基本信息

書名:不等式探秘

定價：28.0元

售價：21.8元

作者:彭翕成

齣版社：湖南科技齣版社

齣版日期：2015-11-01

ISBN：9787535786715

字數：

版次：1

裝幀：平裝

開本：32開

編輯推薦

● 叢書主編 張景中院士
　　一、用科普的筆法來寫，語言讀來風趣幽默；
　　二、聯係生活，用大量生活案例來類比不等式的種種性質；
　　三、數形結閤，注重幾何直觀；
　　四、注重解題思路與方法的滲透，強調啓發性；
　　五、重視基礎性和通性通法，淡化特殊技巧。

內容提要

本書分為兩部分，部分共14章，介紹瞭十餘個中學生所熟悉的不等式，每個不等式基本上都按“課堂掠影”“精彩故事”“不等式介紹”“趣味案例”“案例分析”“不等式證明”“不等式應用”“思維點撥”八個模塊展開，力圖使讀者對每個不等式都有較為全麵係統的認識。第二部分收錄瞭7篇文章，有理論闡述，亦有案例分析，力求講清不等式證明中的一些基本問題和基本處理方法，現身說法揭秘一些不等式的證明過程。
　　本書注重基礎，趣味性強，同時深入數學本質。除瞭收集整理一些不等式的試題和趣味案例外，更多的是作者原創。作者站在教師的角度，思考如何給彆人講授，以期不等式初學者盡快入門，適閤高中以上文化程度的學生、教師、不等式愛好者參考使用。

目錄

作者介紹

　　彭翕成，工作於華中師範大學。多次參與國傢重大課題的研究並獲奬；參與編寫湘教版數學教材、《十萬個為什麼》等。
　　曾在《數學通訊》、《中學數學》、《中學生數理化》、《新高考》、《科技導報》等刊物開設專欄，其中被《中學數學》評價為“數學教育領域年輕一輩的代錶性人物”。著作十餘部，主要有《數學哲學》、《繞來繞去的嚮量法》、《仁者無敵麵積法》、《動態幾何教程》、《數學教育技術》、《課本上學不到的數學》、《師從張景中》、《嚮量、復數與質點》等。
　　熱衷於數學科普寫作，由淺入深，娓娓道來，又能平中見奇，展現給人新的視角，其博文在網絡上影響甚大，讀者眾多。
　　楊春波、程漢波，華中師範大學2009級本科畢業生，現分彆工作於鄭州外國語學校和廣州市第二中學。主要研究方嚮有數學解題，數學教育等，近年來在《中等數學》、《數學通訊》、《數學教學》、《中學數學教學參考》等刊物上獨立或閤作發錶論文30餘篇，並擁有自己的數學“美麗背後的火熱思考”

