數學小丸子的解題筆記（導數壓軸題與放縮應用） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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王海剛 著

圖書標籤:

• 數學
• 導數
• 壓軸題
• 放縮
• 解題技巧
• 高中數學
• 函數
• 不等式
• 學習筆記
• 技巧總結

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308171557

版次：1

商品編碼：12289776

包裝：平裝

開本：大16開

齣版時間：2017-01-01

用紙：膠版紙

編輯推薦

1. 網絡解題高手、人稱“放縮大師”的“數學小丸子”開山之作。
2. 本書是關於導數壓軸題與放縮應用，將不等式證明過程清晰完整地體現齣來。
3. 全書主要是呈現解題過程，更主要的是解題過程的思考過程，即解題前過程，在文中都以“注”的形式給齣。

內容簡介

1 題目來源
高考真題，高考模擬題，國內外考研題，國內高中數學預賽題，國外大學生數學競賽題 本書中的試題以高考真題以及高考模擬題為主，但並不排斥其餘各類考試題
2 解題方式
在解題過程中，不僅注重瞭解題的流暢性，還重點說明這樣解題的原因，因為作者在多年的教學中，觀察到學生們對於導數壓軸題的態度就是“答案為什麼這樣做，我想不懂” 實際上，每個參考答案背後都蘊含瞭解題的邏輯，但有些解答過程呈現的方式給人的感覺比較難想，本書重點處理一些教師或者學生對於某些高考答案疑問的地方。比如零點問題中的如何取點問題，較多答案都隻給瞭點，而沒有給齣點自何處，本書就說明瞭一些取點的手段
3 本書亮點
①“放縮百變，其義自見”；
本書重點講解瞭如何運用放縮解決一些導數壓軸題，放縮是一個比較有用的手段，如果運用的較好，在考試中可以節約思考的思維成本，本書給讀者大量的練習放縮的難度適中的試題
②“兩手都抓，雙管齊下”；
目前在證明不等式的題型中，放縮所運用的不等式集中在以泰勒展開為背景的，對於連分式為背景的不等式的應用不是很多，本書提供瞭一些連分式為背景的不等式，如果運用的較好，那麼就可以輕鬆解決一些簡單估值題以及一些較緊的不等式的證明問題
③“舉一反三，發散思維”；
作者在對一道題的解答總結中會將其相關的試題同時解答，有些看似錶麵不同的不等式證明問題，經過題與題的勾連，就會體現齣其比較大的相似性，那麼讀者就可以連貫的解決一類問題

目錄

第一章：恒成立問題
1.必要探路法
2.分離參數分
3.構造函數法
4.直接討論法
5.隔離局部式
6.巧用放縮法
第二章：不等式證明
1.二項式定理
2.常用不等式
3.普通求導法
4.隱零點過渡
5.一分為二法
6.構造函數法
7.代數變形法
8.加強不等式
9.主元轉換法
10.抽象函數題
11.數列不等式
12函數擬閤法
13.數學歸納法
14.換元與減元
15.裂項相消法
16.偏對稱問題
17.以直代麯法
18.遞推不等式
第三章：著名不等式
1.均值不等式
2.貝努力不等式
3.約當不等式
4.楊格不等式
5.Huygens不等式與Wilker不等式
6.對數平均不等式
7.琴聲不等式
8.三角不等式
9.柯西不等式
10.Swell不等式
11.祖衝之不等式
12.組閤不等式
13. Carleman不等式
第四章：簡單估值題
第五章：存在性問題
第六章：函數極最值
第七章：韋達定理篇
第八章：公切綫問題
第九章：零點問題篇
第十章：綜閤應用篇

