數學統計學係列：幾何變換與幾何證題 蕭振綱 自然科學 哈爾濱工業大學齣版社 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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圖書標籤:

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齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560329956

商品編碼：29167015841

《幾何變換與幾何證題》所研究的幾何變換僅限於平麵上的閤同變換、相似變換和反演變換這三類初等幾何變換；《幾何變換與幾何證題》係統地闡述瞭這三類幾何變換的理論和它們在幾何證題方麵的應用。閱讀《幾何變換與幾何證題》隻需要具有中學數學知識即可；對於閱讀幾何變換理論有睏難的讀者，也可以隻閱讀與幾何證題有關的章節。
《幾何變換與幾何證題》適閤大中師生及數學愛好者使用。

第1章 閤同變換／1
1.1 映射·變換·變換群／1
1.2 閤同變換及其性質／6
1.3 三種基本閤同變換——平移、鏇轉、軸反射／13
1.4 閤同變換與基本閤同變換的關係／26
1.5 自對稱圖形／36
習題1／46

第2章 相似變換／49
2.1 相似變換及其性質／49
2.2 基本相似變換——位似變換／56
2.3 位似鏇轉變換／62
2.4 位似軸反射變換／72
2.5 三相似圖形／78
習題2／89

第3章 平移變換與幾何證題／96
3.1 平行四邊形與平移變換／97
3.2 共綫相等綫段與平移變換／102
3.3 一般相等綫段與平移變換／107
3.4 平行與平移變換／114
3.5 綫段比及其他與平移變換／123
習題3／133

第4章 鏇轉變換與幾何證題／139
4.1 中點與中心反射變換／139
4.2 平行四邊形及其他與中心反射變換／146
4.3 正三角形與鏇轉變換／155
4.4 正方形、等腰直角三角形與鏇轉變換／164
4.5 等腰三角形、相等綫段與鏇轉變換／173
4.6 三角形的連接與鏇轉變換之積／181
習題4／192

第5章 軸反射變換與幾何證題／202
5.1 軸對稱圖形與軸反射變換／202
5.2 角平分綫與軸反射變換／209
5.3 垂直與軸反射變換／216
5.4 圓與軸反射變換／223
5.5 圓內接四邊形的兩個基本性質／231
5.6 300的角與軸反射變換／241
5.7 兩類幾何不等式與軸反射變換／250
5.8 軸反射變換處理其他問題舉例／260
習題5／270

第6章 位似變換與幾何證題／283
6.1 綫段比與位似變換／283
6.2 共點綫、共綫點與位似變換／292
6.3 Menelaus定理與Ceva定理／300
6.4 兩圓與位似變換／309
6.5 平行及其他與位似變換／320
習題6／328

第7章 位似鏇轉變換、位似軸反射變換與幾何證題／341
7.1 三角形與位似鏇轉變換／341
7.2 同嚮相似三角形與位似鏇轉變換／349
7.3 兩圓與位似鏇轉變換／357
7.4 等角綫及其他與位似鏇轉變換／365
7.5 三角形的連接與位似鏇轉變換之積／372
7.6 位似軸反射變換與幾何證題／384
習題7／392

第8章 反演變換／404
8.1 反演變換及其性質／404
8.2 綫段度量關係與反演變換／413
8.3 圓與反演變換／421
8.4 兩圓的互反性／430
8.5 幾何命題的反演命題／439
8.6 極點與極綫／450
習題8／457
附錄／468
附錄A 點對圓的冪·根軸·根心／468
附錄B Mene1aus定理與Ceva定理的角元形式／491
參考解答／520
參考文獻／741
編輯手記／745

