編輯推薦

如果你對數學與實在關係的問題感興趣，本書則為這一迷人的課題提供瞭全新的視角。

本書由當今世界有影響力的科學傢來探討數學的本質，沒有長篇大論地介紹數學專業術語，而是從抽象層麵帶領我們認識哲學意義範疇內的數學問題。

2018年新版的《第*推動叢書》全新設計瞭版式和封麵，簡約個性，提升瞭閱讀體驗，讓科普給你更多想象。

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內容簡介

在岡道爾夫堡和劍橋召開的這兩次跨學科專題討論會上，數學傢、物理學傢和哲學傢們對“數學是什麼”這一問題進行瞭探討。本書以周詳的形式再現瞭每位與會者在討論中所展現的風采，這些討論既反映瞭其所需的思想精確性，又能顧及到非專業人士的可讀性。

作者簡介

約翰·波金霍恩（John Polkinghorne），高級英帝國勛爵士（KBE），英國皇傢學會院士，劍橋大學皇後學院院士和前院長。他師從狄拉剋和阿蔔杜斯·薩拉姆，並被選為三一學院院士。

譯者介紹：

王文浩，清華大學工程物理係教授。

目錄

引言（約翰?珀金霍恩）

1 數學是一種發現還是一種發明？（蒂莫西?高爾斯）

評論（吉迪恩?羅森）

2 探索巴彆數學圖書館（馬庫斯?杜索托伊）

評論（馬剋?施泰納）

3 數學實在（約翰?珀金霍恩）

評論（瑪麗?倫）

答瑪麗?倫（約翰?珀金霍恩）

4 數學、大腦與物理世界（羅傑?彭羅斯）

評論（邁剋爾?德特勒夫森）

5 數學的理解（彼得?利普頓）

評論（斯圖爾特?夏皮羅）

6 數學中的創造和發現（瑪麗?倫）

評論（邁剋爾?德特勒夫森）

7 發現、發明和實在論：哥德爾和其他人關於概念實在性的觀點（邁剋爾?德特勒夫森）

評論（約翰?珀金霍恩）

8 數學與客觀性（斯圖爾特?夏皮羅）

評論（吉迪恩?羅森）

答復（斯圖爾特?夏皮羅）

9 數學對象的實在性（吉迪恩?羅森）

評論（蒂莫西?高爾斯）

10 我們從數學中得到的要比賦予它的多（馬剋?施泰納）

評論（馬庫斯?杜索托伊）

參考文獻

索引

精彩書摘

第1章 數學是一種發現還是一種發明？（部分）

本章標題是一個著名的問題。事實上，也許這個問題有點過於齣名瞭：不斷有人提齣這個問題，但怎麼作答都不能令人滿意。在形成本書的討論中，大傢推舉我來迴答這個問題。由於大多數參與討論的都不是研究數學的專傢，因此希望我能從數學傢的角度來處理這個問題。

提齣這個問題的一個原因似乎是人們希望用它來支持自己的哲學觀點。如果數學是一種發現的話，那便意味著原本就有某種東西在那裏等待數學傢去發現，這種認識似乎支持瞭柏拉圖主義的數學觀點；而如果數學是一種發明的話，那麼它則為非實在論關於數學對象和數學真理的觀點提供瞭某種論據。

但在得齣這樣一個結論之前，我們需要從細節上充實論據。首先，當我們說數學的某項內容被發現時，我們必須十分清楚這指的是什麼，然後我們必須在這個意義上解釋清楚為什麼能夠得齣這一結論（這套程式被稱為柏拉圖式論證）。我自己並不認為這套做法能夠貫徹到底，但它至少從一開始就試圖闡明這樣一個不爭的事實：幾乎所有數學傢在成功證明某個定理時都會感到好像他們有某種發現。我們可以用非哲學的方式來看待這個問題，這裏我正是嘗試這麼做的。例如，我會考慮是否存在某種可識彆的東西，以便鑒彆哪些東西看上去像是數學發現，哪些更像是數學發明。這個問題部分屬於心理學範疇的問題，部分屬於是否存在數學陳述的客觀性的問題，即屬於解釋某個數學陳述是如何被感知的問題。要想論證柏拉圖的觀點成立，我們隻需要指明存在某些被發現的數學事實就足矣：如果事實證明，存在兩大類數學，那麼我們或許就能夠理解這種區彆，對何為數學發現（而不是單純的數學結果）做齣更精確的定義。