前言/序言

序言
之前我參與編寫瞭一本浙江大學齣版社齣版的圖書《高中數學解題研究(第2輯：大題細做)》，在其中,我寫瞭一篇《變形有法放縮有度，因式分解顯奇效》的文章，對2016年山東理科導數題進行瞭詳細的分析，解讀以及證明，得到瞭一些老師的關注和好評，還得到瞭“放縮大師”的美稱（雖不能至，心嚮往之），有些老師說我將一些不等式證明過程體現齣來瞭，而非是一個冷冰冰的大式子，讓人感覺很神秘，望而生畏.
在導數不等式證明的題，經常會讓人感覺“這個解法太突如其來瞭，不曉得是從哪裏蹦齣來的，簡直就像從帽子裏掏齣來一隻兔子一樣” .實際上，導數不等式證明有許多手段，隻不過每個人處理的方式不是唯一，就造成瞭“很難理解彆人為什麼如此證之，我怎麼就想不到”的情況.既然我的文章得到瞭老師的認可，一些學生也嚮我反應說解決瞭一些不等式證明中的疑問，讓彆人理解瞭我證明不等式時利用的一些手段，手段易於操作，那麼我就應該繼續堅持寫一些小文章，因此後來我寫瞭一篇題目為《導數不等式證明手段——同性態函數性態擬閤》的文章，同樣受到瞭一些老師的關注，此方法將待證明的不等式分拆為局部可以求最值的組閤函數，解決瞭一類較緊的不等式問題，後來堅持寫瞭放縮法求恒成立參數問題，利用連分式不等式估值問題等等文章.
直到有一天，有同事建議我齣一本關於導數的書，將之前的一些文章或者對題目的解讀匯聚成一本可以傳閱的，可以分享的書，我萌生瞭寫書的想法.萬事開頭難，以什麼專題開篇是一個較難的選擇，思考瞭許久，最後決定以恒成立問題開篇，恒成立求參數問題比較流行，其中可以提煉齣基本的，常用的不等式，因為有些恒成立求參數問題以高等數學中泰勒展開式為背景命題，以及一些著名的不等式為背景命題，那麼作為開篇可以對不等式有一個初步的認識恒成立問題，恒成立問題較為流行的是分離參數以及討論法，在處理一類可以分參但是需要應用高等數學洛必達法則的問題時，我全部迴避瞭，采取的是討論的辦法，在討論法中，利用不等式放縮過渡是一個比較重要的方法，其好處是化繁為簡.第二、三章重點處理不等式證明問題，介紹瞭一些不等式證明的手段，以及分享瞭一些常見的重要不等式，重要的不等式對簡單估值問題的解決發揮瞭比較大的作用，這為第四章的估計問題做瞭一個很好的鋪墊，高中階段的估值問題，主要手段就是利用不等式進行雙側夾逼，獲得待估計值的大緻範圍.第六章是利用導數，放縮思想求解函數最值問題，其中對利用泰勒展開式，漸進式等手段的求最值問題進行瞭解讀，讓一些看似古怪的放縮變得容易理解.第五、七、八章為一些常見的考試問題，進行瞭簡單的梳理，對題目的解答給齣瞭我自己的解法.第九章當前熱點問題，也是難點問題，尤其是零點問題中的避免極限，如何取點問題同樣是一個令人為難的專題，在處理此部分時候，我給齣瞭一些手段，利用重要不等式放縮，局部放縮，待定係數取點法三個重要手段，可以很好的解決一些零點問題.第十章就是利用導數解決一些問題，其中包含瞭一些以高等數學為背景以及著名曆史問題為背景的題目，比如有函數拐點問題，丟番圖問題，拉格朗日為背景問題等.
全書主要是呈現解題過程，更主要的是解題過程的思考過程，即解題前過程。解題前過程，我都以“注”的形式給齣，也請讀者認真研讀“注”中的內容，相信您一定會有所啓發以及收獲！
由於水平有限，難免會齣現一些紕漏甚至錯誤，請讀者批評指正.歡迎加入“浙大數學優輔學習交流”QQ群205743216，就書中題目的選取、解答等方麵，與我交流看法！
最後感謝我的老婆，是她在我寫書的這段時間，默默地照顧我！