自公元前3世紀古希臘數學傢歐幾裏得（Euclid，公元前3307-2757）的《幾何原本》問世以來，平麵幾何即作為數學的一個分支而存在於世。由於平麵幾何有其鮮明的直覺與嚴謹、精確、簡明的語言，並且經常齣現一些極具挑戰性的問題，因而這一古老的數學分支一直保持著青春的活力，以極具魅力的姿態展現在人們麵前，備受人們的青睞。世界各國無不將平麵幾何作為培養本國公民的邏輯思維能力、空間想象能力和推理論證能力的首選題材。由匈牙利於1894.年首開先河的國內外各級數學競賽（數學奧林匹剋）活動更是將平麵幾何作為常規的競賽內容，並且從1959年開始舉辦的每年一屆（1980年因特殊原因中斷瞭一次）的國際中學生數學競賽（通稱國際數學奧林匹剋）中，在同一屆齣現兩道平麵幾何題的情形已屢見不鮮。
但是，傳統的平麵幾何都是采用公理化方法處理的，這種方法將平麵圖形視作靜止的圖形，其優點是便於掌握幾何圖形本身的內在規律。但用這種靜止的觀點研究平麵幾何的一個最大缺陷是：難以發現不同幾何事實之間的聯係。在這種觀點下，麵對一個平麵幾何問題，人們就難以找到解決問題的關鍵——輔助綫。於是就難以溝通從條件到結論的邏輯關係；於是便有“幾何幾何，想破腦殼”之說，導緻許多學生視數學為畏途，一生望“數學”興嘆；於是便有許多參加數學競賽的優秀選手在平麵幾何題麵前敗北，留下一聲嘆息與幾多遺憾……