從詞源上說，所謂“發現”通常是指當我們找到瞭某個早已在那兒但我們此前不知道的東西。例如，哥倫布對美洲的發現（盡管人們齣於其他原因對此大可質疑），霍華德·卡特於1922年發現瞭圖坦卡濛的墓，等等。盡管所有這些發現並非我們直接觀察到的，但我們依然能夠這樣說。例如我們都知道是J. J. 湯姆孫發現瞭電子。與數學關聯更強的是如下事實的發現 ——例如我們可以確切地說，是伯恩斯坦和伍德沃德發現（或對這一發現有貢獻）瞭尼剋鬆與水門入室盜竊案有關。

在所有這些情形裏，我們都觀察到一些引起我們注意的現象或事實。因此有人可能會問，我們是否可以將“發現”定義為從未知到已知的轉變過程。但有不少事例錶明，事實並非如此。舉例來說，喜歡做填字遊戲的人都知道這樣一個有趣的事實，單詞“carthorse(大馬)”和“orchestra（樂隊） ”屬於一對字母換位詞。我相信肯定是某個地方的某個人最先注意到這個事實，但我寜願將它稱為“觀察”（我用“注意到”這個詞來描述這一事實）而不是“發現”。為什麼呢？這是因為

“carthorse”和“orchestra”這兩個詞我們每天都用，它們之間是一種簡單關係。但是為什麼熟悉的單詞間關係我們不能稱之為發現呢？另一種可能的解釋是，一旦這種關係被指明，我們很容易驗證它的成立，我們沒必要從美國跑到埃及去宣講這一事實，也沒必要通過做精密的科學實驗予以驗證，或設法獲取某個秘密文件纔能知曉。

至於談到柏拉圖式論證的證據，“發現”和“觀察”的區彆不是特彆重要。如果你注意到某個事實，那麼這個事實一定在你注意到它之前已經在那裏瞭，同樣，如果你發現瞭某個事實，那一定是在你發現之前它就存在瞭。因此我認為，觀察事實屬於某種發現而不是一種根本不同的現象。

那什麼是發明呢？我們做的什麼樣的事情屬於發明呢？機器是一個很好的例子：談到蒸汽機，或飛機，或移動電話，我們說這些是發明。我們還認為遊戲屬於發明，例如英國人發明瞭闆球。我更想指齣的是，“發明”是以適當的方式來描述所發生的事。藝術為我們提供瞭這方麵的一些更有趣的例子。人們從來不會說某個藝術品是被發明齣來的，但會說發明瞭某種藝術風格或技巧。例如，畢加索不是發明瞭《阿維尼翁的少女》（Les Desmoiselles d’Avignon），但確實是他和布拉剋發明瞭立體派繪畫藝術。

從這些例子我們得齣一種共識，我們發明的東西往往不是單個對象，而是生産某類對象的一般方法。當我們說到蒸汽機的發明時，我們不是在談論某颱特定的蒸汽機，而是一種概念 ——一種將蒸汽、活塞等東西巧妙地結閤起來用以驅動機器的設計，它能夠導緻許多蒸汽機的建造。同樣，闆球是一套規則，它可以帶來各種形式的闆球運動，立體派則是一種對各種立體派繪畫的一般性指稱。

有人將數學發現這一事實看作柏拉圖學派數學觀的證據，其實他們試圖錶明的是，某些抽象實體具有獨立存在的屬性。我們認可體現這些抽象實體真實性的某些事實，與我們接受具體事物真實性的某些事實有大緻相同的原因。例如，我們認為存在無窮多個素數這一陳述就是一種真實的事實，這是因為的確存在無限多的自然數，並可確信，這些自然數中確實存在無限多個素數。

有人也許認為，抽象概念是一種獨立存在這一點也可以作為“數學是一種發明”這一觀念的證據。確實，我們有關發明的很多例子都以某種重要方式與抽象概念相關聯。前述“蒸汽機”便是這樣的一個抽象概念，闆球規則也是如此。繪畫中的立體派是一個比較麻煩的例子，因為它沒有那麼精確的定義，但它無疑是具體的而不是抽象的。但我們發明這些概念時為什麼不說這些抽象概念是一種存在呢？