王海剛（數學小丸子）

《數學小丸子的解題筆記——導數壓軸題與放縮應用》 概述 本書，顧名思義，旨在為廣大高中數學愛好者，尤其是正在備戰高考的學子們，提供一份詳實、深入的導數壓軸題解題思路與技巧集錦。我們將聚焦導數在解決復雜數學問題中的核心作用，並著重剖析“放縮法”這一在壓軸題中屢試不爽的強大工具。本書力求從理論到實踐，由淺入深，引導讀者建立起嚴謹的數學思維，掌握解決高難度導數問題的必備技能。 本書特色與價值 精準定位，直擊痛點： 高考數學中的導數壓軸題，往往是拉開分數差距的關鍵。它們綜閤性強，思維深度要求高，對學生的知識體係和解題能力提齣瞭嚴峻挑戰。《數學小丸子的解題筆記》正是瞄準這一痛點，係統梳理導數壓軸題的常見題型、核心考點以及解題難點，力求為讀者提供“一站式”的解決方案。 理論升華，方法精煉： 我們並非簡單堆砌例題，而是注重對導數基本概念、定理以及重要結論的深入理解。在講解過程中，我們將引導讀者思考：為什麼這個方法有效？它背後蘊含瞭怎樣的數學思想？通過對方法論的提煉，幫助讀者構建起靈活多樣的解題策略。 放縮之妙，化繁為簡： “放縮法”是解決許多不等式證明以及判斷函數單調性、極值等問題的“殺手鐧”。本書將投入大量筆墨，係統講解放縮法的原理、常用技巧（如泰勒展開、積分放縮、代數放縮等）以及在不同類型導數壓軸題中的具體應用。通過精選典型例題，展示放縮法如何將看似棘手的復雜問題，巧妙地化繁為簡，輕鬆破解。 壓軸題精選，深度解析： 本書精選瞭近年來高考真題及模擬考試中的高難度導數壓軸題，覆蓋瞭函數性質探究、不等式證明、參數方程求解、數列與導數結閤等多種題型。每一道例題都經過由錶及裏、由淺入深的詳細解析，不僅提供最終答案，更重要的是剖析解題的全過程，包括： 審題技巧： 如何快速抓住題目的核心信息，理解題意。 思路構建： 如何從題目特點齣發，聯想到相關的導數知識和解題策略。 關鍵步驟： 每一個重要推導的依據和邏輯。 易錯點提醒： 指齣常見的解題誤區，幫助讀者規避錯誤。 反思總結： 引導讀者從例題中提煉齣通用的解題方法和思想。 循序漸進，能力提升： 本書的編排遵循由易到難、由淺入深的原則。前期的內容會夯實基礎，講解基本概念和方法，而後期的例題和練習則難度逐漸提升，直指壓軸題的深度和綜閤性。通過循序漸進的學習，讀者能夠逐步建立自信，穩步提升解決高難度數學問題的能力。 互動啓發，思維激活： 除瞭詳實的例題解析，本書還設置瞭一些啓發性問題和思考題，鼓勵讀者主動思考，積極參與到解題過程中。我們相信，數學的學習不僅僅是記憶公式和技巧，更重要的是思維的訓練和能力的培養。 目錄預覽（主要內容方嚮） 第一章：導數基礎迴顧與高階應用 導數基本概念與幾何意義的再認識 洛必達法則與無窮小、無窮大的處理 導數在研究函數單調性、極值、最值中的作用 復閤函數求導與隱函數求導的應用 導數在不等式證明中的初步應用 第二章：導數壓軸題的類型與特點 函數性質綜閤探究（單調性、極值、最值、對稱性等） 不等式證明（恒成立問題、構造函數證明不等式） 參數方程與導數 方程根的個數與導數 數列與導數交織的綜閤題 第三章：放縮法的理論基石與常用技巧 理解放縮法的核心思想：化未知為已知，化復雜為簡單 代數放縮： 利用基本不等式（均值不等式、柯西不等式等） 利用變量替換和構造輔助函數 利用函數圖像的單調性進行放縮 泰勒展開放縮： 基本函數的泰勒展開式（e^x, ln(1+x), sin x, cos x 等） 利用泰勒展開式近似函數，實現放縮 積分放縮： 利用積分的幾何意義（麵積）進行放縮 利用積分不等式（如 Jensen 不等式、積分中值定理） 數列放縮： 利用比較法、歸納法進行數列的放縮 第四章：導數壓軸題中的放縮法實戰演練 例題精講： 例 4.1： 利用泰勒展開證明含 e^x 的復雜不等式。 例 4.2： 運用積分放縮證明關於對數函數的不等式。 例 4.3： 結閤函數單調性，巧妙代數放縮解決參數不等式恒成立問題。 例 4.4： 構造輔助函數，利用導數與放縮法求解函數零點個數。 例 4.5： 將數列問題轉化為與導數相關的函數問題，並應用放縮法。 （本書將包含更多此類深度解析的例題，覆蓋不同知識點和難度層次） 題型分析： 針對不同類型的壓軸題，總結放縮法的具體應用策略。 解題誤區與技巧提升： 深入剖析使用放縮法時容易齣現的錯誤，並提供優化建議。 第五章：疑難雜癥攻剋與思維拓展 導數壓軸題中的“陷阱”與應對策略 如何培養數學直覺，快速找到解題切入點 多角度看問題：同構、轉化、構造思想的應用 如何將抽象的數學問題與具體的實際情境聯係起來 構建個人解題知識體係與方法庫 第六章：模擬演練與提升 精選模擬壓軸題，提供獨立思考與解答空間 針對性練習，強化導數與放縮法的掌握程度 階段性測試，檢驗學習成果，發現薄弱環節 本書適用人群 高中生：尤其是高三學生，在高考衝刺階段，需要係統性地提升導數壓軸題的解題能力。 對導數及放縮法有深入學習需求的數學愛好者。 希望在數學競賽中取得好成績的學生。 從事高中數學教學的教師，可作為教學參考和備課資料。 學習建議 概念先行： 在學習具體例題之前，務必牢固掌握導數的基本概念、定理和公式。 主動思考： 閱讀例題時，先嘗試自己思考解題思路，然後再對照解析，對比自己的想法與作者的思路。 勤於練習： 數學能力的提升離不開大量的練習。在理解例題的基礎上，積極完成書後的練習題，並嘗試舉一反三。 反復迴味： 對於經典例題和解題方法，要反復琢磨，理解其精髓，將其內化為自己的解題工具。 總結歸納： 在學習過程中，不斷總結自己遇到的問題、掌握的技巧，形成屬於自己的解題方法庫。 《數學小丸子的解題筆記——導數壓軸題與放縮應用》不僅僅是一本練習冊，它更是一份係統性的學習指南，一份思維的啓迪，一份攀登數學高峰的有力助手。相信通過本書的學習，讀者定能有效提升解決導數壓軸題的能力，在高考數學中取得優異的成績！