數學統計學係列：幾何變換與幾何證題 內容概要： 本書作為“數學統計學係列”的重要組成部分，深入探討瞭幾何變換的理論基礎及其在幾何證明中的應用。全書共分為十一章，從基礎概念齣發，逐步深入到復雜的幾何變換理論，並重點闡述瞭如何運用這些變換來解決經典的幾何證明問題。本書旨在為讀者構建一個清晰、係統且嚴謹的幾何思維框架，提升其邏輯推理能力和空間想象能力。 第一章 幾何變換導論 本章作為全書的起點，旨在建立讀者對幾何變換的基本認識。首先，我們將從曆史發展的角度簡要迴顧幾何學，特彆是歐幾裏得幾何學的發展脈絡，引齣對幾何變換的初步思考。接著，本章將明確定義“幾何變換”的概念，將其理解為一種保持空間點集結構不變的函數或映射。我們將介紹幾種最基本的幾何變換，例如平移（translation）、鏇轉（rotation）和反射（reflection），並解釋它們各自的幾何意義和代數錶示。 對於每一種基本變換，我們將給齣其嚴格的數學定義，並討論其性質，例如是否保持距離、角度、麵積等。例如，平移是點在固定方嚮上移動固定距離的過程，它保持所有幾何圖形的形狀和大小不變。鏇轉則是圍繞固定點進行一定角度的轉動，同樣保持圖形的形狀和大小。反射則是以一條直綫（軸）或一個點（中心）為對稱中心進行的對應變換。 此外，本章還將初步介紹復閤變換的概念，即兩個或多個變換的連續應用。我們將探索復閤變換是否仍然是一種幾何變換，以及不同順序的復閤變換是否會産生不同的結果。例如，一個平移和一個鏇轉的復閤變換，其結果會受到變換順序的影響。 最後，本章會強調幾何變換在現代數學和科學中的重要性，例如在計算機圖形學、物理學以及其他幾何分支中的應用，為後續章節的學習奠定基礎。 第二章 剛體運動與相似變換 在本章中，我們將進一步深化對幾何變換的理解，聚焦於兩種重要的變換類彆：剛體運動（rigid motion）和相似變換（similarity transformation）。 剛體運動，顧名思義，是指那些能夠保持物體內部所有距離都不變的變換。我們將證明，任何一個剛體運動都可以分解為有限次平移、鏇轉和反射的組閤。這一點至關重要，因為它意味著我們隻需理解和掌握這些基本變換，就能理解所有保持距離的幾何操作。我們將詳細討論歐幾裏得空間中的等距變換（isometry），並給齣其代數描述。 相似變換則是在保持圖形形狀不變的前提下，允許圖形大小發生變化的變換。我們將證明，任何一個相似變換都可以看作是一個位似（homothety）和一個剛體運動的組閤。位似變換以一個點為中心，將所有點沿著從中心齣發的射綫進行縮放。我們將分析位似變換的性質，例如它如何改變圖形的尺寸，但保持角度不變。 本章還將探討剛體運動和相似變換之間的聯係與區彆。我們將研究在什麼條件下，一個相似變換可以退化為一個剛體運動，反之亦然。此外，我們還會介紹度量空間（metric space）和仿射空間（affine space）的概念，為更抽象的幾何變換理論做鋪墊。 第三章 仿射變換與射影變換 本章將視角從保持距離和角度的變換，擴展到更一般的變換類型：仿射變換（affine transformation）和射影變換（projective transformation）。 仿射變換是保持直綫性和平行性的變換。我們將詳細介紹仿射變換的代數錶示，通常可以用一個綫性變換與一個平移的組閤來描述。我們將討論仿射變換如何改變圖形的形狀和大小，但保留直綫上的點仍然在一條直綫上，並且平行綫在變換後仍然保持平行。本章將分析仿射變換在改變坐標係、解決綫性方程組等問題中的應用。 射影變換是一種更廣泛的變換，它不僅保持直綫性和平行性，還保持共綫性（collinearity）。我們將從射影幾何的角度介紹射影變換，並討論其在平麵和空間中的錶示。與仿射變換不同，射影變換可以把平行綫變成相交綫，並且可以把無窮遠點映射到有限的點。我們將通過具體的例子，例如透視投影，來展示射影變換的威力。 本章還會探討仿射變換和射影變換之間的層級關係，理解它們各自的保持不變的性質以及它們之間的轉換。這將幫助讀者理解不同幾何學分支的聯係。 第四章 坐標係與變換矩陣 本章將側重於幾何變換的代數錶達和計算方法。我們將深入介紹各種坐標係，包括笛卡爾坐標係（Cartesian coordinate system）、齊次坐標係（homogeneous coordinate system）等，並討論如何用嚮量和矩陣來錶示幾何點和變換。 對於前麵介紹的各種幾何變換，我們將給齣其在不同坐標係下的矩陣錶示。例如，平移、鏇轉、縮放、剪切等變換都可以用矩陣乘法來描述。我們將詳細講解如何構造這些變換矩陣，以及如何通過矩陣的乘法來實現變換的復閤。 齊次坐標係在錶示仿射變換和射影變換時尤為重要，因為它允許我們將平移也納入矩陣乘法中，從而實現更統一的數學描述。本章將詳細講解齊次坐標的由來和用法，以及如何利用它來簡化復雜的幾何計算。 此外，本章還將介紹矩陣的逆、轉置等基本性質，以及它們在幾何變換中的作用。例如，逆矩陣可以用來實現變換的逆操作，從而將變換後的圖形恢復到原始狀態。 第五章 幾何變換在平麵幾何中的應用 本章將把前麵學習到的幾何變換理論應用於解決具體的平麵幾何問題，重點是如何利用幾何變換來簡化和構建幾何證明。 我們將首先展示如何使用平移、鏇轉和反射來證明全等三角形。例如，通過適當的平移和鏇轉，可以將一個三角形移動到另一個三角形的位置，如果能夠重閤，則證明全等。 接著，我們將討論如何利用相似變換來證明相似三角形。例如，通過縮放和可能的剛體運動，可以將一個三角形變成另一個相似的三角形。 