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内容简介

本教材主要内容包含了复变函数引论、傅里叶变换、拉普拉斯变换、用分离变量法求解偏微分方程、二阶线性常微分方程的级数解法和傅里叶级数、柱面坐标中的偏微分方程解法、球面坐标中的偏微分方程解法、无界区域的定解问题、格林函数法求解数理方程。本教材以电子、信息类学生为主要编写对象，适合作为电子科学类、电子工程、通讯工程专业及应用物理偏电类专业的学生的数学物理方法教材。

目录

目　　录
前　言
第１章　复变函数引论 １
　１.１　复数与复变函数 １
１.１.１　复数表示法 ２
１.１.２　复数的运算规则 ３
１.１.３　复变函数的概念 ５
１.１.４　复多项式与复变函数的幂级数 １０
　１.２　初等复变函数与反函数 １４
１.２.１　初等复变函数的定义 １４
１.２.２　指数函数、三角函数与双曲函数 １５
１.２.３　反函数 １９
　１.３　复变函数的导数与解析函数 ２３
１.３.１　复变函数的导数与解析函数的定义 ２３
１.３.２　柯西Ｇ黎曼方程 ２６
１.３.３　多值函数的解析延拓 ２９
　１.４　复变函数的积分 ３２
１.４.１　复变函数积分的概念和计算 ３２
１.４.２　柯西古萨定理 ３５
１.４.３　复变函数的原函数与积分 ３７
　１.５　解析函数的高阶导数和泰勒级数 ４１
１.５.１　解析函数的高阶导数 ４１
１.５.２　泰勒级数 ４６
　１.６　罗朗级数与留数 ４９
１.６.１　罗朗级数 ５０
１.６.２　留数和围道积分 ５４
１.６.３　留数的简便求法 ５７
　１.７　留数在定积分计算中的应用 ５８
１.７.１　∫２π
０
f(cosθ,sinθ)dθ型积分 ６０
Ⅴ
数学物理方法　第２版
１.７.２　∫＋∞
－∞
f(x)dx型积分 ６１
１.７.３　∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型积分 ６２
１.７.４　∫＋∞
－∞
f(x)dx型积分,且f(x)在实轴上有一阶极点的积分 ６３
１.７.５　∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型积分,且f(x)在实轴上有一阶极点的积分 ６４
　习题１ ６４
第２章　傅里叶变换 ６９
　２.１　函数空间及函数展开 ６９
２.１.１　函数的内积 ６９
２.１.２　平方可积函数空间与函数展开 ７３
　２.２　傅里叶积分与傅里叶变换 ７８
２.２.１　一维傅里叶变换定理 ７８
２.２.２　多维傅里叶变换 ８３
　２.３　阶跃函数与δ函数的傅里叶变换 ８４
２.３.１　阶跃函数及广义傅里叶变换 ８４
２.３.２　广义函数及δ(x)函数 ８８
２.３.３　δ(x)函数的性质 ９２
　２.４　傅里叶变换的性质 ９８
　２.５　函数的卷积与傅里叶变换的卷积定理 １０３
２.５.１　函数的卷积 １０３
２.５.２　傅里叶变换的卷积定理 １０６
　２.６　复值函数的傅里叶变换 １０８
　习题２ １０９
第３章　拉普拉斯变换 １１３
　３.１　拉普拉斯变换的基本原理 １１３
３.１.１　拉普拉斯变换的概念 １１３
３.１.２　周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法 １１７
　３.２　拉氏变换的性质 １１８
　３.３　拉氏变换的卷积定理 １２６
３.３.１　卷积的意义和它的运算规则 １２６
３.３.２　卷积定理 １２７
　３.４　拉氏逆变换及其应用 １３０
Ⅵ
目　　录
３.４.１　拉氏逆变换的反演积分原理 １３０
３.４.２　用拉氏逆变换解常微分方程 １３３
　习题３ １３８
第４章　用分离变量法求解偏微分方程 １４０
　４.１　数学物理方程的导出 １４０
　４.２　定解问题的基本概念 １４６
４.２.１　泛定方程的基本概念 １４６
４.２.２　定解条件 １４９
４.２.３　线性偏微分方程解的叠加定理 １５１
　４.３　直角坐标系下的分离变量法 １５３
４.３.１　一维齐次定解问题的分离变量法 １５３
４.３.２　高维齐次定解问题的分离变量法 １５９
　４.４　直角坐标系下的第三类边值问题与广义傅里叶级数 １６１
４.４.１　直角坐标系下的第三类边值问题的求解 １６１
４.４.２　广义傅里叶级数 １６４
　４.５　拉普拉斯方程的定解问题 １６７
４.５.１　平面直角坐标系中的狄利克莱问题 １６７
４.５.２　直角坐标系中拉普拉斯方程的混合定解问题 １６９
４.５.３　圆域内的狄利克莱问题 １７１
　４.６　特征函数展开法解齐次边界条件的定解问题 １７４
４.６.１　齐次边界条件发展方程初值问题的解法 １７５
４.６.２　非齐次边界条件边值问题的解法 １７７
　４.７　非齐次边界条件的处理 １８０
　习题４ １８４
第５章　二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数 １８８
　５.１　贝塞尔方程与勒让德方程 １８８
５.１.１　贝塞尔方程的导出 １８９
５.１.２　勒让德方程的引入 １９１
　５.２　二阶线性常微分方程的幂级数解法 １９３
５.２.１　二阶线性常微分方程的奇点与常点 １９３
５.２.２　二阶线性常微分方程的幂级数解 １９４
　５.３　二阶线性常微分方程的广义幂级数解法 １９８
５.３.１　弗罗贝尼乌斯解法理论 １９８
５.３.２　弗罗贝尼乌斯级数解法 ２０２
Ⅶ
数学物理方法　第２版
　５.４　常微分方程的边值问题 ２０７
５.４.１　常微分方程边值问题的提出 ２０７
５.４.２　SL问题的定理 ２１０
５.４.３　广义傅里叶级数的进一步讨论 ２１３
　习题５ ２１７
第６章　柱面坐标中的偏微分方程解法 ２１９
　６.１　贝塞尔方程的解与贝塞尔函数 ２１９
６.１.１　第一类和第二类贝塞尔函数 ２１９
６.１.２　整数阶诺依曼函数 ２

