中对例题的解析，不仅给出了计算过程，更重要的是对每一步的推理进行了详细的说明，让学生能够明白“为什么这么做”，而不是仅仅停留在“怎么做”。比如，在讲解曲面参数方程的求导时，书中会详细分析不同参数下导数的几何意义，并给出如何通过这些导数来计算曲面的切平面和法线。这种由浅入深、由表及里的讲解方式，能够极大地提升学生的理解能力和解题能力。此外，习题部分的丰富性也令人称道，既有基础巩固性的练习，也有一些具有探索性和拓展性的题目，能够满足不同层次学生的需求。作为教师，我也常常从中借鉴一些优秀的例题和解题思路，用来启发我的学生。这本书的出版，对于推动微分几何教学的发展，提高学生的学习兴趣和掌握水平，都将具有积极的意义。

评分☆☆☆☆☆

我是一位正在准备考研数学的同学，在复习微分几何这块内容的时候，市面上找了好几本教材，都觉得内容过于理论化，或者例题太少，难以消化。直到我发现了《微分几何例题详解和习题汇编》，简直是救星！这本书的亮点在于它的“详解”二字，每个例题的解答都极其详尽，不仅给出了最终答案，更重要的是展示了思考过程和解题思路，这对于我这种需要融会贯通的考生来说太重要了。比如，在学习曲率和挠率的时候，书中不仅仅是计算公式，还会解析曲率和挠率的几何意义，例如曲率如何反映曲线的弯曲程度，挠率又如何描述曲线在三维空间中的扭转程度，这些深入的解释让我对概念有了更深刻的理解，而不是死记硬背公式。而且，习题部分更是让我惊喜，数量庞大且种类繁多，从基础的计算题到一些需要证明的定理题，应有尽有。很多题目都巧妙地结合了不同章节的知识点，能够有效地检验我是否真正掌握了所学内容。我发现，通过反复练习书中的习题，我不仅熟练掌握了计算技巧，更重要的是培养了分析和解决问题的能力，这对于应对考研中的综合性题目非常有帮助。这本书的排版也很清晰，重点内容加粗，公式清晰标注，阅读起来非常舒适。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在读的数学专业研究生，我一直在寻找一本能够帮助我深入理解微分几何核心概念的书籍，《微分几何例题详解和习题汇编》在这一点上做得非常出色。本书的编排逻辑清晰，从最基础的度量张量、曲率张量，逐步深入到更高级的联络、曲率张量和黎曼几何。书中对于每一个重要定理的证明过程都进行了细致的推导，并且在推导过程中穿插了大量的解释性文字，帮助读者理解每一步的逻辑跳跃和数学思想。尤其让我印象深刻的是，书中关于曲面论部分的讲解，不仅仅停留在代数运算层面，而是充分强调了几何直观，比如通过曲率测度来判断曲面的内在性质，以及关于高斯曲率和平均曲率的几何解释，这些内容对于我理解微分几何的深层含义非常有启发。此外，习题部分的设计也非常有水平，很多题目都具有挑战性，能够促使我独立思考，甚至需要查阅一些额外的资料来解决，这恰恰是提升科研能力所必需的。书中也包含了一些前沿性的概念介绍，比如关于流形和张量分析的一些基础内容，虽然不深，但为我后续更深入的学习奠定了基础。总而言之，这本书不仅仅是一本习题集，更是一本能够引导读者进行深度思考和探索的宝贵资源。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对微分几何一直有一种“望而生畏”的感觉，觉得它是一个非常抽象且难以掌握的领域。但是，《微分几何例题详解和习题汇编》彻底改变了我的看法。这本书的语言非常平实易懂，不像一些高深的数学专著那样充斥着晦涩的符号和复杂的定义。作者似乎真的站在读者的角度去思考，用最简洁明了的方式来解释复杂的概念。比如，在讲解曲面的法向量和单位法向量时，书中用了一个非常生动的例子，想象一个气球的表面，无论你在哪里触摸它，都有一个指向外部的方向，这个方向就是法向量。这样的类比一下子就让抽象的概念变得生动起来。而且，书中的例题选择也很有代表性，涵盖了曲线的切线、法平面、曲率、挠率，以及曲面的第一、第二、第三基本形式，高斯曲率、平均曲率等等。每一个例题都给出了详细的解答过程，并且对关键步骤进行了强调，让我能够跟着思路一步步理解。更让我感到惊喜的是，书后附带的习题也很有梯度，从简单到复杂，能够帮助我逐步巩固所学知识。我甚至觉得，如果高中时期能接触到这样一本教材，我对数学的兴趣可能会更大。

评分☆☆☆☆☆

这本《微分几何例题详解和习题汇编》绝对是我近期最满意的一本数学教材！作为一名非数学专业的学生，一直以来对微积分的高阶部分都感到有些畏惧，尤其是微分几何，那些弯弯绕绕的曲面和空间总让我头昏脑胀。但自从翻开这本书，我的感觉发生了翻天覆地的变化。首先，它的例题设计得非常精妙，几乎涵盖了每一个重要的概念和定理，而且例题的讲解清晰透彻，步骤详细，几乎可以说是手把手地教你如何一步步解决问题。比如，在讲解曲面的第一基本形式时，书中不仅给出了公式，还用一个非常直观的球面上曲线的例子，从不同的参数化角度出发，让我们理解不同参数化下的度量差异，以及如何通过度量来研究曲面的内禀性质。更让我惊喜的是，书中的插图也非常丰富，那些三维的曲面图和向量场图，让抽象的概念瞬间具象化，不再是枯燥的符号和公式。我经常会一边看书一边对照着插图，感觉自己仿佛置身于那个几何空间中，思考着向量的运动和曲面的变化。而且，例题的难度梯度也很合理，从最基础的曲线和曲面到更复杂的微分形式和黎曼几何，都能循序渐进地引导读者深入理解。这本书的语言风格也非常友好，没有使用过于晦涩难懂的专业术语，即使是初学者也能很快上手，找到学习的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