文摘

【課堂掠影】
　　叮鈴鈴——
　　一陣上課鈴聲響過，隻見數學彭老師健步走進教室，不緊不慢地在黑闆上寫下這樣的兩個分數：
　　 和 。
　　彭老師笑著對大傢說：不用計算器，誰能比比這兩個數誰大誰小？
　　彭老師那略帶挑戰性的口吻一下子激起瞭同學們的興趣，大傢都拿起瞭筆，開始在紙上寫寫算算。
　　但觀其錶象，就知不易。用作差法稍稍一試就等價於判斷下麵這個式子的符號：
　　 ，
　　這可都是十億之多的數字相乘，該怎麼比較它們的大小呢？用計算器也不一定算得齣啊！
　　同學們銳氣大減，一個個眉頭緊鎖，不知如何是好。
　　彭老師見狀，說：大傢看到一個問題時，先不要著急動手，而要看看、瞧瞧，仔細把題目打量一番，這叫觀察，是解題的步；那我們看看這兩個分數在形式上有什麼特徵或者是有什麼聯係呢？
　　經彭老師這麼一啓發，大傢就炸開瞭鍋，開始暢所欲言瞭。
　　“個分數的分子和分母的各位數字是連續的，第二個分數的分子和分母開始時也是連續的。”
　　“這兩個數都是真分數！”
　　“個分數的分子比第二個分數的分子大，分母也比第二個分數的大！”
　　“不僅比第二個分數的大，個分數的分子、分母還分彆等於第二個分數的分子、分母都加1。”
　　……
　　對於學生們的迴答，彭老師都點頭錶示贊許。
　　“好，我們來總結一下。”彭老師一開口，教室裏立刻安靜瞭下來。大傢都目不轉睛地盯著彭老師，要瞧瞧彭老師怎麼揭開這道題的神秘麵紗。
　　“如果我們記 ， ，並且約定 ， ，那麼 和 的大小關係是——”
　　“ ！”
　　“ 和 可以用 ， 錶示嗎？”
　　“可以！ ， 。”同學們幾乎是異口同聲。
　　“那麼 和 誰大誰小？”
　　同學們恍然大悟，又開始奮筆疾書瞭。
　　不一會兒，就聽到好多同學那興奮的呼喊—— 大！ 大！
　　“誰來說說這是為什麼呢？”
　　“我來，我來”，一位男生搶著站瞭起來，“老師，作差就可以瞭， 通分整理得到的後結果是 ，因為 ，所以這個式子是正的，則 ”。
　　“很好！請坐。趁熱打鐵，利用剛纔的思路，大傢能快速比較齣 與 的大小嗎？”
　　這兩個分數真像是一對孿生兄弟，分子分母全是1，並且在 的分子、分母上分彆“加”1就是 瞭！但該怎麼用數學語言來錶達呢？
　　學生的思維是廣闊的，過瞭一會兒，這道小題也被同學們識破瞭：
　　 。
　　“太妙瞭！通過這兩個例子，大傢有什麼收獲？”
　　“遇題先觀察，不要盲目地去計算。”
　　“那遇事呢？”
　　【精彩故事】
　　男孩喜歡上瞭女孩。
　　他嚮她錶白，女孩的爸媽不同意。
　　原因很簡單：女孩比男孩整整大一歲。
　　一天，男孩、女孩約好時間和地點，兩人偷偷見麵瞭。
　　女孩點瞭一杯咖啡，嘗瞭嘗說：“這咖啡太苦瞭。人們都說愛情是甜美的，我怎麼品嘗不齣愛的滋味。”
　　男孩說：“彆著急，加點糖試試吧！”
　　女孩問：“為什麼加糖會變甜呢？”
　　男孩沉默不語。
　　男孩喊來服務員，又點瞭一杯咖啡，並叮囑多放點糖。
　　咖啡端來瞭，男孩往女孩的杯子裏倒瞭一些，搖瞭搖，讓女孩再嘗嘗。
　　“還苦嗎？”男孩問。
　　“現在好多瞭！”女孩說著露齣瞭一絲微笑。
　　男孩望著女孩，深情地說：“我1個月大時，你13個月，你是我的13倍；我2個月大時，你14個月，你是我的7倍；我1歲大時，你2歲，你是我的兩倍。隻要你願意和我永遠在一起，我們總在慢慢接近……”
　　女孩感動得熱淚盈眶，兩人的手緊緊地握在瞭一起。
　　多麼可愛的男孩，不僅懂愛情，還懂數學。男孩和女孩的故事讀來讓人不禁潸然淚下。下麵還是對男孩的“錶白”做一簡要分析：設男孩的年齡為 （這裏我們以月為單位），女孩的年齡為 ，則 。當 時， ， ；一個月後， 與 都增加瞭1， ， ，則 ；又過瞭十個月， 與 又增加瞭10， ， ，則 。於是 ，即隨著歲月的推移， 會越來越小，也即男孩與女孩的年齡在不斷地接近。
　　仔細品味男孩的後一句話，發現這其中還蘊含著極限的思想：不論開始的時候 比 大多少，隻要你願意和我在一起，那麼經過足夠長的時間，我們的年齡差，相比於我們一起走過的風風雨雨，又算得瞭什麼呢？終會變得微乎其微，可以忽略不計，用數學的語言說來就是 。
　　那為什會有 ，這其中的數學原理又是什麼呢？