前言/序言

在现代科学技术飞速发展的今天,不但要求学生的知识面宽,而且对知识的深度也提出了更高的要求.例如,电子科学技术中有大量的小尺寸器件,要了解它们的特性,就需要解二维甚至三维的偏微分方程;对电子工程中的射频电路和高速电路设计中的各种形状的传输线、微带线和微波器件进行定量分析,至少要解二维偏微分方程.因此,电类学生掌握数学物理方法有利于学习和工作.另一方面,传统的数学物理方法内容以介绍力学为主,对于电学问题的处理基本上局限于对电动力学的基本方程处理,与器件和电路结合较少.同时,教材选用的内容范围过宽,这样做的优点是使学生了解了所有的相关内容,缺点是内容深度不够.这些情况导致一般的数理方法教材与电类学生所学的专业内容不匹配,学生无法在专业知识中运用数学物理方法.编者是专业课教师,兼任数学物理方法课程的教学,到目前为止,编者的主要工作仍然是专业课的教学.也正因为如此,编者深感数学物理方法课程改革的必要性,并希望把这种想法贯穿到教材中去,为此,编写了这本适合工科学生使用的教材.本教材有以下特点:１．主要内容包含了复变函数引论、傅里叶变换、拉普拉斯变换、数学物理方程的分离变量法、积分变换法、特征线法、格林函数法,引用了数学物理当中的渐进方法.考虑到有的专业已不再选学复变函数,从第２章起的内容删除了与复变函数结合得过于紧密的内容,课时少的专业只要删除少量例题即可直接从傅里叶变换开始教学,对数学物理方法内容的掌握没有任何影响.２．电子科学、电子工程和通讯工程专业的学生在后续课程学习中要接触到大量的特殊函数与电磁波理论,因此,本教材以６０％以上的篇幅讲述了贝塞尔函数与勒让德函数的性质及其应用、波动方程的解法以及广义傅里叶级数,并以单独的一章列出了二阶线性常微分方程的级数解法,让读者熟悉与其他特殊函数相关的微分方程的解法.本教材的内容都是电类学生在后续课程学习和实际工作中遇到的数学难点和重点.３．由于学时数的减少,教师在课堂上不能大量地讲解推导过程和例题,本教材非常详细地推导了相关的核心定理,每个定理都给出了足够的例题以深化学生对定理的认识,便于学生在课后自学.同时,尽量解释了偏微分程应用的物理背景.由于此特点,本教材尤为适用于普通本科院校学生以及教学课时较少的重点院校的学生.Ⅲ数学物理方法　第２版４．本教材还给出了编者在科研和实际工作中所遇到的一些数学物理方程,以及处理方法.通过对这些内容的学习,读者可以快速掌握在实际工作中数学物理方法的运用.５．为了配合教材使用,制作了课件.由于以上尝试和创新,本教材被评为普通高等教育“十一五”国家级规划教材.本教材承盛昭瀚教授和倪明放教授审稿.手稿的初期录入由研究生梅振飞、刘梅、徐太龙、张本营、吴昊、蒋先伟、王诗兵、方淼、张明、赵宇浩、鲁世斌、张兴建、周杰、刘萍、黄智、张婷、胡媛完成,尤其是梅振飞在录入书稿中做了大量的工作.孙玉发教授、朱军教授、李国祥副教授曾阅读了教材部分初稿,并就电子工程和通信工程中所遇到的数理方法问题处理提出了宝贵建议.孟坚副教授也参加了本教材的编写工作.在此,对以上所有的人表示衷心的感谢.由于水平和经验的限制,书中难免有欠妥之处,恳请读者批评指正.编　者
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