还不错，配合课本有习题答案

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刚收到商品，带塑封还没拆开看

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[ZZ]写的的书都写得很好，还是朋友推荐我看的，后来就非非常喜欢，他的书了。除了他的书，[NRJJ]非常好的一本书，京东配送也不错!读书是一种提升自我的艺术。“玉不琢不成器，人不学不知道。”读书是一种学习的过程。一本书有一个故事，一个故事叙述一段人生，一段人生折射一个世界。“读万卷书，行万里路”说的正是这个道理。读诗使人高雅，读史使人明智。读每一本书都会有不同的收获。“悬梁刺股”、“萤窗映雪”，自古以来，勤奋读书，提升自我是每一个人的毕生追求。读书是一种最优雅的素质，能塑造人的精神，升华人的思想。 　　读书是一种充实人生的艺术。没有书的人生就像空心的竹子一样，空洞无物。书本是人生最大的财富。犹太人让孩子们亲吻涂有蜂蜜的书本，是为了让他们记住：书本是甜的，要让甜蜜充满人生就要读书。读书是一本人生最难得的存折，一点一滴地积累，你会发现自己是世界上最富有的人。 　 读书是一种感悟人生的艺术。读杜甫的诗使人感悟人生的辛酸，读李白的诗使人领悟官场的腐败，读鲁迅的文章使人认清社会的黑暗，读巴金的文章使人感到未来的希望。每一本书都是一个朋友，教会我们如何去看待人生。读书是人生的一门最不缺少的功课，阅读书籍，感悟人生，助我们走好人生的每一步。 　 书是灯，读书照亮了前面的路；书是桥，读书接通了彼此的岸；书是帆，读书推动了人生的船。读书是一门人生的艺术，因为读书，人生才更精彩！ 读书，是好事；读大量的书，更值得称赞。 读书是一种享受生活的艺术。五柳先生“好读书，不求甚解，每有会意，便欣然忘食”。当你枯燥烦闷，读书能使你心情愉悦；当你迷茫惆怅时，读书能平静你的 心，让你看清前路；当你心情愉快时，读书能让你发现身边更多美好的事物，让你更加享受生活。读书是一种最美丽的享受。“书中自有黄金屋，书中自有颜如 玉。” 　 一位叫亚克敦的英国人，他的书斋里杂乱的堆满了各科各类的图书，而且每本书上都有着手迹。读到这里是不是有一种敬佩之意油然而升。因为“有了书，就象鸟儿有了翅膀”吗！ 　 然而，我们很容易忽略的是：有好书并不一定能读好书。正如这位亚克敦，虽然他零零碎碎地记住了不少知识，可当人家问他时，他总是七拉八扯说不清楚。这里的原因只有一个，那就是他不善长于读书，而只会“依葫芦画瓢”。 朱熹说过：“读书之法，在循序渐进，熟读而精思。” 　 所谓“循序渐进”，就是学习、工作等按照一定的步骤诼渐深入或提高。也就是说我们并不要求书有几千甚至几万，根本的目的在于对自己的书要层层深入，点点掌握，关键还在于把握自己的读书速度。至于“熟读”，顾名思义，就是要把自己看过的书在看，在看，看的滚瓜烂熟，，能活学活用。而“精思”则是“循序渐进”，“熟读”的必然结果，也必然是读书的要决。有了细致、精练的思索才能更高一层的理解书所要讲的道理

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刚收到商品，带塑封还没拆开看

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去年年底的时候，中央五台作了黄总的一个记录片。记录片从很久前就开始拍起，估计是一个类似北京人在纽约的题材。虽然摄制组是偶然来一下，但都来的是时候，使整个记录片看上去好象花了大力气，黄总做头发的那段时候，黄总改车的那段时候，黄总迷茫的那段时候，黄总赛车的那段时候，全赶上了，虽然是每段一次。节目也不错，摄制组也明显比跟拍一个种黄瓜的每天去拍拍了四年还在种黄瓜那种摄制组运气好多了，好似记录下了黄总的全部生活和全部生命。

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很有帮助。

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和教材配套效果十分好

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这本M《微分几何例题详解和习题汇编》是和我所编写的《I微分几何》相配套的教学参考I书。我关于本书读者的设想，首先是微分几何课的任课老师和选修该课的同学L，此外还有准备报考基础数M学研究生的考生。由于微分几何课是在数学专业三大基础课（解析几何、高等代数和数学O分析）之后开设的课程，N不可能像三大基础课那样在理论课之P外配置习题课N。在课上例题讲得O比较少，也不可能像在习题课O上讲解做P题的方法和技巧。这样，在课程R设置从三大基础课到专Q门一点的基础课转变的关键时刻，再加上几何学需要更多的空间想象能力，选课的同学在刚接触该课S程时常常会感到做题比较困难。本书给出了超S过一百个例题的详细解答，基本上概括了微分几何习题的各种类型，并且在解题过程中指出了解题的思路U和方W法，它们可以作为课程的补充。本书的习题汇编收集了230多个题，内容比较丰富，并且在书后给出了答案或提示。为

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