　　今天給大傢介紹的主角——“糖水不等式”終於要登場瞭。
　　【不等式介紹】
　　 剋糖水中有 剋糖（ ），則糖的質量與糖水質量的比為 。若再添加 剋糖（ ），則糖的質量與糖水質量的比為 。生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解之後，糖水會變甜，則 。於是提煉齣一個不等式：
　　若 ， ，則 ，（1）
　　這便是“糖水不等式”的由來。
　　假設有一種機器可以抽取齣糖水中的糖，生活常識告訴我們：若把糖水中的糖抽掉 剋，則糖水會變淡。於是提煉齣一個不等式：
　　若 ，則 ，（2）
　　其實完全不必假設，隻需逆嚮思維一下就可得到。這便是思維的厲害之處：事情不必真實發生，在腦子裏想一下就發生瞭。
　　綜閤（1）、（2）得到不等式鏈：
　　若 ，則 。（3）
　　我們假想有 杯（這裏 不必為整數）相同的糖水，混閤後糖的質量與糖水質量的比為 ，重復上麵的思維過程便得到更一般的不等式鏈：
　　若 ， ， ，則 ，（4）
　　當 時，便迴到瞭（3）式。
　　上麵考慮的都是相同的糖水，假設現在有兩杯濃度不同的糖水，一杯較濃、一杯較淡，現將這兩杯糖水混閤，所得糖水的濃度一定比濃的淡、比淡的濃，由此可以提煉齣如下的不等式鏈：
　　若 ， ，且 ，則 。（5）
　　假設兩種濃度的糖水分彆有 、 杯，混閤後又可提煉齣不等式鏈：
　　若 ， ， ，且 ，則 ，（6）
　　當 時，便迴到瞭（5）式。
　　思維的翅膀還在不斷地飛翔……
　　白水裏加糖，變甜瞭；糖水裏加數學，變得有味兒瞭！正可謂：
　　一杯白開水，加糖更甜美；
　　此中有數學，請君細品味。
　　誰料小小的一杯糖水，竟蘊藏瞭如此多的數學知識！
　　【趣味案例】
　　一個簡單的不等式，經過生活中實際背景的洗禮，就會變得趣味曼妙起來。
　　案例1：在 升煤油中加入 升水，液體的密度明顯變大瞭。
　　案例2： 剋某溶液中溶有 剋某物質，若再加入 剋該物質後完全溶解，則溶質的質量分數顯然增加瞭。
　　案例3：正值開學之際，某中學原計劃招收高一新生 人，使全校學生總數達到 人，這樣高一新生所占的比例為 。現為瞭擴大辦校規模，決定高一擴招 人，則高一新生所占比例變為 ，問擴招後高一新生所占比例是變大還是變小瞭？
　　案例4：一隻口袋裏裝有3個紅球和7個白球。從口袋裏任意摸齣一個球，恰是紅球的概率是多少？再嚮口袋裏放入2個紅球，則從口袋裏任意摸齣一個球，恰好是紅球的概率是多少？若再放入3個紅球呢？隨著紅球的不斷放入，這個概率怎麼變化？
　　案例5：在中國，8和漢字“發”諧音，取發財、發達之意，被稱為吉祥數，因此含有數字8的車牌號、和號顯得很珍貴，甚至還需花高價去買。中國舉辦奧運會，時間就是2008年8月8日8點8分。好像希望8越多越好。
　　我們發現下麵一串數字是越來越接近8的： ， ， ，……。
　　    
　　【案例分析】
　　案例1：設煤油的密度為 （ ），則由（1）式知 。
　　案例2：溶質的質量分數原來為 ，後來為 ，由（1）式知增加瞭。
　　案例3：由（1）式知 ，即擴招後高一新生所占的比例變大瞭。
　　案例4：由古典概型定義知，從口袋裏任意摸齣一個球，恰是紅球的概率 ；再放入2個紅球，概率變為 ；若再放入3個紅球，概率為 。由（1）式知 ，這由生活常識也是顯見的，而且隨著紅球的不斷放入，這個概率會越來越大，終趨嚮於1。
　　案例5：由（6）式知 ， ， ，……，故數字串 ， ， ，……是逐漸減小的，又容易驗證 （ ），故總有 ，於是數字串越來越接近於8。
　　【不等式證明】
　　（1）至（6）式的證明方法有很多，如作差法、作商法、分析法、綜閤法、反證法、增量法、 構造函數法、定比分點公式法等等，這裏不再贅述，僅提供一些無字證明。更多的證法參考《你能成為好的數學教師》（任勇，華東師範大學齣版社，2010）。
　　 的無字證明：
　　    
　　    
　　 的無字證明：
　　
　　【不等式應用】
　　    例1：建築學規定，民用住宅的窗戶麵積必須小於地闆麵積，但按采光標準，窗戶麵積與地闆麵積的比應不小於10％，並且這個比例越大，住宅的采光條件越好。請問：同時增加相等的窗戶麵積和地闆麵積，住宅的采光條件是變好瞭，還是變差瞭？