評分☆☆☆☆☆

最近我在琢磨一道高數題，涉及到參數的取值範圍，怎麼都找不到一個清晰的思路，感覺像是被卡住瞭。在網上搜索解法的時候，偶然看到瞭這本書的介紹，特彆是“導數壓軸題”和“放縮應用”這幾個關鍵詞，簡直像抓住瞭救命稻草。壓軸題嘛，大傢都懂的，往往是考試的重點和難點，但凡能在這方麵有所突破，對整體成績的提升作用是巨大的。而“放縮應用”這個概念，在我看來，是一種非常高級的解題技巧，能夠化繁為簡，將復雜的問題轉化為容易處理的形式。我一直覺得，很多數學題的精髓就在於發現巧妙的轉化方法，而不是死記硬背公式。這本書如果真的能深入淺齣地講解如何在壓軸題中運用放縮技巧，那將是無價之寶。我尤其希望它能提供一些不同類型的例題，從基礎的到復雜的，逐步引導讀者掌握放縮的思想和方法，而不是簡單地羅列一些技巧。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，數學學習的樂趣很大程度上來自於解題過程中的“豁然開朗”。而很多時候，這種“豁然開朗”都需要一些巧妙的數學思想和方法來引導。這本書的標題《數學小丸子的解題筆記（導數壓軸題與放縮應用）》恰恰點燃瞭我對這種“豁然開朗”的期待。“導數壓軸題”代錶著挑戰，“放縮應用”則預示著策略。我希望這本書能像一位經驗豐富的引路人，帶領我穿越導數壓軸題的迷霧，教會我如何運用放縮這個“萬能鑰匙”打開難題的大門。我特彆看重“筆記”這兩個字，它暗示著這本書的內容是作者長期思考和實踐的結晶，而不是簡單地拼湊知識點。我希望書中能夠包含一些獨特的、能夠引發思考的解題技巧，讓我不僅能解決眼前的題目，更能舉一反三，觸類旁通。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我之前對導數和放縮的結閤並沒有太深的認識，總覺得是兩個相對獨立的知識點。但看到這本書的名字《數學小丸子的解題筆記（導數壓軸題與放縮應用）》時，我突然意識到，原來導數和放縮之間可以産生如此有趣的化學反應。壓軸題往往需要一些“四兩撥韆斤”的技巧，而放縮正是這樣一種化繁為簡的神器。我特彆好奇，在處理那些需要證明不等式或者求函數最值等高難度導數問題時，如何利用導數的單調性等性質，結閤恰當的放縮，來構建齣清晰的解題路徑。這本書如果能提供一些原創性的解題思路，或者對經典壓軸題給齣不同於常規的、更具啓發性的解答，那將極大地拓展我的解題視野。我希望這本書不僅僅是給齣“怎麼做”，更能深入講解“為什麼這麼做”，讓讀者真正理解其中的數學思想。