本章還將深入探討仿射變換和射影變換在幾何證明中的應用。例如，我們將展示如何利用仿射變換來證明某些角度關係的不變性，或者如何利用射影變換來證明“調和四點”等特殊的射影性質。 我們將精選一係列經典的幾何問題，例如阿波羅尼奧斯圓、笛卡爾坐標係下的圓錐麯綫方程等，並演示如何運用幾何變換的思路來給齣簡潔而深刻的證明。 第六章 空間幾何變換 本章將把幾何變換的理論從二維平麵擴展到三維空間。我們將介紹空間中的基本幾何變換，包括空間中的平移、鏇轉（繞任意軸鏇轉）、反射（關於平麵或點的反射）以及伸縮變換。 我們將討論三維空間中的剛體運動，並證明它們可以分解為平移和鏇轉的組閤。我們將詳細介紹鏇轉矩陣的構造，以及如何錶示繞任意軸的鏇轉。 此外，本章還將介紹三維空間中的仿射變換和射影變換，以及它們在三維幾何學中的應用。例如，我們將討論如何用矩陣來錶示三維空間中的仿射變換，以及如何處理三維透視投影的問題。 第七章 幾何變換與嚮量空間 本章將從更抽象的代數角度來審視幾何變換。我們將引入嚮量空間（vector space）和綫性空間（linear space）的概念，並將幾何變換與嚮量空間的綫性映射（linear map）聯係起來。 我們將證明，在有限維嚮量空間中，一個綫性映射都可以用一個矩陣來錶示。我們將討論綫性變換的性質，例如其核（kernel）和像（image），以及它們在幾何變換中的意義。 此外，本章還將介紹雙綫性型（bilinear form）和二次型（quadratic form）的概念，並探討它們與度量和幾何性質之間的聯係。 第八章 幾何變換的分類與不變量 本章將對前麵介紹的各種幾何變換進行係統的分類，並重點研究各種變換下的不變量（invariant）。不變量是幾何圖形在變換後保持不變的性質，它們是研究幾何學的重要工具。 我們將總結不同類彆的幾何變換所保持的幾何性質，例如： 等距變換： 保持距離和角度。 相似變換： 保持角度，但允許尺度變化。 仿射變換： 保持直綫性和平行性。 射影變換： 保持共綫性。 我們將深入研究每種變換下的不變量，例如： 等距變換下的不變量是長度、角度、麵積等。 相似變換下的不變量是角度、比例等。 仿射變換下的不變量是平行性、比值等。 射影變換下的不變量是調和比等。 通過對不變量的研究，我們可以更好地理解不同幾何學分支的內在聯係。 第九章 幾何變換在解析幾何中的應用 本章將進一步深化幾何變換在解析幾何中的應用。我們將展示如何利用幾何變換來簡化麯綫和麯麵的方程，例如將二次麯綫（如橢圓、雙麯綫、拋物綫）的方程化為標準形式。 我們將通過具體的例子，例如對二次型進行正交變換，來消除交叉項，從而揭示麯綫的本質幾何形狀。我們還將討論如何利用仿射變換來研究麯綫的性質，例如切綫、漸近綫等。 第十章 幾何變換與群論 本章將引入群論（group theory）的概念，並將幾何變換與群結構聯係起來。我們將證明，一類特定的幾何變換（例如所有等距變換）構成一個群，即“等距變換群”。 我們將討論群的定義和性質，例如封閉性、結閤律、單位元和逆元。我們將分析各種幾何變換群的結構，例如歐幾裏得群、仿射群、射影群等。 通過群論的視角，我們可以更深刻地理解幾何變換的對稱性以及不同變換之間的關係。 第十一章 幾何證題策略與技巧 本章將對全書內容進行總結和升華，聚焦於如何運用幾何變換的知識來解決實際的幾何證明問題。我們將梳理齣一些通用的幾何證題策略和技巧： 分析已知條件與待證結論： 識彆題目中給齣的幾何對象和性質，以及需要證明的結論。 選擇閤適的幾何變換： 根據待證結論的性質，判斷可能需要使用的幾何變換類型。例如，如果涉及角度關係，可能需要鏇轉；如果涉及距離關係，可能需要平移或反射。 構造輔助圖形或變換： 在必要時，可以通過構造新的幾何對象或進行恰當的幾何變換來簡化問題。 利用不變量： 識彆在所選變換下保持不變的幾何性質，並利用它們來推導齣結論。 化繁為簡： 運用幾何變換將復雜的幾何圖形或關係轉化為更簡單的形式，從而便於證明。 組閤運用多種變換： 對於一些復雜的問題，可能需要組閤使用多種幾何變換纔能獲得證明。 我們將通過一係列精心挑選的、具有代錶性的幾何證明題，來演示這些策略和技巧的實際應用。例如，我們將證明一些關於圓的性質，關於四邊形的性質，以及一些更抽象的幾何定理。 本書的最終目標是，在讀者掌握瞭紮實的幾何變換理論基礎後，能夠靈活運用這些工具，獨立地解決各種幾何證明問題，並對幾何學産生更深刻的理解和興趣。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學理論抱有極高熱情的本科生，偶然間看到瞭《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》這本書。這本書的標題立刻吸引瞭我，雖然名字裏帶有“統計學”，但“幾何變換與幾何證題”這幾個字，更讓我聯想到幾何學中那些優美而深刻的定理。我尤其感興趣的是書中可能涉及的李群和李代數在幾何變換中的應用，雖然我知道這可能屬於更高級的內容，但如果書中能有淺顯的介紹，或者引導性的思路，那將是對我巨大的鼓舞。我希望這本書不僅僅停留在對基本變換的講解，更能觸及到一些更前沿的理論，比如微分幾何中的麯麵變換，或者是代數幾何中關於同構的幾何意義。雖然我目前對這些還不是非常瞭解，但這本書就像一扇門，我希望能通過它，窺見到更廣闊的數學天地。期待這本書能夠在我學習數學的道路上，點亮一盞明燈，讓我能夠理解那些深奧的幾何概念，並從中獲得啓迪。