一個原因是，我們認為獨立存在的抽象概念應該是永恒的。因此，在英國人發明闆球規則時，盡管這些規則屬於抽象領域並成為一種存在，但我們不傾嚮於認為它們是永恒的。更誘人的一種觀點是，他們是從巨大的“規則空間”裏選擇瞭闆球規則，這個規則空間包含瞭所有可能的規則集（其中大部分規則會引起可怕的遊戲）。這種觀點的缺陷是，它用大量垃圾概念充斥瞭抽象領域，但實際情形也許真的是這樣。例如，數空間顯然包含所有的實數，但其中除瞭“可數的”這個子集外，其他的都無法定義。

反對“我們發明抽象概念從而使它變成存在”的另一種論證認為，我們發明的概念不是基本的，它們往往是對其他一些（抽象或具體的）更簡單的對象的處理方法。例如，闆球規則的描述就涉及包含22名球員、1個球和2個球門的一組概念之間的約束。從本體論的角度看，球員、球和球門顯然比約束它們之間相互關係的規定更基本。

前麵我提到過，談到某一件藝術品時我們通常不會用“發明”一詞來指稱。當然我們也不會說“發現”瞭它，而是通常用“創造”這個詞來指稱。大多數人在被問到這個問題時都會認為，“創造”一詞在這裏其詞意接近於“發明”而不是“發現”，正像“觀察”一詞的詞意接近於“發現”而非“發明”。

這是為什麼呢？是這樣的：在這兩種情況下，變得存在的那件東西原本有許多任意性。如果我們可以將時鍾撥迴到闆球被發明齣來之前，讓世界重新演化一遍，我們很可能會看到發明齣一種類似的遊戲，但其遊戲規則不太可能與闆球比賽規則完全相同（有人可能會反駁說，如果物理定律是確定的，那麼這個世界應當精確地按照它第一次演化時那樣演化。在這種情況下，它重新演化時隻會做一些小的隨機變化）。同樣，如果有人在畢加索剛創作完《阿維尼翁的少女》後便不小心毀壞瞭它，迫使畢加索不得不重新開始創作，那麼他創作的可能是一幅類似但不完全相同的畫。與此相反，如果沒有哥倫布，那麼也會有其他人發現美洲，而不是在大西洋的另一邊發現的隻是一塊巨大的、麵積大緻相同的陸地。而單詞“carthorse”和“orchestra”的有趣性與誰是第一個觀察到這一點無關。

有瞭這些思想上的準備，現在我們迴到數學上來。同樣，我們先看一些人們常列舉的著名例子將有助於我們對問題的理解。我先列舉一些發現、觀察和發明的事例（我無意設定這樣一種場景，好像我可以確定地錶示某些數學問題是創造齣來的），然後嘗試著解釋為什麼每個事例會是按這種方式來描述。

前言/序言

數學到底是一種由行傢施展身手來錶演如何化解難題的高度復雜的智力遊戲，還是數學傢在探索數學實在這一獨立領域過程中所帶來的發現？為什麼這個看似抽象的學科能夠提供打開物理宇宙深層秘密的鑰匙？如何迴答這些問題將明顯影響著我們對實在的形而上的思考。在岡道爾夫堡和劍橋召開的兩次跨學科專題討論會上，數學傢、物理學傢和哲學傢們對這些問題進行瞭探討。本書以周詳的形式再現瞭每位與會者在會議熱烈討論中所展現的風采。文章盡力保持這樣一種平衡：既反映進行這種討論所需的思想精確性，又照顧到準備在此領域做齣一番事業的非專業讀者的可讀性。

劍橋大學科學哲學教授彼得·利普頓參加瞭第一次會議，並有精彩發言。但不幸的是，這之後他溘然長逝，對此我們感到非常難過。所有與會者有一個共同心願：將本書作為我們對這位尊敬的學者和謙和、富於啓迪的同事的美好追憶。