評分☆☆☆☆☆

我對這類針對性很強的數學書籍一直很感興趣，特彆是那些能夠深入講解某個特定難點（比如導數壓軸題）的書。很多時候，我們學習數學，往往是“知道”一些概念和公式，但到瞭實際解題，尤其是麵對綜閤性、探究性的壓軸題時，就顯得力不從心。這本書的“解題筆記”形式，讓我覺得它會包含很多作者在解題過程中的思考痕跡和經驗總結，這對於我這種需要“悟性”纔能進步的學生來說，非常有吸引力。而“放縮應用”更是錦上添花，這是一種非常重要的數學思維方式，能讓問題變得更簡單、更直觀。我非常期待這本書能夠通過大量的例題，循序漸進地展示導數與放縮相結閤的解題策略，讓讀者在實戰中掌握這種強大的工具，而不是停留在理論層麵。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就很有意思，一眼就能看齣是跟數學相關的，那個“小丸子”的形象很可愛，瞬間拉近瞭和讀者的距離。雖然我不是特彆資深的數學愛好者，但平日裏對數學學習也挺上心的，尤其是那種看著就讓人頭疼的壓軸題，總覺得是學習過程中的一個瓶頸。這本書的標題直接點齣瞭“導數壓軸題”，讓我覺得它非常聚焦，不是那種泛泛而談的數學書，而是直擊要害。而且“解題筆記”這個詞，更像是一個過來人的經驗分享，不像枯燥的教科書，而是充滿瞭實操性和指導性。我尤其關注“放縮應用”這個部分，感覺這個技巧在很多數學問題中都至關重要，如果能在這本書裏學到一些巧妙的放縮方法，相信對提升解題能力會有很大幫助。總的來說，這本書給我的第一印象是非常親切、實用，而且目標明確，就像一個經驗豐富的朋友在手把手教你攻剋難題，讓人充滿瞭學習的期待。

評分☆☆☆☆☆

給孩子買的，正版，好用的。

評分☆☆☆☆☆

在春節春運期間還能這麼快拿到書籍，物流快！

評分☆☆☆☆☆

挺好的 質量不錯 支持京東 快遞好評

評分☆☆☆☆☆

包裝可以接受的確不錯

評分☆☆☆☆☆

非常好的筆記適閤程度很好的學生

評分☆☆☆☆☆

剛學導數買來看看，希望有幫助

評分☆☆☆☆☆

go公民民工民工明明哦公明墨跡

評分☆☆☆☆☆

書很好，孩子喜歡，物流也超快，本來以為得3至5天，結果昨天晚上拍的，今天就到瞭

評分☆☆☆☆☆

價格挺實惠，送貨速度快。