評分☆☆☆☆☆

這本書拿到手裏，沉甸甸的，書名《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》就透著一股嚴謹的氣息。我一直對幾何變換有著濃厚的興趣，總覺得它像是數學世界裏的“魔法”，能把復雜的圖形變得簡單，把難以捉摸的性質一目瞭然。我希望這本書能夠深入淺齣地講解仿射變換、相似變換、歐幾裏得變換等基礎知識，並且能通過大量的實例，展示這些變換在解決幾何問題中的強大威力。尤其是幾何證題部分，我期待能看到作者蕭振綱教授如何將抽象的幾何變換理論，巧妙地運用到各種經典幾何定理的證明中，例如如何用矩陣錶示變換，如何通過坐標變換來簡化證明過程。我知道哈爾濱工業大學在數學領域有著深厚的積澱，這本書作為該校齣版社齣版的係列書籍，想必在學術嚴謹性和內容深度上都會有很好的保障。我希望這本書能幫助我提升幾何思維能力，甚至在未來的學習和研究中，能夠獨立地運用幾何變換的思想去解決新的問題。

評分☆☆☆☆☆

拿到《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》這本書，我首先被它厚重的裝幀和清晰的排版所吸引。我是一名業餘的數學愛好者，平時喜歡鑽研一些數學問題，尤其對幾何學中的變換概念情有獨鍾。我希望這本書能夠從最基礎的幾何變換齣發，例如平移、鏇轉、伸縮等，逐步深入到更復雜的變換，如剪切、仿射變換等，並清晰地闡述它們在二維和三維空間中的性質和應用。對於“幾何證題”的部分，我期待書中能有豐富的實例，展示如何運用這些變換來證明一些經典的幾何定理，例如柯西-施瓦茨不等式、劉徽割圓術的幾何解釋，甚至是一些在現代科學技術中有所應用的幾何證明。我希望通過閱讀這本書，能夠係統地梳理我對幾何變換的理解，並且能夠掌握一些解決幾何問題的通用技巧，從而提升我的數學欣賞能力。

評分☆☆☆☆☆

我一直對幾何學中的對稱性及其背後的數學原理著迷。《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》這本書的標題，讓我看到瞭將幾何變換與幾何證明相結閤的可能。我希望這本書能夠詳細介紹群論在幾何變換中的作用，例如對稱群的概念，以及如何利用群的性質來分析幾何圖形的對稱性。關於幾何證題，我期待書中能有關於辛幾何和黎曼幾何的初步介紹，雖然知道這可能比較深奧，但如果能有章節專門講解它們在解決特定類型幾何問題中的應用，例如在物理學中的應用，那將是非常令人興奮的。我希望這本書能夠以一種嚴謹而又不失趣味的方式，引導我深入理解幾何變換的本質，以及如何運用幾何變換的思維去解決復雜的問題，從而拓展我的數學視野。

評分☆☆☆☆☆

作為一個在職的數學教師，我一直在尋找能夠更新教學理念、豐富教學內容的優質教材。《數學統計學係列：幾何變換與幾何證題》這本書的齣現，無疑給瞭我很大的啓發。我特彆關注書中的“幾何證題”部分，因為它直接關係到如何培養學生的幾何直覺和邏輯推理能力。我希望這本書能夠提供一套係統性的方法論，教我如何將復雜的幾何問題，通過引入恰當的幾何變換，轉化為更易於處理的形式。例如，在講解尺規作圖、嚮量幾何、解析幾何等內容時，如何有效地融入幾何變換的思想，讓學生在解題過程中體會到變換的“變”與“不變量”之間的關係。我也希望書中能包含一些具有挑戰性的題目，並附帶詳細的解題思路和過程，這樣我就可以藉鑒到書中優秀的設計，來改進我自己的教學設計，從而更好地激發學生學習幾何的興趣和動力。