本書的前兩章由數學傢蒂莫西·高爾斯和馬庫斯·杜·索托伊撰寫。他們能夠充分利用長期從事數學研究的豐富經驗來闡述問題。高爾斯特彆重視“發明”和“發現”這兩個詞是如何被數學界實際運用的。他的結論是，當導緻重要結論的論證基本上隻有唯一一條途徑時，用“發現”來說明似乎是恰當的。而如果存在多條清晰的論證途徑時，則人們更願意用“發明”一詞來形容。杜·索托伊描述瞭在洞察一個事件時靈感閃現的情形，這是這樣一種經驗：可以確信，有待識彆的東西早就“已經在”那兒等待被發現瞭。

接下來的兩章由數學物理學傢約翰·波金霍爾和羅傑·彭羅斯撰寫。波金霍爾旨在通過對哥德爾不完全性和人類數學能力進化的論述來捍衛數學實在。兩位物理學傢都非常看重數學在他們做齣發現過程中所扮演的角色。彭羅斯認為，哥德爾不完全性意味著有意識的思想要遠比神經網絡計算來得復雜。

其餘章節由哲學傢執筆。彼得·利普頓撰寫的一章以短文呈現，以彰顯他對第一次研討會做齣的貢獻。這篇文章討論瞭知識、理解和解釋等概念，強調瞭他認為這些概念在科學和數學之間應用的差異。斯圖爾特·夏皮羅幫忙為本文提供瞭一個附錄，說明本次討論的一些方法可能會得到進一步擴展。瑪麗·倫對那種發現的感覺 ——許多數學傢論證認為必然由此導緻柏拉圖的數學實在的觀點 ——持否定態度。相反，她認為，這種感覺可以理解為齣自邏輯上的必然性。邁剋爾·德特勒夫森則對古代和現代圍繞發明或發現的爭論進行瞭廣泛的調查。他對哥德爾著名的數學“知覺”與感性知覺之間的類比給予瞭謹慎的批評。斯圖爾特·夏皮羅認為，數學是一種人類活動，其傳統源自人類的選擇。在他看來，關鍵概念是“認知律令”。這個概念用來說明不同的人做同樣的計算所取得的結果應有必然的一緻性這一現象。他認為這一觀點鼓勵人們從發現的角度去看問題。吉
迪恩·羅森探討瞭這樣一種觀念：數學的地位相當於他所謂的“有條件的實在論”。他將這一判斷描述成對數學作為“形而上學上第二等”的一種裁決，因為它依賴於更基本的邏輯事實。最後，馬剋·施泰納將我們領嚮笛卡兒而不是柏拉圖。他強調，數學似乎能夠提供某種“剩餘價值”，允許數學傢超越公理（數學傢自己則將這種超越稱為“深入”的品質）。

本項研討會的一個特點是討論氛圍的活泛和透徹。與會者希望本書能將這種氣質傳遞給讀者，因此我們對每篇文章都附上一篇由其他與會者撰寫的短評。我們相信，這些評論是正文報告的一個重要組成部分，它反映瞭研討會帶來的啓發性和挑戰性。

研討會的兩次會議均得到瞭約翰·鄧普頓基金會（John Templeton Foundation）的支持。所有與會者對這一慷慨資助錶示由衷的感激。我們特彆要感謝基金會的瑪麗·安·邁爾斯博士，她在組織協調方麵提供瞭大力幫助，並對會議議題錶現齣濃厚興趣。

希望下次快遞員能就近送貨，每次都送到學校東門，東西少還行，四箱書，纍死人

一共買瞭五本書，這本書是最厚的。書還沒看。隻是看瞭一下目錄。感覺還是挺精彩的。

燒腦之書。鍛煉腦力非常棒。

問題得到解決，是一本不錯的書，不過現在還沒看完，但是書的質量是不錯的。

書的質量不錯，搞活動入手的，性價比很高，晚上下單第二天就到，京東物流給力。

本書是基於霍金和彭羅斯在劍橋大學的六次演講和辯論而成，辯論主要圍繞量子場論和廣義相對論這兩種成功的理論是否可以被統一的問題。盡管爭論的問題不同瞭，但同之前那場著名的辯論一樣，在這裏彭羅斯擔任愛因斯坦的角色，而霍金充任玻爾的角色，他們的觀點同樣閃爍著人類智慧的光芒。

第一推動叢書就是盜火者，本本精華心裏長草很久瞭，這次，618先搞兩組，下次再搞一組。

在讀書聲裏沒有無聊，在世事紛擾中自有桃源。

韆書易取，良書難求。