　　解：設住宅原來的窗戶麵積和地闆麵積分彆為 ，同時增加的麵積為 ，則問題轉化為在約束條件 及 下，比較 與 的大小，由（1）式知 ，知采光條件變好瞭。
　　例2：請寫齣 與 之間的所有分母不大於10的分數。
　　解：這有何難！按分母大小一一寫來就是 ； ； ； ； ； ； ； （注意去除重復的分數）。但用糖水不等式寫來亦彆有一番趣味：
　　 ， ， ，仿此繼續下去，便得所有：
　　 。
　　例3：用糖水不等式證明基本不等式：如果 ，則 ，當且僅當 時等號成立。
　　    證明：不妨設 ，取 ，於是有
　　 ，
　　所以 ，化簡即 。其中等號成立的條件是當且僅當 或 ，即 。
　　例4：已知 ，求證： 。
　　鏈接：該問題源自1998年全國高考壓軸題的第（Ⅱ）問，原題以數列為背景知識，終轉化為要證明上述不等式，而當時是用數學歸納法證的，其實用“糖水不等式”來證更容易。
　　證明：記 ，則有 及 ，以上三式相乘，注意約分的規律就得 ，即 ，得證。
　　例5：證明不等式：
　　 ，
　　其中所有的字母都是正數。
　　    鏈接：此題是波蘭數學傢斯坦因豪斯的著作《一百個數學問題》中的第12個，原解答先證明瞭一個預備定理，較為繁瑣。下麵運用“糖水不等式”給齣簡證。
　　證明： 易知
　　 ，
　　 ，
　　兩式相加即可得證。
　　例6：現有一張錶格，請你在前麵兩個格子裏隨便填上兩個1到10之間的整數，彆讓我看到你填的數字！請你把兩個數的和填入第三格，再把第二格和第三格數字的和填入第四格，再把第三格和第四格數字的和填入第五格，依此類推，在每個方格裏填入前兩個方格裏的數字之和，舉個例子吧：
　　3 7 10 17 27 44 71 115 186 301 487
　　好瞭，請你告訴我第10格是什麼數，我就一定能猜對第11格裏的數，雖然我不知道第1格和第2格是什麼數，也不知道第9格是什麼數。你知道我是怎麼猜到的嗎？你能解釋其中的奧秘嗎？
　　解：假設你初在紙上寫下的兩個數分彆為 和 ，則這11個方格裏的數分彆為 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。那麼第10格裏的數和第11格裏的數有什麼關係呢？
　　由（6）式知 ，即約為 ，則 。如果 和 都不太大，用 的值除以 ，四捨五入就可得到第11格裏的數字啦！而且這個方法是相當靠譜的！
　　【思維點撥】
　　1.糖水不等式—— 也可理解為真分數的性質：對於真分數 ，分子、分母同時加上一個正數 ，那麼該分數會變大，而且所加的數 越大，分數就越大，終趨嚮於1。
　　2.對糖水不等式取倒數就得到 ，這可理解為假分數的性質：對於假分數 ，分子、分母同時加上一個正數 ，那麼該分數會變小，而且所加的數 越大，分數就越小，終趨嚮於1。
　　3.利用糖水實驗不僅可以得到糖水不等式，還能發現更多有趣的結論，如閤分比定理：有兩個杯子，大杯子裏的水是小杯子的2倍。我們往杯子裏加糖，大杯子裏加2塊糖，小杯子裏加一塊糖。可以想象，這兩杯糖水是一樣甜的。如果這時候，把這兩杯糖水都倒入一個更大的容器中，混閤之後的糖水也應該和原來的糖水一樣甜。原因就是 ，這說明閤分比定理也是來源於生活的。
　　4.現有4杯糖水，杯糖水中糖的質量與糖水質量的比為 ，第二杯的為 ，第三杯的為 ，第四杯的為 ，而且 ，即杯糖水比第二杯濃，第三杯糖水比第四杯濃。現將第1、3杯糖水混閤到甲杯中，第2、4杯糖水混閤到乙杯中，那麼請判斷甲杯中糖水濃還是乙杯中糖水濃？這樣的問題在現實生活中也能碰到：
　　一班有女生22人，喜歡寫作的有10人；男生21人，喜歡寫作的有9人。二班有女生15人，喜歡寫作的有10人；男生28人，喜歡寫作的有18人。
　　對於一班而言，女生更喜歡寫作，因為 。
　　對於二班而言，同樣是女生更喜歡寫作，因為 。
　　於是我們可以得齣，女生更喜歡寫作，看起來這個結論是很靠譜的！
　　甲：是的，女生本來就喜歡寫作！
　　乙：且慢，如果把這兩個班閤在一起考慮，卻是 ，男生更喜歡寫作！
　　☆這說明：如果 ，則有 ；但若是 ， ，卻未必有 。
　　

序言